Значение уравнений Максвелла
Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.
Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.
Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.
Система уравнений Максвелла
Систему уравнений Максвелла составляют:
\[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1\right),\] \[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(2\right),\] \[div\overrightarrow{B}=0\left(3\right),\] \[div\overrightarrow{D}=\rho \left(4\right).\]Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару -- из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{B}$), а во вторую пару - вспомогательные ($\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{H}$).
Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:
В скалярном виде уравнение (2) запишем как:
Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:
Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:
Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:
Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Физический смысл уравнений Максвелла
Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow{j}$) и токи смещения ($\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$).
Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле -- один из источников возникновения электрического поля.
Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.
Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.
Материальные уравнения (5) -- это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).
Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.
Границы применимости уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:
-
Материальные тела должны быть неподвижны в поле.
-
Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.
-
В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.
Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.
Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.
Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:
\[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1.1\right).\]Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):
\[div\left(rot\overrightarrow{H}\right)=div\left(\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\left(1.2\right).\]Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
\[div\left(rot\overrightarrow{H}\right)=0\ \left(1.3\right).\]Следовательно, получаем:
\[0=div\left(\overrightarrow{j}\right)+div\left(\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\left(1.4\right).\]Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:
\[div\left(\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)=\frac{\partial div(\overrightarrow{D)}}{\partial t}\left(1.5\right).\]В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:
\[div\overrightarrow{D}=\rho \left(1.6\right).\]Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:
\[0=div\left(\overrightarrow{j}\right)+\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}\right)\left(1.7\right).\]Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:
\[div\left(\overrightarrow{j}\right)=-\frac{\partial \rho }{\partial t}(1.8).\]Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=-\frac{\partial }{\partial t}\int{\rho dV}(1.9).\]тогда если области замкнуты и изолированы получаем:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=0\to \int{\rho dV}=const.\]Что требовалось доказать.
Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.
Решение:
За основу решения примем уравнение:
\[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(2.1\right).\]Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:
\[div(rot\overrightarrow{E)}=-div(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t})\left(2.2\right).\]В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
\[div(rot\overrightarrow{E)}=0.\]Соответственно, получаем, что
\[div\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=\frac{\partial div\overrightarrow{B}}{\partial t}=0\to div\overrightarrow{B}=const.\]Выражение $div\overrightarrow{B}=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow{B}=0$.
Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ совместны, что требовалось показать.
