Уильям Гамильтон, механик-теоретик и физик-теоретик

Родился Уильям Роуэн (Роуан) Гамильтон в 1805 году в Дублине в семье адвоката и нотариуса. В возрасте чуть более трех лет Гамильтон свободно читал по английский и знал большую часть курса арифметики того времени. В пять лет он хорошо знал географию, Библию, читал и переводил с латыни, греческого, древнееврейского, декламировал отрывки Гомера, Драйдена, Мильтона. Позднее он освоил еще ряд языков.

К 12 годам Гамильтон стал полиглотом, но и в физическом развитии, он не отставал от своих сверстников.

Во время учения в школе с 1815 по 1823 годы у него выявились замечательные способности к математике. Он осваивает высшую математику и небесную механику. Изучая «Небесную механику» Лапласа, он находит ошибку, которую раньше никто не замечал.

С 1823 по 1827 г Гамильтон учился в Тринити-колледж.

Самые значимые достижения ученого

Исследования в области естественных наук Гамильтон начал с оптики. Так с 1825 по 1832 г. он работал над «Теорией систем лучей». Результатом оптических исследований стало предсказание внутренней и внешней конической рефракции света, которую позднее подтвердили эксперименты Х. Ллойда.

В 1830 году он начал вплотную заниматься алгеброй.

Работы У. Гамильтона относятся:

• к «чистой» математике (например, исчисление кватерионов);
• прикладной математике (математической физике).

Наиболее распространенные разработки и физико-математические объекты, которые связывают с именем Гамильтона - это:

• гамильтониан;
• канонические уравнения Гамильтона;
• уравнения Гамильтона – Якоби;
• оптико-механическая аналогия Гамильтона;
• открытие внешней и внутренней конической рефракции;
• исчисление кватернионов (прародитель векторного исчисления).

Оптические исследования ученого

Свой интерес к оптике Гамильтон проявил, еще будучи 14 летним юношей. В семнадцать лет он стал писать на данную тему. Все свободное время молодой человек во время учебы в Тринити-колледж использовал для своих исследований. Первой его научной работой стала в 1824 году работа по математической оптике «О каустиках».

Можно сказать, что эта статья об обобщённой теореме Малюса. В ней рассматривались свойства общих прямолинейных конгруэнций. Проблемы оптики в данной статье не рассматривались.

Гамильтон был убежден в существовании «универсальной математической схемы», это определяло характер исследований ученого. Конкретная же тематика была связана:

1. с его работой в качестве королевского астронома Ирландии и главы астрономической обсерватории;
2. с прикладным вопросами приборостроения в оптике.

В работе «Теория систем лучей» содержатся задачи оптики, которые исследуются при помощи характеристической функции.

Центральной идеей, которую далее развивал Гамильтон, стала идея характеристической функции для любой оптической системы лучей. Такой функцией ученый считал соотношение, разное для каждой системы, такое, что геометрические свойства системы могут быть получены из него. Все свойства систем в оптике для каждой кривой или поверхности следуют из этого основного соотношения. При этом в теории установлена связь восьми параметров, шесть – это координаты пары переменных оптически связанных точек в пространстве, седьмая – это индекс цвета, а восьмая, называемая Гамильтоном характеристической функцией, есть действие между парой переменных точек. Данная функция является характеристической, так как Гамильтон показал, что в способе связи данной функции и семи названных выше переменных заключаются все свойства оптической системы.

С 1832 года Гамильтон начал исследовать физику распространения света и выступил на стороне волновой природы света.

Гамильтон установил различие между групповой и фазовой скоростями света.

Роль Гамильтона в развитии механики

Гамильтон создал основы гамильтоновой динамики. К огромному достижению классической динамики можно отнести то, что все свойства и движение динамической системы могут быть полностью определены, законы выражены при использовании одной величины ($H$) функции Гамильтона.

Динамика обладает непротиворечивостью и полнотой. Канонические уравнения Гамильтона, которые связывают обобщенные координаты и импульсы со временем, используя производные гамильтониана, включают в себя общие свойства всех динамических изменений.

Вариационный принцип Гамильтона отражает в простом и инвариантном виде:

• уравнения движения,
• уравнения полей;
• синтез дискретной и континуальной сторон движения;
• выражает обобщенный принцип причинности в физике.

Имея гамильтониан, мы принципиально можем решить любую задачу динамики.

Исчисление кватернионов

В 1835 году ученый публикует труд, названный «Теория алгебраических пар». В ней он предлагает построенную им теорию комплексных чисел. Комплексное число Гамильтон представлял как пару действительных чисел. Далее ученый несколько лет работал над обобщением понятия комплексного числа, так возникли кватернионы – четырехчленные числа.

Кватернионы Гамильтон представлял четверками действительных чисел или записывал их в виде формальных сумм:

$q=a+bi+cJ+dk (1),$

где $i,j,k,$ - кватернионные единицы (аналогичные мнимой единице).

Еще одним достижением Гамильтона стала разработка исчисления кватернионов. Идея состояла в объединении всех ветвей математики, таких как:

• теории комплексных переменных;
• алгебры;
• математического анализа;
• геометрии;
• сферической тригонометрии и т.д.

Использование кватернионов в физике приобрело важное значение в квантовой физике. Из этого исчисления родилось векторное исчисление.

Работы по исчислению кватернионов ученый проводил с 1843 по 1865 годы. Он исследовал свойства новых чисел, искал им практическое применение.

При исследовании кватернионов ученый ввел понятие векторного поля и заложил основы векторного анализа.

Символы, применяемые Гамильтоном, например, его оператор набла, позволяют компактно записывать основные операторы векторного анализа, такие как:

• градиент;
• ротор;
• дивергенция.