Математическая физика (МФ) – это гипотеза математических моделей физических явлений, которые изучают сложные задачи на математическом уровне, а результаты исследований представляются в виде графиков, теорем и таблиц.
В математической физике характерно, что практически все общие методы, используемые для решения задач МФ, развились из способов решения физических заданий и в своем первоначальном виде не имели достаточной завершенности и математического обоснования. Все это относится к таким известным принципам решения задач МФ, как методы Галеркина и Ритца. Эффективное использование данных методов является причиной для их математического обобщения и обоснования.
Основным уравнением в математической физике принято считать дифференциальные показатели с частным производимым второго порядка. Например, формула волновой теории будет записываться следующим образом: $ \LARGE \frac {d^2 u}{dt^2}=a^2 \frac {d^2 u}{dx^2}$.
Уравнение теплопроводности ученые обозначают так: $\LARGE \frac {du}{dt}=a^2 \frac {d^2 u}{dx^2}$.
В создании формул физики изначально тщательно рассматривают элементы электромагнитного поля, а также его стационарное тепловое состояние.
Постановка задач в МФ заключается в построении математических моделей, которые описывают основные закономерности изучаемого класса физических явлений. Хорошим примером этого явления выступает уравнение Лапласа: $\LARGE \frac {d^2 u}{dx^2 } + \frac {d^2 u}{dy^2} = 0$.
Подобная постановка состоит из формул (интегральных, дифференциальных, алгебраических или интегро-дифференциальных), которые удовлетворяют величины, более тщательно характеризующие физический процесс.
Уравнения математической физики
Уравнения с частными производными первого порядка включают в себя: нелинейные уравнения с производными первого порядка; квазилинейные уравнения с производными первого порядка.
Линейные уравнения МФ:
- линейные задачи МФ для уравнений параболического типа;
- некоторые формулы, определения, решения и методы;
- линейные задачи МФ для уравнений эллиптического типа;
- линейные задачи МФ для уравнений гиперболического типа.
Нелинейные уравнения МФ:
- преобразования уравнений МФ;
- автомодельные решения и решения типа бегущей волны;
- метод подобия;
- метод функционального разделения переменных МФ;
- метод обобщенного разделения переменных МФ;
- классический метод исследования симметрий уравнений МФ;
- решение дифференциальных уравнений при помощи инвариантов;
- метод дифференциальных связей.
В целом, обобщённые функции в математической физике обладают рядом важных свойств, расширяющих возможности классического анализа.
Любая целостная функция оказывается бесконечно дифференцируемой и сходится в ряды из обобщённых понятий, которые возможно по отдельности дифференцировать бесконечное количество раз. Преобразование этого процесса всегда существует, поэтому применение техники комплексных функций существенно расширяет круг исследуемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Влияние математической физики на науку
Воздействие математической физики на разные разделы математики проявляется в том, что общее развитие математической физики, которая отражает в своих идеях требования естественных наук и часто меняющееся запросы практики, автоматически влечет за собой переориентацию направленности научных исследований в сложившихся разделах математики. Правильная постановка задач изучаемого течения в науке напрямую связана с разработкой новых моделей реальных физических процессов, и привела к кардинальному изменению главной проблематики гипотезы дифференциальных формул в стабильных производных. В результате появилась теория краевых задач, которая позволила ученым связать интегральные уравнения и вариационные методы, а также дифференциальные уравнения в частных производных.
Исследование математических моделей физики различными способами не только позволяет получить основные характеристики физических явлений, а еще и рассчитать с максимальной точностью ход реальных процессов, которые глубоко проникают в самую суть скрытых закономерностей, предсказания уникальных эффектов.
Стремление к более детализированному изучению физических явлений приводит физиков ко все большему усложнению математических моделей, которые способны описать происходящие процессы с помощью применения аналитических методов построения этих моделей. Это возможно объяснить еще и тем, что модели реальных физических процессов являются нелинейными. Для проведения точного исследования таких концепций успешно используются прямые количественные способы с применением компьютеров. Для типичных физических задач изучение численных методов сводится к частичной замене уравнений математической физики для обобщенных функций непрерывного аргумента посредством сеточных показателей, заданных на дискретном множестве точек. Другими словами, вместо непрерывной и стабильной модели внешней среды вводится ее дискретный аналог.
Применение таких методов в ряде случаев позволяет заменить трудоемкий и дорогостоящий эксперимент значительно более экономичным исследованием. Результативное математическое изучение является базой для выбора наиболее подходящих условий реального физического опыта, выбора правильных параметров сложных физических установок, выявление подходящих условий ля новых научных эффектов. Таким образом, численные методы в уравнениях математической физики расширяют сферу эффективного применения моделей физических явлений.
Решения уравнений математической физики
Для решения уравнений математической физики сначала необходимо рассмотреть структуру квазилинейной формулы в частных производных: $\LARGE a \frac {(х, у)(d^2w)}{dx^2 } + 2b(х,у)$ $\LARGE \frac {d^2w}{dxdy}=F (x,y,w dw/dx)$
Для получения общего и правильного решения уравнения исследователи рассматривают характеристическую концепцию обыкновенных дифференциальных уравнений: $\LARGE \frac {dx}{a} = \frac {dy}{b} = \frac {du}{c}$.
Если с=0, то система сводится к одному уравнению $\LARGE \frac {dх}{a}=\frac {dy}{b}$. Если $\LARGE f (х, у)=C$ общий интеграл уравнения, тогда $\LARGE u=w (f (х, у))$ – общее решение.
Сама дифференциальная формула содержит в себе только самую общую информацию об исследуемом процессе. Необходимо заранее получить задание граничных и начальных условий, для общей конкретизации.
На сегодняшний день ученые выделяют три основных типа дифференциальных уравнений, для которых поиск решения имеет существенные различия: уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов.
Большое количество физических процессов и явлений можно описать посредством дифференциальных уравнений в исследуемых частных производных. Это непосредственно связано с тем, что фундаментальные законы современной физики – принципы сохранения – записываются в определениях вторых производных. Способы решения задач математической физики зависят от конкретного типа, которому принадлежит само рассматриваемое уравнение.
