Принцип Паули
Согласно закону квантовой механики, который установил В. Паули: Если мы имеем систему, которая содержит множество электронов, в стационарном состоянии, которое определено четырьмя квантовыми числами (главное - n, орбитальное -- l, магнитное - m, спиновое - $m_s$), не может быть больше одного электрона. Этот принцип является следствием того, что тождественные частицы в микромере невозможно отличить друг от друга, так как они имеют одинаковую массу, заряд и абсолютную величину спина. Если два электрона поменять местами, атом своего состояния не изменит. Кроме электронов принципу Паули подчиняются другие частицы, спин которых равен $\frac{\hbar }{2}$.
Для системы из электронов в атоме закон Паули записывается как:
где $Z_1\left(n,l,m,m_s\right)$ -- количество электронов, состояние которых описано набором квантовых чисел $n,l,m,m_s$.
Электроны в атоме, имеющие состояния с равными значениями главного квантового числа (n) составляют электронный слой. Различают такие электронные слои как:
Из принципа Паули следует, что максимальное количество электронов $(Z(n)),$ которые находятся в состояниях, которые определяет значение n, может быть найдено при использовании выражения:
В слое электроны распределяются по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению орбитального квантового числа $\left(l\right).$
Принцип Паули играет существенную роль в развитии атомной и ядерной физики. На его основе строится современная теория твердого тела. На основе принципа Паули была обоснована периодическая система Д.И. Менделеева.
Статистика Ферми-Дирака
В отличии от классической квантовая статистика учитывает, что частицы совершают финитные движения в силовом поле находятся в определенных квантовых состояниях. Этим состояниям соответствуют некоторые значения энергии (энергетические уровни системы). В случае финитных движений энергетические уровни дискретны (отделены друг от друга конечными интервалами).
Электронный газ, с помощью которого описывают проводимость веществ, подчиняют статистике Ферми -- Дирака. Сама статистика учитывает принцип Паули. Выполнение этого принципа значит, что между свободными электронами существует взаимодействие, следовательно, нельзя считать электроны абсолютно независимыми. Но, надо отметить, что это взаимодействие не силовое, а исключительно квантовое.
Распределение электронов по энергиям описывается функцией Ферми -- Дирака:
\[f\left(E,T\right)={\left\{1+exp\frac{E-E_F}{kT}\right\}}^{-1}\left(4\right),\]где $E$ -- энергия электрона, $E_F$- энергия Ферми (или иногда ее обозначают $\mu $). $E_F$ -- энергия при которой функция Ферми Дирака равна $\frac{1}{2}$. Функция Ферми -- Дирака сколько электронов в среднем приходится на одно квантовое состояние с энергией E. Для металлов энергия Ферми является максимальной энергией электрона в зоне проводимости при T=0K. Это положение является достаточно точным для большинства металлов вплоть до температуры их плавления.
Энергия Ферми используется для определения статистических свойств электронов в диэлектриках и полупроводниках.
Импульс электрона (p) связан с его кинетической энергией выражением:
\[E=\frac{p^2}{2m_e}\left(5\right),\]где $m_e$ -- масса электрона. Тогда количество квантовых состояний с импульсами от 0 до p может быть представлено выражением:
\[Z=\frac{8\pi }{3h^3}p^3\left(6\right).\]Число квантовых состояний, в которых импульс принимает значения от $p\ до\ p+dp$ равно:
\[dZ=\frac{8\pi }{h^3}p^2dp\left(7\right),\]а с кинической энергией от E до E+dE:
\[dZ=\frac{4\pi }{h^3}{\left(2m\right)}^{\frac{3}{2}}E^{\frac{1}{2}}dE\left(8\right).\]Полупроводники
К полупроводникам относят большое количество неорганических веществ. Качественным различием между металлами и полупроводниками является зависимость их сопротивления от температуры. С уменьшением температуры проводимость металлов растет, тогда как полупроводников, наоборот. При высоких температурах проводимость полупроводников приближается к проводимости металлов, а около абсолютного нуля полупроводник становится изолятором. Такая зависимость проводимости от температуры объяснятся тем, что концентрация носителей тока в металлах от температуры почти не зависит, в а полупроводниках носители тока появляются в результате теплового движения.
В полупроводниках, как и диэлектриках, валентная зона целиком занята электронами, а зона проводимости свободна. Эти зоны разделены запрещенной зоной конечной ширины. В полупроводниках ширина запрещенной зоны меньше, чем в диэлектриках. В том случае, если температура вещества отлична от абсолютного нуля, электрон может получить каким -- либо образом энергию порядка kT и перейти в зону проводимости. Так же как в металлах, в полупроводниках проводимость создается электронами, находящимися в зоне проводимости. Но у полупроводников существует и другой способ проводить ток. После того, как электрон ушел из валентной зоны, в этой зоне остается незаполненное состояние, которое называют дыркой. Другой электрон в валентной зоне может перейти в это вакантное состояние. Так образуется новая дырка. Так вместе с движением электрона происходит движение дырки, но в обратном направлении.
Проводимость полупроводников сильно увеличивается с повышением температуры благодаря усилению теплового движения электронов. При наличии примесей, также увеличивается вероятность переходов электронов с примесных уровней в зону проводимости.
Задание: Используя принцип Паули, найдите максимальное количество электронов (Z) в атоме, имеющих заданные значения трех квантовых чисел ($Z_2\left(n,l,m\right)$), двух квантовых чисел ($Z_3\left(n,l\right)$) и одного квантового числа $Z\left(n\right).$
Решение:
Определим максимальное число электронов $Z_2\left(n,l,m\right),\ \ $состояние которых определяется набором трех квантовых чисел $n,l,m$. В данных состояниях электроны отличаются только ориентацией спинов. $m_s=\pm \frac{1}{2}$, тогда следует записать, что:
\[Z_2\left(n,l,m\right)=2\ \left(1.1\right).\]Найдем максимальное количество электронов $Z_3\left(n,l\right).\ $Состояния электронов определяют два квантовых числа, то есть состояния отличаются набором значений магнитного квантового числа (m). Это число может принимать $2l+1$ значений. Значит, максимальное число $Z_3\left(n,l\right)$ выразится как:
\[Z_3\left(n,l\right)=2\left(2l+1\ \right)\left(1.2\right).\]Вычислим максимальное количество электронов Z(n), которые находятся в состояниях, определяемых главным квантовым числом n. Орбитальное квантовое число изменяется (при заданном n) от n до n-1. Значит, можно найти как сумму:
\[Z\left(n\right)=\sum\limits^{l=n-1}_{l=0}{Z_3\left(n,l\right)=}\sum\limits^{l=n-1}_{l=0}{2\left(2l+1\ \right)=\left\{2\left(n-1\right)+2\right\}n}=2n^2.\]Ответ: $Z_2\left(n,l,m\right)=2,\ Z_3\left(n,l\right)=2\left(2l+1\ \right),Z\left(n\right)$=$2n^2.$
Задание: Чему равна полная энергия электронного газа (W) вблизи абсолютного нуля температур (вырожденный газ), если функция Ферми -- Дирака при T=0K имеет вид:
\[\left\{ \begin{array}{c} 1,\ если\ E\mu . \end{array} \right.\left(2.1\right).\]Решение:
Максимальная энергия, которую может принимать электрон $E_{max}=\mu $, соответственно импульс ($p_{max}$) равен:
\[p_{max}=\sqrt{2m_e\mu }\left(2.2\right).\]Количество электронов в единице объема выразим как:
\[n=Z_{max}=\frac{8\pi }{3h^3}{p_{max}}^3=\frac{8\pi }{3h^3}{\left(2m_e\mu \right)}^{\frac{3}{2}}\left(2.3\right).\]Выразим энергию Ферми ($\mu $), получим:
\[\mu =E_{max}={\left(\frac{n3h^3}{8\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}\frac{1}{2m_e}=\frac{{\left(3n\right)}^{\frac{2}{3}}h^2}{8{m_e\pi }^{\frac{2}{3}}}\left(2.4\right).\]В таком случае полная энергия ($W$) равна:
\[W=\int{EdZ}=\frac{3n}{2}{\mu }^{-\frac{3}{2}}\int\limits^{\mu }_0{E^{\frac{3}{2}}dE=\frac{3\mu n}{5}.}\]Ответ: $W=\frac{3\mu n}{5}.$
