История
Леонарду Эйлеру задали вопрос: можно ли, прогуливаясь по Кенигсбергу, обойти через все мосты города, дважды не проходя ни через один из них. План города с семью мостами прилагался.
В письме знакомому итальянскому математику Эйлер дал краткое и красивое решение проблемы кенигсбергских мостов: при таком расположении задача неразрешима. При этом он указал, что вопрос показался ему интересным, т.к. «для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра...».
При решении многих задач Л. Эйлер изображал множества с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера». Этим методом ещё ранее пользовался немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц, который использовал их для геометрического объяснения логических связей между понятиями, но при этом чаще использовал линейные схемы. Эйлер же достаточно основательно развил метод. Особенно знаменитыми графические методы стали благодаря английскому логику и философу Джону Венну, который ввел диаграммы Венна и подобные схемы часто называют диаграммами Эйлера-Венна. Используются они во многих областях, например, в теории множеств, теории вероятности, логике, статистике и информатике.
Принцип построения диаграмм
До сих пор диаграммы Эйлера-Венна широко используют для схематичного изображения всех возможных пересечений нескольких множеств. На диаграммах изображают все $2^n$ комбинаций n свойств. Например, при $n=3$ на диаграмме изображают три круга с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, который приближенно равен длине стороны треугольника.
Логические операции задают таблицы истинности. На диаграмме изображается круг с названием множества, которое он представляет, например, $A$. Область в середине круга $A$ будет отображать истинность выражения $A$, а область вне круга -- ложь. Для отображения логической операции заштриховывают только те области, в которых значения логической операции при множествах $A$ и $B$ истинны.
Например, конъюнкция двух множеств $A$ и $B$ истинна только в том случае, когда оба множества истинны. В таком случае на диаграмме результатом конъюнкции $A$ и $B$ будет область в середине кругов, которая одновременно принадлежит множеству $A$ и множеству $B$ (пересечению множеств).
Рисунок 1. Конъюнкция множеств $A$ и $B$
Использование диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств
Рассмотрим, как применяется метод построения диаграмм Эйлера-Венна для доказательства логических равенств.
Докажем закон де Моргана, который описывается равенством:
Доказательство:
-
Представим с помощью диаграмм сначала левую часть равенства:
-
применим дизъюнкцию -- заштрихуем круги обоих множеств серым цветом (рис. 2);
-
отобразим инверсию -- заштрихуем область за пределами кругов черным цветом (рис. 3).
Рисунок 2. Дизъюнкция $A$ и $B$
Отрицание дизъюнкции $A$ и $B$">
Рисунок 3. Отрицание дизъюнкции $A$ и $B$ -
-
Представим правую часть равенства:
-
применим инверсию $A$ -- заштрихуем область за пределами круга множества $A$ серым цветом (рис. 4);
-
применим инверсию $B$ -- аналогично к инверсии $A$ (рис. 5);
-
отобразим конъюнкцию -- заштрихуем пересечение серых областей черным цветом (рис. 6).
-
Рисунок 4. Инверсия $A$
Рисунок 5. Инверсия $B$
Рисунок 6. Конъюнкция инверсий $A$ и $B$
После сравнения области для отображения левой и правой части видим, что они равны. Из этого следует справедливость логического равенства. Закон де Моргана доказан с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Решение задачи поиска информации в Интернет с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Для осуществления поиска информации в Интернет удобно использовать поисковые запросы с логическими связками, аналогичными по смыслу союзам "и", "или" русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
В таблице приведены примеры запросов к поисковому серверу. Каждый запрос имеет свой код -- буква от $A$ до $B$. Нужно расположить коды запросов в порядке убывания количества найденных страниц по каждому запросу.
Рисунок 7.
Решение:
Построим для каждого запроса диаграмму Эйлера-Венна:
Рисунок 8.
Ответ: БВА.
Решение логической содержательной задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Задача.
За зимние каникулы из $36$ учеников класса $2$ не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино сходило $25$ человек, в театр -- $11$, в цирк -- $17$ человек; и в кино, и в театре -- $6$; и в кино и в цирк -- $10$; и в театр и в цирк -- $4$.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Решение:
Обозначим количество ребят, побывавших и в кино, и в театре, и в цирке -- $x$.
Построим диаграмму и узнаем количество ребят в каждой области:
Рисунок 9.
Не были ни в театре, ни в кино, ни в цирке -- $2$ чел.
Значит, $36 - 2 = 34$ чел. побывали на мероприятиях.
В кино и театр сходило $6$ чел., значит, только в кино и театр ($6 - x)$ чел.
В кино и цирк сходило $10$ чел., значит, только в кино и цирк ($10 - x$) чел.
В театр и цирк сходило $4$ чел., значит, только в театре и цирк ($4 - x$) чел.
В кино сходило $25$ чел., значит, из них только в кино сходило $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.
Аналогично, только в театр сходило ($1+x$) чел.
Только в цирк сходило ($3+x$) чел.
Итак, сходили в театр, кино и цирк:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;
$33+x = 34$;
$x = 1$.
Т.е. только один человек сходил и в театр, и в кино, и в цирк.
Ответ: $1$.
