Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Неравенство Клаузиуса

Что такое неравенство Клаузиуса

Рассмотрим систему 1, которая обменивается некоторым количеством тепла с двумя резервуарами тепла. Температуры резервуаров T1 и T2. Не будем выделять, какой из резервуаров холодильник, какой нагреватель. Количество тепла считаем положительным, если система его получает, отданное системой тепло считаем отрицательным. Допустим, что система 1 совершила круговой процесс. Рабочее тело получило тепло Q1 от резервуара один (R1) и Q2 от резервуара два (R2). Так как процесс круговой, то полное тепло, полученное системой Q1+Q2=A, где A - работа системы. Поставим обратимую машину Карно работать между этими же тепловыми резервуарами после того, как первый рассмотренный нами процесс закончился, и мы теплоизолировали систему 1. Теперь резервуары тепла обмениваются энергией с машиной Карно. Пусть машина Карно совершила круговой процесс, взяла Q1 тепла от резервуара R1 и Q2 тепла от резервуара R2. Так как машина Карно обратима, она может работать в качестве теплового двигателя и в качестве холодильника. Изотерма, которая отображает расширение, может быть сколь угодно короткой. Это означает, что работа, которую совершает машина в одном цикле, может быть бесконечно малой. Можно получить и бесконечно большую работу за множество одинаковых циклов. Получается, что машина Карно позволяет получить и отрицательную, и положительную работу любой заданной величины. Используя теорему Карно, можно записать:

Объединение машины Карно и системы 1 дает нам одну сложную систему. Процессы в системе 1 и машине Карно также соединим в один общий круговой процесс. Тогда новая система получила от R1 количество теплоты, равное Q1+Q1, а от R2 количество теплоты, равное Q2+Q2, и совершила работу A=Q1+Q1+Q2+Q2.

Выберем величину Q1 так, чтобы

Результатом такого процесса является только передача тепла от R1 к R2.

Найдем Q1, используя (1) получим:

Подставим (4) в формулу (3), в таком случае

Выразим из (5) Q1, получим:

Подставим (6) в (5), найдем Q1+Q1, получим:

В случае T2T1, то Q1+Q10. Мы знаем, что абсолютные температуры всегда положительны, следовательно:

Неравенство (8) частный случай неравенства Клаузиуса.

Значение неравенства Клаузиуса

Для того, чтобы более явно увидеть значение неравенства Клаузиуса, придадим ему иной вид. Пусть Tn -- температура нагревателя, Tch -- температура холодильника. Qch- величина (модуль) количества тепла, которое отдает система холодильнику. При таком выборе знаков неравенство (8) запишется в виде:

«Неравенство Клаузиуса» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Умножим (9) на (-1), при этом изменится знак неравенства на противоположный, и вычтем из единицы обе части неравенства, получим:

Соотношение в правой части неравенства (10) -- это КПД теплового двигателя (η):

Из неравенства (11) следует, что КПД всякого теплового двигателя не может быть больше, чем КПД машины Карно, если температуры нагревателя и холодильника такие же -- это формулировка второй теоремы Карно. Которая, по сути, применение его же неравенства.

В общем случае не вводят тепловые резервуары, а говорят о теплообмене между системой и окружающей средой. Тогда T -- температура окружающей среды, она изменяется и в пространстве, и во времени. Представим, что окружающая среда разделена на малые области, каждая со своей температурой (T). Здесь же δQ -- бесконечно малое количество тепла, которое передается системе одной или несколькими областями внешней среды. В таком случае неравенство Клаузиуса примет вид:

в неравенстве (9) интеграл берется по замкнутому контуру (процесс, который совершает система круговой). Неравенство Клаузиуса справедливо для любых циклов. Для обратимых процессов неравенство превращается в равенство:

Пример 1

Задание: Оцените верхний предел КПД паровой машины, максимальная температура пара в котле которой 2000С, температура холодильника 100С.

Решение:

Оценить КПД нам позволит вторая теорема Карно, записанная как:

ηTnTchTn (1.1).

Запишем температуры нагревателя и холодильника в системе СИ, получим:

Tn=200+273=473 (К),
Tch=10+273=283 (К),

Подставим температуры нагревателя и холодильника в (1.1), получим:

η473283473=1904730,4=40%

Ответ: верхний предел КПД паровой машины не превысит 40%.

Пример 2

Задание: Найти температуру, которую будут иметь два тела после установления термодинамического равновесия в системе из двух тел, температуры которых T1n и T2ch (T1n >T2ch ), если эти тела работаю как холодильник и нагреватель. Теплоёмкости тел C1 и C2 не зависят от T.

Решение:

Как уже неоднократно отмечалось, наибольшая работа будет получена в случае, когда тепловая машина работает, повторяя бесконечно малые циклы Карно. Запишем количество теплоты, которое отдает нагреватель (тело 1) в таком малом цикле:

δQ1=C1 dT1(2.1),

где минус означает, что тело тепло отдает, T1- температура первого тела, и она изменяется.

Второе тело отдает количество теплоты равное:

δQ2=C2 dT2(2.2),

T2- температура второго тела, и она изменяется.

Работа, которая производится за один цикл, равна:

δA=δQ1+δQ2(2.3).

Из первой теоремы Карно следует, что:

δQ1T1+δQ2T2=0(2.4).

или

C1 dT1T1+C2 dT2T2=0(2.5).

Проинтегрируем выражение (2.5), получим:

C1 T1nT1dT1T1+C2 T2T2chdT2T2=0C1 lnT1|T1nT1+C2 lnT2|T2T2ch=0(T1nT1)C1 =(T2T2ch)C2 T1nC1 T2chC2 =T1C1 T2C2 (2.5).

Искомая температура может быть найдена из условия: T1=T2=T, подставим T в (2.5), получим:

TC1+C2 =T1nC1 T2chC2 T=C1+C2 T1nC1 T2chC2 (2.6).

Ответ: Установившаяся температура тел может быть рассчитана как: T=C1+C2 T1nC1 T2chC2 .

Дата последнего обновления статьи: 27.11.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Неравенство Клаузиуса"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant