Как уже отмечалось, в термодинамике изучают общие закономерности преобразования энергии. Учитывается изменение внутренней энергии тел ($\triangle U$). Ее изменение возможно двумя способами: совершением над системой работы (превращение механической энергии во внутреннюю) и передачей тепла (теплообмена).
Количество теплоты, полученное телом
Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, который не сопровождается совершением работы, называется теплообменом. Энергия, которая передана телу в результате теплообмена, называется количеством теплоты, полученным телом. Вообще говоря, изменение внутренней энергии тела в процедуре теплообмена - результат работы внешних сил, только это не работа, связанная с изменением внешних параметров системы. Это работа, которую производят молекулярные силы. Например, если привести в соприкосновении тело с горячим газом, то энергия газа передается через столкновения молекул газа с молекулами тела.
Мерой изменения внутренней энергии тела в процессе теплообмена выступает количество теплоты ($Q$).
В том случае, когда в системой работа не совершается, а тепло к системе подводится, то в соответствии с первым началом термодинамики (да законом сохранения энергии, что, в общем, эквивалентно) все тепло, переданное телу (системе), идет на изменение (увеличение) внутренней энергии тела (системы):
\[\triangle Q=\triangle U\left(1\right).\]В таком случае $\triangle U$ каждого тела системы при нагревании:
\[\triangle U=mc\triangle T\ \left(2\right),\]где m -- масса тела, c -- удельная теплоемкость вещества, $\triangle T$- изменение температуры тела.
$\triangle U$ при плавлении или кристаллизации:
\[\triangle U=\pm \lambda m\ \left(3\right),\]где $\lambda $ -- удельная теплота плавления вещества.
$\triangle U$ при парообразовании или конденсации:
\[\triangle U=\pm rm\ \left(4\right),\]где r -- удельная теплота парообразования.
Здесь необходимо напомнить, что процессы плавления, кристаллизации, парообразовании, конденсации происходят при постоянных температурах. Из формул (3 и 4) видно, что изменение внутренней энергии тела от температуры не зависит.
При полном сгорании топлива выделяется количество теплоты, которое определяется формулой:
\[\triangle Q=\triangle U=qm\ \left(5\right),\]где q -- удельная теплота сгорания топлива.
Уравнение теплового баланса
В системе, если она изолирована, происходит только теплообмен. Одним из основных законов физики и, в частности, термодинамики является закон сохранения и превращения энергии. Если в изолированной системе тел не происходит никаких превращений энергии кроме теплообмена, то количество теплоты, отданное телами, внутренняя энергия которых уменьшается, равно количеству теплоты, полученному телами, внутренняя энергия которых увеличивается. При этом суммарная энергия системы не изменяется, и тогда первое начало термодинамики записывается в следующем виде:
\[\triangle U=\sum\limits^n_{i=1}{\triangle U_i=0}(6)\]Это уравнение называют уравнением теплового баланса.
Или по-другому: суммарное количества теплоты, которое выделяется в теплоизолированной системе равно количеству теплоты (суммарному), которое в этой системе поглощается.
\[Q_1+Q_2+Q_2+\dots +Q_n=Q'_1+Q'_2+Q'_2+\dots Q'_k\left(7\right).\]По своему смыслу уравнение теплового баланса -- это закон сохранения энергии для процессов теплообмена в термоизолированных системах.
Задание: В латунный калориметр массой $m_k=$0,1 кг со льдом массы $m_i=$1,0 кг, имеющих температуру $Т_{ki}=$200 К, пустили пар при температуре $Т_p=$400 К, после чего в калориметре установилась температура $\theta =$300 К. Определить массу $m_p$ пара. Считать систему лед-калориметр-пар изолированной.
Решение:
По условию задачи теплообмен рассматриваемой системы с внешней средой не происходит. Поэтому внутренняя энергия системы не изменяется. Значит, все процессы, происходящие в системе, можно описать уравнением теплового баланса с учетом агрегатных превращений. В результате процесса плавления льда с помощью пара в калориметре останется вода (если судить по температуре, которая установилась по условию задачи ${\theta =300К=27{\rm{}^\circ\!C}}$). В системе пар отдает теплоту (его внутренняя энергия уменьшается), а калориметр и лед теплоту получают (их внутренняя энергия увеличивается).
Добавим к исходным данным необходимые нам табличные данные:
Удельная теплоемкость пара $c_p$=1,7${\cdot 10}^3\frac{Дж}{кгК}$,
Удельная теплоемкость воды $c_v$=4,2$\cdot {10}^3\frac{Дж}{кгК}$,
Удельная теплоемкость льда $c_i$=2,1$\cdot {10}^3\frac{Дж}{кгК}$,
Удельная теплоемкость латуни $c_k$=0, 386$\cdot {10}^3\frac{Дж}{кгК}$,
Удельная теплота парообразования воды $r$=2,1$\cdot {10}^6\frac{Дж}{кг}$
Удельная теплота плавления льда $\lambda $=3,3$\cdot {10}^5\frac{Дж}{кг}$
При решении задачи необходимо описать все стадии изменения внутренней энергии тел.
- Пар, отдавая теплоту, остывает от температуры $Т_p$ до $Т_{kond}$=373К (температура конденсирования водяного пара при нормальных условиях).
- Пар конденсируется при постоянной температуре $Т_{kond}$.
- Полученная из пара вода остывает до температуры $\theta $.
- Лед, получая теплоту, нагревается от $Т_{ki}$ до $Т_{plav}$=273 К (температура плавления льда при нормальных условиях).
- Лед плавится.
- Вода (полученная изо льда) нагревается до температуры $\theta $.
- Калориметр, принимая теплоту, нагревается от $Т_{ki}$ до $\theta $.
В результате внутренняя энергия пара уменьшается на:
$\triangle U_1=Q_{otd}=m_pc_p(Т_p-Т_{kond}$)+$\ m_pr+m_pc_v(Т_{kond}$-$\ \theta )$В результате внутренняя энергия льда увеличивается на:
$\triangle U_2=Q'_{poluch}=m_ic_i(Т_{plav}-Т_{ki}$)+$\ m_i\lambda +m_ic_v({\theta -Т}_{plav})$.
В результате его внутренняя энергия возрастает на:
\[\triangle U_3=Q''_{poluch}=m_kc_k(\theta -T_{ki})\]Составим уравнение теплового баланса:
$\triangle U_1=\triangle U_2+\triangle U_3$ или $Q_{otd}=Q'_{poluch}+Q''_{poluch}$
Для описания, имеющегося у нас процесса, уравнение теплового баланса получит вид:
$m_pc_p(Т_p-Т_{kond}$)+$\ m_pr+m_pc_v(Т_{kond}$-$\ \theta )$=$\ m_ic_i(Т_{plav}-Т_{ki}$)+$\ m_i\lambda +m_ic_v\left({\theta -Т}_{plav}\right)+m_kc_k(\theta -T_{ki})$
откуда
\[m_p=\frac{m_ic_i(Т_{plav}-Т_{ki})+\ m_i\lambda +m_ic_v\left({\theta -Т}_{plav}\right)+m_kc_k(\theta -T_{ki})\ }{c_p(Т_p-Т_{kond})+\ r+c_v(Т_{kond}-\ \theta )}\]Подставим имеющиеся данные, произведем расчет:
\[m_p=\frac{1,\cdot 2,1\cdot {10}^3\left(273-200\right)+1\cdot 3,3\cdot {10}^5+1\cdot 4,2\cdot {10}^3\left(300-273\right)+0,1\cdot 3,9\cdot {10}^3(300-200)}{1,7{\cdot 10}^3\left(400-373\right)+2,1\cdot {10}^6+4,2\cdot {10}^3(373-300)}=\frac{2,1\cdot {10}^3\cdot 73+3,3\cdot {10}^5+4,2\cdot {10}^3\cdot 27+3,9\cdot {10}^2\cdot 100}{1,7{\cdot 10}^3\cdot 27+2,1\cdot {10}^6+4,2\cdot {10}^3\cdot 73}=\frac{1,5\cdot {10}^5+3,3\cdot {10}^5+1,1\cdot {10}^5+3,9\cdot {10}^5}{4,59{\cdot 10}^3+2,1\cdot {10}^6+3,1{\cdot 10}^5}=\frac{9,8\cdot {10}^5}{2,5\cdot {10}^6}=0,392\ (кг)\]Ответ: Масса пара приблизительно 392 гр.
Задание: Снеготаялка имеет КПД ($\eta $) равный 25%. Какую массу льда модно растопить, если сжечь ($m_w$) 1 тонну дров, а температура льда минус $t_i=-$100C$\to T_i=263K$.
Решение:
Удельная теплота плавления льда $\lambda $=3,3$\cdot {10}^5\frac{Дж}{кг}$.
Удельная теплоемкость льда $c_i$=2,1$\cdot {10}^3\frac{Дж}{кгК}.$
Удельная теплота сгорания дров q = 12,6$\cdot {10}^6\frac{Дж}{кг}.$
Количество теплоты, которое пойдет на плавление льда, рассчитаем как:
\[Q^+=\eta Q=\eta qm_{w\ }\left(2.1\right).\]Формула для расчета количества теплоты, которое необходимо для того, чтобы расплавить массу льда, равную m, будет иметь вид:
\[Q^-=mc_i\left(T_0-T_i\right)+\lambda m\ \left(2.2\right),\]где $T_0=273\ K$ -- температура плавления льда при нормальных условиях.
Составим уравнение теплового баланса, выразим искомую массу:
\[Q^+=Q^-=\eta qm_{w\ }=mc_i\left(T_0-T_i\right)+\lambda m\ \to m=\frac{\eta qm_{w\ }}{c_i\left(T_0-T_i\right)+\lambda }\left(2.3\right).\]Все данные в СИ, проведем расчет:
\[m=\frac{0,25\cdot 12,6\cdot {10}^61000}{2,1\cdot {10}^3\cdot 10+3,3\cdot {10}^5}=\frac{3,15\cdot {10}^9}{3,51\cdot {10}^5}\approx 9\cdot {10}^3\left(кг\right).\]Ответ: Можно расплавить примерно 9т льда.
