Уровни энергии водородоподобного атома
Величины энергии для водородоподобного атома в стационарных состояниях зависят только от главного квантового числа n:
Однако, состояния с заданной энергией (величиной n) могут быть отличными, так как значения квантовых чисел l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число) могут отличаться. Так, получается, что одному значению En соответствует несколько разных квантовых состояний. В данном случае говорят, что состояние, имеющее энергию En вырождено. Количество состояний, которые в результате суммирования дают заданное состояние, обладающее энергией En, называют степенью вырождения (кратностью вырождения). Кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна 2n2.
Энергетические уровни щелочных металлов
В атомах щелочных металлов таких как: литий, натрий, калий, рубидий, цезий вешняя электронная оболочка имеет один электрон, относительно слабо связанный с ядром. Аналогичной ситуация является для ионизированных атомов, ели они имеют один валентный электрон. Переходя между энергетическими уровнями валентный электрон, излучает или поглощает квант энергии. Остальные Z−1 электрон в совокупности с ядром образуют довольно прочный остов. В поле такого остова перемещается валентный электрон. В таком случае атом щелочного металла можно рассматривать как одноэлектронный. Роль ядра здесь будет играть «остов». Его можно характеризовать эффективным зарядом Zaqe , при этом для нейтрального атома: Za=Z−1, для однократно ионизированного атома: Za=Z−2. При удалении валентного электрона распределение заряда в остове становится сферически симметричным.
Валентный электрон, воздействуя на остов, искажает его поле. В первом приближении поле остова считают наложением поля точечного заряда Zaqe на поле точечного диполя (оба расположены в центре атома), ось диполя направлена к внешнему электрону. Движение валентного электрона идет так, как будто сохраняется сферическая симметрия поля. Потенциальная энергия поля при этом может быть представлена как:
где C=const.
Энергетические уровни щелочных металлов и подобных им ионов можно определить с помощью формулы:
где △=l∗−l, l∗=−12±√(l+12)2−2mℏ2CZaq2e, l -- орбитальное квантовое число. Энергия, которой обладает электрон в атоме щелочного металла зависит не только от n, но и числа l . Получается, что в не кулоновском поле вырождения по lотсутствует, остается только вырождение по m. Энергия от m не зависит, так ка пространство изотропно.
Квантовые числа
С помощью главного квантового числа (n) определяются уровни энергии для электрона в атоме:
Решение уравнения Шредингера дает то, что момент импульса электрона (L) квантуется:
где l -- орбитальное квантовое число. Оно при известном n, принимает равно:
Кроме того, из решения уравнения Шредингера следует, что вектор →L электрона имеет только такие значения:
m -- магнитное квантовое число, определяющее проекцию L электрона на избранное направление. Это число при заданном l, имеет значения:
Вероятность нахождения электрона в разных частях атома неодинакова. Электрон двигаясь, как будто распределен по всему объему, при этом возникает электронное облако, плотность его характеризует вероятность присутствия электрона в разных местах объема атома. Квантовые числа (n,l) при этом определяют размер и форму данного электронного облака. Магнитное квантовое число определяет то, как ориентированно электронное облако в пространстве.
Атом водорода
Задача об уровнях энергии электрона в водородном атоме сводится к рассмотрению движения электрона в кулоновском поле ядра. При этом потенциальная энергия записывается как:
где r -- расстояние от ядра до электрона, Z=1.
ψ -- функции описывают состояние электрона в атоме водорода. Она удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:
где m -- масса электрона. Решение уравнения (10) производят методом разделения переменных, учитывая естественные требования, накладываемые на волновую функцию. Данные требования удовлетворяются при любых значениях энергии E больших нуля, однако, в области отрицательных значений E только при дискретных, если:
Задание: Чему равна энергия ионизации атома водорода?
Решение:
При E0 перемещение электрона свободное. Энергией ионизации (Ei) атома водорода является энергия равная:
Ei=−E1(1.1).Для нахождения E1 применим формулу:
En=−mqe48ε02h2Z2n2(при n=1),где Z=1, все остальные известные величины. Вычислим энергию ионизации:
Ei=9,1⋅10−31(1,6⋅10−19)48(8,85⋅10−12)2(6,63⋅10−34)2=5,96⋅10−1062,8⋅10−88=2,13⋅10−18(Дж)=13,55(эВ).Ответ: Ei=13,55эВ.
Задание: Какова средняя потенциальная энергия электрона в поле ядра в атоме водорода, в том случае, если нормированная ψ-функция, определяющая состояние электрона имеет вид:
ψ(r)=1√πa3e−ra, где a -- первый Боровский радиус.
Решение:
Функция потенциальной энергии взаимодействия электрона и ядра атома водорода запишется как:
U(r)=−q2e4πε0r(2.1).Среднюю энергию потенциальной энергии определим в соответствии с формулой:
⟨U⟩=∫VU(r)|ψ|2dV (2.2),где dV=4πr2dr. Подставим в формулу (2.2) выражение для волновой функции из условия задачи, функцию для потенциальной энергии из (2.1), имеем:
⟨U⟩=∞∫0−q2e4πε0r|1√πa3e−ra|24πr2dr=−q2eπa3ε0∞∫0e−2rardr=−q2e4πε0a (2.3).Ответ: ⟨U⟩=−q2e4πε0a.
