Уровни энергии водородоподобного атома
Величины энергии для водородоподобного атома в стационарных состояниях зависят только от главного квантового числа $n$:
Однако, состояния с заданной энергией (величиной $n$) могут быть отличными, так как значения квантовых чисел $l\ $(орбитальное квантовое число) и $m$ (магнитное квантовое число) могут отличаться. Так, получается, что одному значению $E_n$ соответствует несколько разных квантовых состояний. В данном случае говорят, что состояние, имеющее энергию $E_n$ вырождено. Количество состояний, которые в результате суммирования дают заданное состояние, обладающее энергией $E_n$, называют степенью вырождения (кратностью вырождения). Кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна ${2n}^2.\ $
Энергетические уровни щелочных металлов
В атомах щелочных металлов таких как: литий, натрий, калий, рубидий, цезий вешняя электронная оболочка имеет один электрон, относительно слабо связанный с ядром. Аналогичной ситуация является для ионизированных атомов, ели они имеют один валентный электрон. Переходя между энергетическими уровнями валентный электрон, излучает или поглощает квант энергии. Остальные $Z-1$ электрон в совокупности с ядром образуют довольно прочный остов. В поле такого остова перемещается валентный электрон. В таком случае атом щелочного металла можно рассматривать как одноэлектронный. Роль ядра здесь будет играть «остов». Его можно характеризовать эффективным зарядом $Z_aq_{e\ }$, при этом для нейтрального атома: $Z_a=Z-1$, для однократно ионизированного атома: $Z_a=Z-2$. При удалении валентного электрона распределение заряда в остове становится сферически симметричным.
Валентный электрон, воздействуя на остов, искажает его поле. В первом приближении поле остова считают наложением поля точечного заряда $Z_aq_{e\ }\ $на поле точечного диполя (оба расположены в центре атома), ось диполя направлена к внешнему электрону. Движение валентного электрона идет так, как будто сохраняется сферическая симметрия поля. Потенциальная энергия поля при этом может быть представлена как:
где $C=const.$
Энергетические уровни щелочных металлов и подобных им ионов можно определить с помощью формулы:
где $\triangle =l^*-l$, $l^*=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{{(l+\frac{1}{2})}^2-\frac{2m}{{\hbar }^2}CZ_aq^2_e}$,$\ l$ -- орбитальное квантовое число. Энергия, которой обладает электрон в атоме щелочного металла зависит не только от $n$, но и числа $l$ . Получается, что в не кулоновском поле вырождения по $l$отсутствует, остается только вырождение по $m$. Энергия от $m$ не зависит, так ка пространство изотропно.
Квантовые числа
С помощью главного квантового числа ($n$) определяются уровни энергии для электрона в атоме:
Решение уравнения Шредингера дает то, что момент импульса электрона $(L)$ квантуется:
где $l$ -- орбитальное квантовое число. Оно при известном $n,$ принимает равно:
Кроме того, из решения уравнения Шредингера следует, что вектор $\overrightarrow{L}$ электрона имеет только такие значения:
$m$ -- магнитное квантовое число, определяющее проекцию $L$ электрона на избранное направление. Это число при заданном $l,$ имеет значения:
Вероятность нахождения электрона в разных частях атома неодинакова. Электрон двигаясь, как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа ($n,l$) при этом определяют размер и форму данного электронного облака. Магнитное квантовое число определяет то, как ориентированно электронное облако в пространстве.
Атом водорода
Задача об уровнях энергии электрона в водородном атоме сводится к рассмотрению движения электрона в кулоновском поле ядра. При этом потенциальная энергия записывается как:
где $r$ -- расстояние от ядра до электрона, Z=1.
$\psi$ -- функции описывают состояние электрона в атоме водорода. Она удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:
где $m$ -- масса электрона. Решение уравнения (10) производят методом разделения переменных, учитывая естественные требования, накладываемые на волновую функцию. Данные требования удовлетворяются при любых значениях энергии E больших нуля, однако, в области отрицательных значений E только при дискретных, если:
Задание: Чему равна энергия ионизации атома водорода?
Решение:
При $E0$ перемещение электрона свободное. Энергией ионизации ($E_i$) атома водорода является энергия равная:
\[E_i=-E_1\left(1.1\right).\]Для нахождения $E_1$ применим формулу:
\[E_n=-\frac{m{q_e}^4}{8{{\varepsilon }_0}^2h^2}\frac{Z^2}{n^2}\left(при\ n=1\right),\]где$\ Z=1,\ $ все остальные известные величины. Вычислим энергию ионизации:
\[E_i=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}{(1,6\cdot {10}^{-19})}^4}{8{(8,85\cdot {10}^{-12})}^2{(6,63\cdot {10}^{-34})}^2}=\frac{5,96\cdot {10}^{-106}}{2,8\cdot {10}^{-88}}=2,13{\cdot 10}^{-18}\left(Дж\right)=13,55\left(эВ\right).\]Ответ: $E_i=13,55эВ.$
Задание: Какова средняя потенциальная энергия электрона в поле ядра в атоме водорода, в том случае, если нормированная $\psi$-функция, определяющая состояние электрона имеет вид:
$\psi\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-\frac{r}{a}}$, где $a$ -- первый Боровский радиус.
Решение:
Функция потенциальной энергии взаимодействия электрона и ядра атома водорода запишется как:
\[U\left(r\right)=-\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}\left(2.1\right).\]Среднюю энергию потенциальной энергии определим в соответствии с формулой:
\[\left\langle U\right\rangle =\int\limits_V{U(r){\left|\psi\right|}^2dV\ \left(2.2\right),}\]где $dV=4\pi r^2dr.$ Подставим в формулу (2.2) выражение для волновой функции из условия задачи, функцию для потенциальной энергии из (2.1), имеем:
\[\left\langle U\right\rangle =\int\limits^{\infty }_0{-\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}{\left|\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-\frac{r}{a}}\right|}^24\pi r^2dr=-\frac{q^2_e}{\pi {a^3\varepsilon }_0}\int\limits^{\infty }_0{e^{-\frac{2r}{a}}rdr=-\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0a}}\ \left(2.3\right).}\]Ответ: $\left\langle U\right\rangle =-\frac{q^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0a}.$
