В XVI – XVII веках состоялась научная революция. Она началась с развития механики и через короткий срок распространилась на все области естествознания. При этом математика, которая является близкой родственницей механики, за короткий период времени претерпела существенные качественные изменения.
Интенсивная переработка аппарата математики была вызвана необходимостью:
- оперирования скоростями вместо перемещений;
- поиском связи между ускорением и параметров траектории в кинематике;
- определения законов движения тел в динамике и т. д.
В теоретической механике начинают применять операции дифференциального и интегрального исчисления, используют методы дифференциальной геометрии.
В XVIII веке перед учеными встала задача:
- систематизации большого количества решенных ранее прикладных задач;
- осмысление вновь появившихся методов механики и математики.
Лагранж был тем ученым, который понял масштабность этих проблем.
Самого большого успеха Ж. Лагранж добился, решая фундаментальную проблему создания единого аппарата механики, который мог бы позволить, применяя стандартные методы, находить решение разных задач статики, динамики твердого тела или системы тел, гидродинамики, теории упругости.
Многие механики XVIII века пытались изложить механику так, чтобы количество принципов было минимально, сами принципы были наиболее общими. Самую совершенную систему изложения механики в этом ключе создал Лагранж.
Лагранж сделал большой вклад в развитие математики, однако чаще всего говорят о его достижениях в механике.
Достижение Лагранжа в механике
Лагранж плодотворно работал в области земной и небесной механики. Он разработал эффективный математический аппарат, который используют физики, исследуя разные явления этой науки.
Время работы Лагранжа совпало с началом нового этапа развития механики к тому времени:
- система главных абстрактных моделей была довольно полной;
- основные законы взаимодействия тел были уже сформулированы;
- была сделана их аналитическая запись.
Фактический материал нуждался в обобщении и теоретическом осмыслении. Лагранж осознал основной тренд и перспективу развития механики. Актуальной была проблема создания динамики системы.
Лагранж смог все разнообразие явлений механики привести к единой форме.
Ученый первым ввел общие теоремы динамики:
- о движении центра масс системы;
- об изменении количества движения системы;
- об изменении кинетической энергии системы.
Лагранж пришел к формулировке нового для механической системы вариационного принципа механики – принципа наименьшего действия. Данный принцип Эйлер применил для исследования частных случаев перемещения материальной точки.
Лагранж предложил новый подход к структуре механики. Он получил разные формы дифференциальных уравнений, описывающих движение тел (систем), которые можно изменять и приспосабливать к разным классам задач динамики.
Для построения уравнений движения считают, что лучшими являются уравнения Лагранжа второго рода. Для описания реакции связей и уравнений движения лучше использовать уравнения Лагранжа первого рода.
Лагранж занимался поиском эффективных методов интегрирования уравнений движения, так был создан метод вариации произвольных постоянных. Этот метод ученый использовал для приближенного интегрирования уравнений движения.
Метод вариации произвольных постоянных применяют в теории касательных преобразований и теории уравнений в вариациях.
Лагранж занимался решением практических задач. Так, он разрабатывал:
- теорию малых колебаний и устойчивости невозмущенного состояния;
- теорию вращения твердого тела;
- небесную механику.
Лагранж рассмотрел задачу о неправильности движения спутников Юпитера. Позднее им сделана работа о прохождении Венеры по диску Солнца.
Русский ученый А.Н. Крылов писал о работах Лагранжа: «... Лагранж был прав, что не останавливаясь на частностях, придал своему изложению самую общую аналитическую форму; поэтому его методы одинаково приложимы и к расчету движения небесных тел, и к качаниям корабля на волнении, и к расчету гребного вала на корабле...».
Исследования Лагранжа по математике
Большее число работ Лагранжа по математике было издано, когда ученый работал в Берлинской академии наук.
Одна из первых работ Лагранжа, которая создана в Берлине, связана с работой Ламберта о трехчленном уравнении вида:
$x^n+px+q=0 (1).$
Метод исследования уравнения (1), отличался от метода, который использовал Ламберт. Лагранж рассмотрел уравнение более общего вида:
$\alpha-x+\varphi (x)=0(2)$
и записал ряд, который позднее стал называться рядом Лагранжа:
$\psi (x)+\varphi (x)\psi’(x)+\frac{1}{2}\frac{d|\varphi (x)|^2}{dx}\psi’(x)+ \frac{1}{2\bullet 3}\frac{d^2|\varphi (x)|^3}{dx^2}\psi’(x)+... (3),$
где после дифференцирования $x$ заменяют на $\alpha$; $\varphi (x)$ - функция, которую определяют при помощи степенного ряда по степеням $x$ с коэффициентами, равными целым числам; $\psi (x)$ - функция.
Лагранж использовал данный ряд при решении уравнения:
$x=t-e\sin(x)(4),$
которое называют проблемой Кеплера. Это уравнение играет существенную роль в астрономии.
Самые значительные работы ученого по математике в Берлине были работами по алгебре и теории чисел.
Работы по алгебре были посвящены:
- решению уравнений в радикалах;
- способам приближенного вычисления корней алгебраического уравнения с помощью непрерывных дробей;
- методам составлению результанта.
В Берлине Лагранж занимался решением квадратных неопределенных уравнений с двумя неизвестными в целых и рациональных числах. Ученый обнаружил полное решение подобных уравнений.
Он показал, что любое натуральное число имеется возможность представить как сумму четырех квадратов натуральных чисел.
Работая в Берлине Лагранж подготовил к публикации свою известную «Аналитическую механику», которая считается вершиной его научной деятельности. В этой работе ученый:
- в основу статики положил принцип возможных перемещений;
- основой динамики сделал сочетание принципа, названного выше с принципом д’ Аламбера;
- ввел понятие обобщённых координат;
- описал разработанный им принцип наименьшего действия.
Рассматривал ученый вопросы, связанные с решением уравнений в частных производных.
Он создал вариационное исчисление.
Позднее, работая уже в Париже, Лагранж издает книгу «Теория аналитических функций», где опубликовал формулу остаточного члена ряда Тейлора, показал метод множителей, применяемы при решении задач нахождения условного экстремума.
