Теорема Карно
Еще в 1848 г. В. Томсон отметил, что теоремой Карно можно воспользоваться, чтобы построить рациональную температурную шкалу, которая не зависит от особенностей термометрического вещества и устройства термометра.
Поэтому прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению термодинамической шкалы температур, сформулируем теорему, которая называется теоремой Карно:
КПД (η) тепловой машины можно рассчитать по формуле:
η=1−QchQn (1),где Qn - количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, Qch- количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. Так как η имеет одинаковые значения для всех тепловых машин, работающих по обратимому циклу Карно с температурой нагревателя и температурой холодильника. Обозначим временно величины этих температур θ1 и θ2, то для отношение QchQn можно записать:
QchQn=f(θ1 , θ2)(2),где f(θ1 , θ2) - функция температур холодильника и нагревателя, универсальная для всех циклов Карно. Покажем, что f(θ1 , θ2) можно представить в виде:
f(θ1 , θ2)=φ(θ1)φ(θ2) (3),где φ(θ) - универсальная функция от температуры.
Отношение двух термодинамических температур
Рассмотрим две обратимые машины (рис.1). Холодильник одной машины -- нагреватель для другой. Допустим, что вторая машина отбирает от нагревателя с температурой θ2- столько тепла, сколько отдает ему первая машина (Qch2=Qn2). Исходя из (2), для каждой машины запишем:
Qch2Qn1=f(θ1 , θ2)(4),Если рассмотреть машину на рис.1 как единую с тепловым резервуаром температуры (θ1) и холодильником с температурой (θ3), то получим:
Qch3Qn1=f(θ1 , θ3)(6).Рис. 1
Разделим (6) на (4), имеем:
Qch3Qch2=f(θ1 , θ3)f(θ1 , θ2)=Qn2Qch2(7).Сравниваем (7) и (5), получаем:
f(θ2 , θ3)=f(θ1 , θ3)f(θ1 , θ2) (8).Уравнение (8) связывает температуры, связывает все температуры θ1 , θ2, θ3. Решим, что θ1 постоянна, получим, что функция f(θ1 , θ) -- функция одной переменной θ. Обозначим эту функцию φ(θ), тогда уравнение (8) примет вид:
f(θ2 , θ3)=φ(θ3 )φ(θ2 ) (9),или
f(θ1 , θ2)=φ(θ2 )φ(θ1 ) (10),Что совпадает с тем, что мы хотели доказать, то есть с выражением (3).
Функция φ(θ ) зависит только от температуры. Поэтому ее значение можно использовать для характеристики температуры соответствующего тела, то есть полагать температуру равной φ, где φ=φ(θ ). В таком случае уравнение (4) примет вид:
Qch2Qn1=φ2φ1 (11).Соотношение (11) ложится в основу термодинамической шкалы температур. Ее преимущество -- независимость от выбора рабочего тела в цикле Карно, которое используют для измерения температуры.
Величину φ принимают за меру температуры тела и называют абсолютной термодинамической температурой. В примерах мы покажем, что она совпадает с используемой нами ранее с абсолютной температурой T по шкале идеального газового термометра. В выражении (11) мы видим отношение двух термодинамических температур. Чтобы определить температуру одного тела можно:
- взять какие-либо две постоянные температурные точки (например, температуру плавления льда Ti при нормальных условиях и температуру кипения воды (Tk)). Найти разность количества теплоты кипения (Qk) и плавления (Qi), допустим, что разность (Qk−Qi)=100 градусам, тогда температурный интервал делим на 100 равных частей, каждая часть кельвин. Решаем систему из двух уравнений: TkTi=QkQi, Tk−Ti=100 (12)
- Второй метод: для сопоставления температур двух тел необходимо осуществить цикл Карно, в котором исследуемые тела использовать, как нагреватель и холодильник. Отношение, отданное теплоты к полученной теплоте -- есть отношение температур исследуемых тел.
вычисляем температуры. Отношение теплот можно измерить или найти косвенным вычислением.
Абсолютная термодинамическая температура не может быть отрицательной. Самая низкая температура, которую допускает второе начало термодинамики: T=0K. Абсолютная термодинамическая шкала температур тождественна с абсолютной шкалой.
Задание: Докажите тождественность термодинамической шкалы температур с абсолютной шкалой идеального газового термометра, используя цикл Карно. В качестве рабочего тела рассмотрите 1 моль идеального газа.
Решение:
Рис. 2
Найдем количество теплоты, которое получило рабочее тело. Поступление теплоты происходит на изотермическом участке 1-2.
Qn=(2)∫(1)δQ=(2)∫(1)dU+(2)∫(1)pdV=RTnlnV2V1(1.1),Первый интеграл равен нулю, так как мы имеем дело с изотермическим процессом, а второй -- работе при Tn=const (которая рассчитывалась в разделе изотермический процесс). На участке 3-4 система тепло отдает в холодильник при температуре Tch. Запишем Qch:
Qch=RTchlnV4V3(1.2).Найдем отношение:
QchQn=RTchlnV4V3RTnlnV2V1(1.3).Выясним, как соотносятся отношения объемов. Для этого используем уравнения адиабат для соответствующих процессов в цикле Карно:
T1Vγ−12=T2Vγ−13, T1Vγ−11=T2Vγ−14→V2V1=V3V4→ln(V2V1) =ln(V3V4) (1.4).Соответственно выражение (1.3) будет иметь вид:
QchQn=TchTn(1.5).Сравниваем уравнение (1.5) с выражением, которое было получено для отношения термодинамических температур (1.6):
QchQn=φ2φ1 (1.6).Можно сделать вывод о том, что абсолютная термодинамическая шкала температур станет тождественной с соответствующей температурной шкалой идеального газового термометра, если в обоих случаях температуре основной реперной точки приписать одно и тоже значение. Так как на практике так и поступают, то считаем, что тождественность φ=T доказана.
Задание: Докажите, что термодинамическая температура не может быть меньше нуля.
Решение:
Пусть тело с температурой $T_{ch} η=1−TchTn(2.1),
если Tch0, получается η>1, что противоречит второму началу термодинамики, следовательно, неосуществимо.