Что такое неравенство Клаузиуса
Рассмотрим систему 1, которая обменивается некоторым количеством тепла с двумя резервуарами тепла. Температуры резервуаров $T_1$ и $T_2$. Не будем выделять, какой из резервуаров холодильник, какой нагреватель. Количество тепла считаем положительным, если система его получает, отданное системой тепло считаем отрицательным. Допустим, что система 1 совершила круговой процесс. Рабочее тело получило тепло $Q_1$ от резервуара один $(R_1)$ и $Q_2$ от резервуара два $(R_2)$. Так как процесс круговой, то полное тепло, полученное системой $Q_1+Q_2=A$, где $A$ - работа системы. Поставим обратимую машину Карно работать между этими же тепловыми резервуарами после того, как первый рассмотренный нами процесс закончился, и мы теплоизолировали систему 1. Теперь резервуары тепла обмениваются энергией с машиной Карно. Пусть машина Карно совершила круговой процесс, взяла $Q_1'$ тепла от резервуара $R_1$ и $Q_2'$ тепла от резервуара $R_2$. Так как машина Карно обратима, она может работать в качестве теплового двигателя и в качестве холодильника. Изотерма, которая отображает расширение, может быть сколь угодно короткой. Это означает, что работа, которую совершает машина в одном цикле, может быть бесконечно малой. Можно получить и бесконечно большую работу за множество одинаковых циклов. Получается, что машина Карно позволяет получить и отрицательную, и положительную работу любой заданной величины. Используя теорему Карно, можно записать:
Объединение машины Карно и системы 1 дает нам одну сложную систему. Процессы в системе 1 и машине Карно также соединим в один общий круговой процесс. Тогда новая система получила от $R_1$ количество теплоты, равное $Q_1+Q_1'$, а от $R_2$ количество теплоты, равное $Q_2+Q_2',$ и совершила работу ${A=Q}_1+Q_1'$+$Q_2+Q'_2$.
Выберем величину $Q_1'\ $так, чтобы
Результатом такого процесса является только передача тепла от $R_1\ $к $R_2$.
Найдем $Q'_1,$ используя (1) получим:
Подставим (4) в формулу (3), в таком случае
Выразим из (5) $Q'_1$, получим:
Подставим (6) в (5), найдем $Q_1+Q'_1$, получим:
В случае $T_2 T_1$, то $Q_1+Q'_1\le 0$. Мы знаем, что абсолютные температуры всегда положительны, следовательно:
Неравенство (8) частный случай неравенства Клаузиуса.
Значение неравенства Клаузиуса
Для того, чтобы более явно увидеть значение неравенства Клаузиуса, придадим ему иной вид. Пусть $T_n$ -- температура нагревателя, $T_{ch}$ -- температура холодильника. $Q_{ch}$- величина (модуль) количества тепла, которое отдает система холодильнику. При таком выборе знаков неравенство (8) запишется в виде:
Умножим (9) на (-1), при этом изменится знак неравенства на противоположный, и вычтем из единицы обе части неравенства, получим:
Соотношение в правой части неравенства (10) -- это КПД теплового двигателя ($\eta $):
Из неравенства (11) следует, что КПД всякого теплового двигателя не может быть больше, чем КПД машины Карно, если температуры нагревателя и холодильника такие же -- это формулировка второй теоремы Карно. Которая, по сути, применение его же неравенства.
В общем случае не вводят тепловые резервуары, а говорят о теплообмене между системой и окружающей средой. Тогда $T$ -- температура окружающей среды, она изменяется и в пространстве, и во времени. Представим, что окружающая среда разделена на малые области, каждая со своей температурой (T). Здесь же $\delta Q$ -- бесконечно малое количество тепла, которое передается системе одной или несколькими областями внешней среды. В таком случае неравенство Клаузиуса примет вид:
в неравенстве (9) интеграл берется по замкнутому контуру (процесс, который совершает система круговой). Неравенство Клаузиуса справедливо для любых циклов. Для обратимых процессов неравенство превращается в равенство:
Задание: Оцените верхний предел КПД паровой машины, максимальная температура пара в котле которой 2000С, температура холодильника 100С.
Решение:
Оценить КПД нам позволит вторая теорема Карно, записанная как:
\[\eta \le \frac{T_n-T_{ch}}{T_n}\ \left(1.1\right).\]Запишем температуры нагревателя и холодильника в системе СИ, получим:
\[T_n=200+273=473\ \left(К\right),\] \[T_{ch}=10+273=283\ \left(К\right),\]Подставим температуры нагревателя и холодильника в (1.1), получим:
\[\eta \le \frac{473-283}{473}=\frac{190}{473}\approx 0,4=40\%\]Ответ: верхний предел КПД паровой машины не превысит 40%.
Задание: Найти температуру, которую будут иметь два тела после установления термодинамического равновесия в системе из двух тел, температуры которых $T_{1n\ }$и $T_{2ch\ }$($T_{1n\ }>T_{2ch\ }$), если эти тела работаю как холодильник и нагреватель. Теплоёмкости тел $C_1$ и $C_2$ не зависят от $T$.
Решение:
Как уже неоднократно отмечалось, наибольшая работа будет получена в случае, когда тепловая машина работает, повторяя бесконечно малые циклы Карно. Запишем количество теплоты, которое отдает нагреватель (тело 1) в таком малом цикле:
\[\delta Q_1=-C_{1\ }dT_1\left(2.1\right),\]где минус означает, что тело тепло отдает, $T_1$- температура первого тела, и она изменяется.
Второе тело отдает количество теплоты равное:
\[\delta Q_2=-C_{2\ }dT_2\left(2.2\right),\]$T_2$- температура второго тела, и она изменяется.
Работа, которая производится за один цикл, равна:
\[\delta A=\delta Q_1+\delta Q_2\left(2.3\right).\]Из первой теоремы Карно следует, что:
\[\frac{\delta Q_1}{T_1}+\frac{\delta Q_2}{T_2}=0\left(2.4\right).\]или
\[\frac{C_{1\ }dT_1}{T_1}+\frac{C_{2\ }dT_2}{T_2}=0\left(2.5\right).\]Проинтегрируем выражение (2.5), получим:
\[C_{1\ }\int\limits^{T_{1n}}_{T_1}{\frac{dT_1}{T_1}}+C_{2\ }\int\limits^{T_2}_{T_{2ch}}{\frac{dT_2}{T_2}}=0\to C_{1\ }ln{\left.T_1\right|}^{T_{1n}}_{T_1}+C_{2\ }ln{\left.T_2\right|}^{T_2}_{T_{2ch}}=0\to {\left(\frac{T_{1n}}{T_1}\right)}^{C_{1\ }}={\left(\frac{T_2}{T_{2ch}}\right)}^{C_{2\ }}\to {T_{1n}}^{C_{1\ }}{T_{2ch}}^{C_{2\ }}={T_1}^{C_{1\ }}{T_2}^{C_{2\ }}\left(2.5\right).\]Искомая температура может быть найдена из условия: $T_1=T_2=T$, подставим T в (2.5), получим:
\[T^{C_1+C_{2\ }}={T_{1n}}^{C_{1\ }}{T_{2ch}}^{C_{2\ }}\to T=\sqrt[{C_1+C_{2\ }}]{{T_{1n}}^{C_{1\ }}{T_{2ch}}^{C_{2\ }}}\left(2.6\right).\]Ответ: Установившаяся температура тел может быть рассчитана как: $T=\sqrt[{C_1+C_{2\ }}]{{T_{1n}}^{C_{1\ }}{T_{2ch}}^{C_{2\ }}}$.
