Значение уравнений Максвелла
Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.
Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.
Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.
Система уравнений Максвелла
Систему уравнений Максвелла составляют:
rot→H=→j+∂→D∂t(1),Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару -- из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля (→E и →B), а во вторую пару - вспомогательные (→D и →H).
Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:
В скалярном виде уравнение (2) запишем как:
Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:
Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:
Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:
Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.
Физический смысл уравнений Максвелла
Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости (→j) и токи смещения (∂→D∂t).
Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле -- один из источников возникновения электрического поля.
Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.
Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.
Материальные уравнения (5) -- это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости (ε). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости (μ). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости (σ).
Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.
Границы применимости уравнений Максвелла
Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:
-
Материальные тела должны быть неподвижны в поле.
-
Постоянные ε, μ,σ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.
-
В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.
Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.
Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.
Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:
rot→H=→j+∂→D∂t(1.1).Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):
div(rot→H)=div(→j+∂→D∂t)(1.2).Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
div(rot→H)=0 (1.3).Следовательно, получаем:
0=div(→j)+div(∂→D∂t)(1.4).Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:
div(∂→D∂t)=∂div(→D)∂t(1.5).В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:
div→D=ρ(1.6).Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:
0=div(→j)+(∂ρ∂t)(1.7).Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:
div(→j)=−∂ρ∂t(1.8).Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:
∮S→jd→S=−∂∂t∫ρdV(1.9).тогда если области замкнуты и изолированы получаем:
∮S→jd→S=0→∫ρdV=const.Что требовалось доказать.
Задание: Покажите, что уравнения rot→E=−∂→B∂t и div→B=0 , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.
Решение:
За основу решения примем уравнение:
rot→E=−∂→B∂t(2.1).Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:
div(rot→E)=−div(∂→B∂t)(2.2).В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:
div(rot→E)=0.Соответственно, получаем, что
div(∂→B∂t)=∂div→B∂t=0→div→B=const.Выражение div→B=const не противоречит тому, что div→B=0.
Мы получили, что уравнения rot→E=−∂→B∂t и div→B=0 совместны, что требовалось показать.