Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Термодинамическая шкала температур

Теорема Карно

Еще в 1848 г. В. Томсон отметил, что теоремой Карно можно воспользоваться, чтобы построить рациональную температурную шкалу, которая не зависит от особенностей термометрического вещества и устройства термометра.

Поэтому прежде чем перейти непосредственно к рассмотрению термодинамической шкалы температур, сформулируем теорему, которая называется теоремой Карно:

Теорема Карно
Все обратимые машины, работающие по циклу Карно, имеют одинаковый коэффициент полезного действия.
Здесь надо подчеркнуть, что речь идет не о том, что все обратимые машины имеют равный КПД, а о том, что все обратимые машины, работающие по циклу Карно, имеют равный КПД при одних и тех же заданных температурах нагревателя и холодильника. Мы эту теорему доказывать не будем, так как доказательство довольно простое и встречается во всех учебниках по термодинамике. Кроме того, в предыдущих главах была получена формула для расчета КПД цикла Карно, при выводе которой не делалось никаких ограничений по веществу рабочего тела и по конструкции теплового двигателя, при этом мы получили, что КПД цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника.

КПД (η) тепловой машины можно рассчитать по формуле:

η=1QchQn (1),

где Qn - количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, Qch- количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. Так как η имеет одинаковые значения для всех тепловых машин, работающих по обратимому циклу Карно с температурой нагревателя и температурой холодильника. Обозначим временно величины этих температур θ1 и θ2,и то для отношение QchQn можно записать:

QchQn=f(θ1 , θ2)(2),

где f(θ1 , θ2) - функция температур холодильника и нагревателя, универсальная для всех циклов Карно. Покажем, что f(θ1 , θ2) можно представить в виде:

f(θ1 , θ2)=φ(θ1)φ(θ2) (3),

где φ(θ) - универсальная функция от температуры.

Отношение двух термодинамических температур

Рассмотрим две обратимые машины (рис.1). Холодильник одной машины -- нагреватель для другой. Допустим, что вторая машина отбирает от нагревателя с температурой θ2- столько тепла, сколько отдает ему первая машина (Qch2=Qn2). Исходя из (2), для каждой машины запишем:

Qch2Qn1=f(θ1 , θ2)(4),
Qch3Qch2=f(θ2 , θ3)(5).

Если рассмотреть машину на рис.1 как единую с тепловым резервуаром температуры (θ1) и холодильником с температурой (θ3), то получим:

Qch3Qn1=f(θ1 , θ3)(6).

Рисунок 1

Рис. 1

Разделим (6) на (4), имеем:

Qch3Qch2=f(θ1 , θ3)f(θ1 , θ2)=Qn2Qch2(7).

Сравниваем (7) и (5), получаем:

f(θ2 , θ3)=f(θ1 , θ3)f(θ1 , θ2) (8).

Уравнение (8) связывает температуры, связывает все температуры θ1 , θ2, θ3. Решим, что  θ1 постоянна, получим, что функция f(θ1 , θ) -- функция одной переменной θ. Обозначим эту функцию φ(θ), тогда уравнение (8) примет вид:

f(θ2 , θ3)=φ(θ3 )φ(θ2 ) (9),

или

f(θ1 , θ2)=φ(θ2 )φ(θ1 ) (10),

Что совпадает с тем, что мы хотели доказать, то есть с выражением (3).

Функция φ(θ ) зависит только от температуры. Поэтому ее значение можно использовать для характеристики температуры соответствующего тела, то есть полагать температуру равной φ, где φ=φ(θ ). В таком случае уравнение (4) примет вид:

Qch2Qn1=φ2φ1 (11).

Соотношение (11) ложится в основу термодинамической шкалы температур. Ее преимущество -- независимость от выбора рабочего тела в цикле Карно, которое используют для измерения температуры.

Величину φ принимают за меру температуры тела и называют абсолютной термодинамической температурой. В примерах мы покажем, что она совпадает с используемой нами ранее с абсолютной температурой T по шкале идеального газового термометра. В выражении (11) мы видим отношение двух термодинамических температур. Чтобы определить температуру одного тела можно:

  • взять какие-либо две постоянные температурные точки (например, температуру плавления льда Ti при нормальных условиях и температуру кипения воды (Tk)). Найти разность количества теплоты кипения (Qk) и плавления (Qi), допустим, что разность (QkQi)=100 градусам, тогда температурный интервал делим на 100 равных частей, каждая часть кельвин. Решаем систему из двух уравнений:
  • TkTi=QkQi, TkTi=100 (12)

    вычисляем температуры. Отношение теплот можно измерить или найти косвенным вычислением.

  • Второй метод: для сопоставления температур двух тел необходимо осуществить цикл Карно, в котором исследуемые тела использовать, как нагреватель и холодильник. Отношение, отданное теплоты к полученной теплоте -- есть отношение температур исследуемых тел.

Абсолютная термодинамическая температура не может быть отрицательной. Самая низкая температура, которую допускает второе начало термодинамики: T=0K. Абсолютная термодинамическая шкала температур тождественна с абсолютной шкалой.

Пример 1

Задание: Докажите тождественность термодинамической шкалы температур с абсолютной шкалой идеального газового термометра, используя цикл Карно. В качестве рабочего тела рассмотрите 1 моль идеального газа.

Решение:

Пример 1

Рис. 2

Найдем количество теплоты, которое получило рабочее тело. Поступление теплоты происходит на изотермическом участке 1-2.

Qn=(2)(1)δQ=(2)(1)dU+(2)(1)pdV=RTnlnV2V1(1.1),

Первый интеграл равен нулю, так как мы имеем дело с изотермическим процессом, а второй -- работе при Tn=const (которая рассчитывалась в разделе изотермический процесс). На участке 3-4 система тепло отдает в холодильник при температуре Tch. Запишем Qch:

Qch=RTchlnV4V3(1.2).

Найдем отношение:

QchQn=RTchlnV4V3RTnlnV2V1(1.3).

Выясним, как соотносятся отношения объемов. Для этого используем уравнения адиабат для соответствующих процессов в цикле Карно:

T1Vγ12=T2Vγ13, T1Vγ11=T2Vγ14V2V1=V3V4ln(V2V1) =ln(V3V4) (1.4).

Соответственно выражение (1.3) будет иметь вид:

QchQn=TchTn(1.5).

Сравниваем уравнение (1.5) с выражением, которое было получено для отношения термодинамических температур (1.6):

QchQn=φ2φ1 (1.6).

Можно сделать вывод о том, что абсолютная термодинамическая шкала температур станет тождественной с соответствующей температурной шкалой идеального газового термометра, если в обоих случаях температуре основной реперной точки приписать одно и тоже значение. Так как на практике так и поступают, то считаем, что тождественность φ=T доказана.

Пример 2

Задание: Докажите, что термодинамическая температура не может быть меньше нуля.

Решение:

Пусть тело с температурой $T_{ch} η=1TchTn(2.1),

если Tch0,  получается η>1, что противоречит второму началу термодинамики, следовательно, неосуществимо.

Дата последнего обновления статьи: 26.11.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Термодинамическая шкала температур"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant