Теоретическая механика и сопротивление материалов

Теоретическая механика рассматривает задачи механического движения в качестве изменения взаимного положения материальных тел с течением времени.

Сопротивление материалов является разделом механики деформируемых твердых тел, рассматривающим методы инженерных расчетов конструкций относительно их устойчивости, жесткости и прочности. Параллельно с этим должны соблюдаться требования долговечности, экономичности и надежности.

Методы сопротивления материалов широко задействованы в расчетах несущих конструкций сооружений и зданий, при проектировании механизмов и деталей машин. Как правило, именно оценочный характер результатов при проектировании реальных конструкций требует, чтобы все прочностные характеристики изделий и материалов выбирались с существенным запасом.

Сопротивление материалов в теоретической механике

Сопротивление материалов опирается в физике на такое понятие, как «прочность». Она представляет собой способность к противостоянию определенным воздействиям и приложенным нагрузкам, исключая при этом разрушения. Сопротивление материалов также оперирует и другими не менее важными понятиями, такими как: внутренние усилия, деформации и напряжения.

Приложенная к отдельному телу внешняя нагрузка формирует в нем внутренние усилия, оказывающие противодействие активному воздействию внешней нагрузки. Внутренние усилия, которые распределены по сечениям тела, называют напряжениями. Внешняя нагрузка, таким образом, провоцирует внутреннюю реакцию материала, которая характеризуется напряжениями, прямо пропорциональными деформациям тела.

Деформации бывают линейного (сдвиг, удлинение, укорочение) и углового (поворот сечений) типа. К главным понятиям сопротивления материалов, оценивающих их способность к сопротивлению внешним воздействиям, относят:

• прочность (способность воспринимать без разрушений внешнюю нагрузку);
• жесткость (способность к сохранению своих геометрических параметров при внешних воздействиях в допустимых пределах);
• устойчивость (способность к сохранению в стабильном состоянии своей формы и положения при внешнем воздействии).

Сила упругости и закон Гука для сопротивления материалов

В момент деформации тела возникает сила, направленная на восстановление прежних размеров и формы тела. Ее возникновение обусловлено электромагнитным взаимодействием молекул и атомов вещества (сила упругости). К простейшей разновидности деформации относится деформация сжатия и растяжения.

Малые деформации предполагают пропорциональность силы упругости деформациям тела и ее направленность в противоположную от направления перемещений частиц тела при деформациях:

$F_x=F_{упр} = – kx$, где $k$ – коэффициент жесткости тела (Н.м), зависимый от материала, размеров и формы тела.

Это соотношение является выражением закона Гука. В физике такой закон для деформации сжатия или растяжения может быть записан и в другой форме:

$e=\frac{x}{I}$ - относительная деформация

$Q=\frac{F}{S}=\frac{–Fупр}{S}$, где $S$– площадь поперечного сечения у деформированного тела (напряжение).

Тогда закон Гука будет записываться так:

$e=Q\frac{1}{E}$

Где $E$ выступает коэффициентом модуля Юнга, зависимым исключительно от свойств материалов, без учета форм и размеров тела.

Закон Гука обобщается и в случае с более сложными деформациями. Так, например, в случае деформации изгиба мы наблюдаем пропорциональность упругой силы прогибу стержня, чьи концы лежат на двух опорах.

Упругая сила $N$, воздействующая на тело со стороны подвеса (опоры), выступает силой реакции опоры. Когда тела соприкасаются, сила реакции опоры направлена перпендикулярно к поверхности соприкосновения, поэтому часто называется силой нормального давления. При условии, если тело будет лежащим на горизонтальном неподвижном столе, направление силы реакции опоры будет вертикальным и уравновешивающим силу тяжести:

$\vec{N}=-m\vec{g}$

Сила $P$, с которой на стол воздействует тело, считается весом тела. В отличие от пружин, деформация сжатия или растяжения упругих стержней будет подчиняться линейному закону Гука в достаточно узких пределах. В случае с металлами, относительная деформация $e=frac{x}{l} не должна превысить 1%. Большие деформации провоцируют возникновение необратимых явлений (текучести) и разрушения материала.e=frac{x}{l} не должна превысить 1%. Большие деформации провоцируют возникновение необратимых явлений (текучести) и разрушения материала.

Теории прочности в теоретической механике

Прочность конструкций определяется на основании теории разрушения. Выделяют несколько самых известных теорий прочности:

• максимальных нормальных напряжений;
• максимально больших деформаций;
• теория Мора.

Наиболее часто используемой из перечисленных выше теорий является теория Мора (еще называется критерием Мора-Кулона). Преимуществом этой теории считается возможность ее применения к материалам с разными сопротивлениями растяжению и сжатию. Недостаток теории проявляется в ограниченном количестве учета влияния главных напряжений (только двух). Это приводит в конечном итоге к неточной оценке прочности при 3-осном напряженном состоянии, когда должны учитываться все три главные напряжения.

При расчете прочности неоднородных материалов будут задействованы два подхода:

• макро-моделирование (предварительно производится условная замена неоднородного материала однородным);
• микро-моделирование (компоненты материала рассматривают, учитывая при этом их физические характеристики, такой вид моделирования в основном применяется в исследовательских целях, поскольку для расчета реальных конструкций требуются чрезмерно большие затраты машинного времени).

Методы гомогенизации широко применяют при расчете прочности каменных конструкций, главным образом, стен-диафрагм жесткости зданий.