Что такое неравенство Клаузиуса
Рассмотрим систему 1, которая обменивается некоторым количеством тепла с двумя резервуарами тепла. Температуры резервуаров T1 и T2. Не будем выделять, какой из резервуаров холодильник, какой нагреватель. Количество тепла считаем положительным, если система его получает, отданное системой тепло считаем отрицательным. Допустим, что система 1 совершила круговой процесс. Рабочее тело получило тепло Q1 от резервуара один (R1) и Q2 от резервуара два (R2). Так как процесс круговой, то полное тепло, полученное системой Q1+Q2=A, где A - работа системы. Поставим обратимую машину Карно работать между этими же тепловыми резервуарами после того, как первый рассмотренный нами процесс закончился, и мы теплоизолировали систему 1. Теперь резервуары тепла обмениваются энергией с машиной Карно. Пусть машина Карно совершила круговой процесс, взяла Q′1 тепла от резервуара R1 и Q′2 тепла от резервуара R2. Так как машина Карно обратима, она может работать в качестве теплового двигателя и в качестве холодильника. Изотерма, которая отображает расширение, может быть сколь угодно короткой. Это означает, что работа, которую совершает машина в одном цикле, может быть бесконечно малой. Можно получить и бесконечно большую работу за множество одинаковых циклов. Получается, что машина Карно позволяет получить и отрицательную, и положительную работу любой заданной величины. Используя теорему Карно, можно записать:
Объединение машины Карно и системы 1 дает нам одну сложную систему. Процессы в системе 1 и машине Карно также соединим в один общий круговой процесс. Тогда новая система получила от R1 количество теплоты, равное Q1+Q′1, а от R2 количество теплоты, равное Q2+Q′2, и совершила работу A=Q1+Q′1+Q2+Q′2.
Выберем величину Q′1 так, чтобы
Результатом такого процесса является только передача тепла от R1 к R2.
Найдем Q′1, используя (1) получим:
Подставим (4) в формулу (3), в таком случае
Выразим из (5) Q′1, получим:
Подставим (6) в (5), найдем Q1+Q′1, получим:
В случае T2T1, то Q1+Q′1≤0. Мы знаем, что абсолютные температуры всегда положительны, следовательно:
Неравенство (8) частный случай неравенства Клаузиуса.
Значение неравенства Клаузиуса
Для того, чтобы более явно увидеть значение неравенства Клаузиуса, придадим ему иной вид. Пусть Tn -- температура нагревателя, Tch -- температура холодильника. Qch- величина (модуль) количества тепла, которое отдает система холодильнику. При таком выборе знаков неравенство (8) запишется в виде:
Умножим (9) на (-1), при этом изменится знак неравенства на противоположный, и вычтем из единицы обе части неравенства, получим:
Соотношение в правой части неравенства (10) -- это КПД теплового двигателя (η):
Из неравенства (11) следует, что КПД всякого теплового двигателя не может быть больше, чем КПД машины Карно, если температуры нагревателя и холодильника такие же -- это формулировка второй теоремы Карно. Которая, по сути, применение его же неравенства.
В общем случае не вводят тепловые резервуары, а говорят о теплообмене между системой и окружающей средой. Тогда T -- температура окружающей среды, она изменяется и в пространстве, и во времени. Представим, что окружающая среда разделена на малые области, каждая со своей температурой (T). Здесь же δQ -- бесконечно малое количество тепла, которое передается системе одной или несколькими областями внешней среды. В таком случае неравенство Клаузиуса примет вид:
в неравенстве (9) интеграл берется по замкнутому контуру (процесс, который совершает система круговой). Неравенство Клаузиуса справедливо для любых циклов. Для обратимых процессов неравенство превращается в равенство:
Задание: Оцените верхний предел КПД паровой машины, максимальная температура пара в котле которой 2000С, температура холодильника 100С.
Решение:
Оценить КПД нам позволит вторая теорема Карно, записанная как:
η≤Tn−TchTn (1.1).Запишем температуры нагревателя и холодильника в системе СИ, получим:
Tn=200+273=473 (К),Подставим температуры нагревателя и холодильника в (1.1), получим:
η≤473−283473=190473≈0,4=40%Ответ: верхний предел КПД паровой машины не превысит 40%.
Задание: Найти температуру, которую будут иметь два тела после установления термодинамического равновесия в системе из двух тел, температуры которых T1n и T2ch (T1n >T2ch ), если эти тела работаю как холодильник и нагреватель. Теплоёмкости тел C1 и C2 не зависят от T.
Решение:
Как уже неоднократно отмечалось, наибольшая работа будет получена в случае, когда тепловая машина работает, повторяя бесконечно малые циклы Карно. Запишем количество теплоты, которое отдает нагреватель (тело 1) в таком малом цикле:
δQ1=−C1 dT1(2.1),где минус означает, что тело тепло отдает, T1- температура первого тела, и она изменяется.
Второе тело отдает количество теплоты равное:
δQ2=−C2 dT2(2.2),T2- температура второго тела, и она изменяется.
Работа, которая производится за один цикл, равна:
δA=δQ1+δQ2(2.3).Из первой теоремы Карно следует, что:
δQ1T1+δQ2T2=0(2.4).или
C1 dT1T1+C2 dT2T2=0(2.5).Проинтегрируем выражение (2.5), получим:
C1 T1n∫T1dT1T1+C2 T2∫T2chdT2T2=0→C1 lnT1|T1nT1+C2 lnT2|T2T2ch=0→(T1nT1)C1 =(T2T2ch)C2 →T1nC1 T2chC2 =T1C1 T2C2 (2.5).Искомая температура может быть найдена из условия: T1=T2=T, подставим T в (2.5), получим:
TC1+C2 =T1nC1 T2chC2 →T=C1+C2 √T1nC1 T2chC2 (2.6).Ответ: Установившаяся температура тел может быть рассчитана как: T=C1+C2 √T1nC1 T2chC2 .