Уравнение Шредингера вида:
описывает состояние движения микрочастицы, которое неизменно во времени и реализуется при постоянной энергии. Стационарными называют состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не изменяются во времени. Надо отметить, что под движением в квантовой механике понимают изменений вообще, а не только перемещение. Движение связано не с пребыванием в стационарном состоянии, а изменением стационарного состояния. Состояние Вселенной в целом не является стационарным, но ее составные части (атомы, к примеру) могут находиться в стационарных состояниях. Но, если атомы находились бы в стационарном состоянии постоянно, и с ними не чего не происходило бы, то о них не было бы ни чего известно, мы не знали бы о их существовании. Так как существование атомов обнаруживается только тогда, когда они изменяют свое стационарное существование. В принципе, только данный переход интересует науку, а не сами стационарные состояния. И так, стационарные состояния никаких событий в физическом мире не представляют, но они дают возможность понять и сделать описание событий, которые происходят в мире. Стационарные состояния -- фундамент описания физического мира.
Волновую функцию в стационарных состояниях можно определить как:
где $\omega =\frac{E}{\hbar }$. При этом $\Psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени.
При данном описании функции плотность вероятности не изменяется.
Основным свойством стационарного состояния является его единство. Частица принадлежит состоянию в целом, нельзя разделить состояние на части. Нельзя сказать, что при своем движении электрон проходит последовательно разные области пространства. В которых состояние его движения описывают, относящимися к этой области, значениями волновых функций $?.$ Так как невозможно соотнести движение частицы с пребыванием в разных областях пространства и нельзя представить единое во всем пространстве состояние его движения в отдельных частях пространства.
Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции ($\Psi(x,y,z)$), которая описывает стационарные состояния.
Математические требования к волновой функции
Волновая функция $\Psi\ (x,y,z)$ является решением дифференциального уравнения (1). При этом ${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2$ -- плотность вероятности того, что частица находится в точке с координатами ($x,y,z$). Или ${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2dxdydz$ -- вероятность того, что частица находится в объеме $dxdydz$ в окрестности точки ($x,y,z$). Из сказанного выше следует, что волновая функция должна быть непрерывной, однозначной и конечной во всех точках. В том случае, если потенциальная энергия $U\left(x,y,z\right)$ -- имеет поверхности разрыва непрерывности, то на таких поверхностях волновая функция $\Psi$ и ее первая производная должны быть непрерывными. В областях пространства, где $U\left(x,y,z\right)$ становится бесконечной, волновая функция обращается в ноль. Свойство непрерывности требует, чтобы $\Psi\left(x,y,z\right)$ на границе этой области была равна нулю. Кроме того плотность вероятности (${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2$) должна быть интегрируема.
При строгом исследовании стационарных состояний выясняется, что они таковыми не являются. Но решения уравнения Шредингера приводят к существованию строго стационарных состояний, что противоречит результатам экспериментов. В этом проявляется ограниченность уравнений Шредингера, так как они не описывают радиационных переходов.
Нестационарные состояния
В общем случае, когда потенциальная энергия частицы зависит от времени, волновая функция равна $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ уравнение Шредингера имеет вид:
где $\hbar =\frac{h}{2}=1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с\ $- постоянная Планка, $m$ -- масса частицы, $U\left(x,y,z,t\right)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $\triangle =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$ -- оператор Лапласа, $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ -- волновая функция частицы, $i=\sqrt{-1}$ -- мнимая единица.
Уравнение (3) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($v\ll c,\ где\ c\ $-- скорость света в вакууме). Уравнение (3) называют временн$\acute{ы}$м уравнением Шредингера (общим уравнением), так как оно содержит производную от волновой функции по времени.
Задание: Временная часть уравнения Шредингера имеет вид: $\hbar i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=E\Psi.$ Каково решение данного уравнения?
Решение:
Проинтегрируем уравнение $\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar }E \Psi.\ $Разделим переменные:
\[\frac{\partial \Psi}{\Psi}=-\frac{i}{\hbar }E\partial t\left(1.1\right).\]Проведем интегрирование правой и левой частей выражения (1.1), получим:
\[ln\Psi=-\frac{i}{\hbar }Et+ln\Psi_0\left(1.2\right).\]Перейдем от логарифмов к функциям:
\[{\Psi=\Psi}_0e^{-\frac{iEt}{\hbar }},\]где $\Psi_0=\Psi_0\left(0\right)=const$- значение $\Psi(t)$ в начальный момент времени $(t=0).$
Ответ: ${\Psi=\Psi}_0e^{-\frac{iEt}{\hbar }}.$
Задание: Покажите, что если волновая функция циклически зависима от времени как:
$\Psi\left(x,t\right)=\Psi(x)e^{-\frac{i}{\hbar }Et}$, то плотность вероятности не зависит от времени.
Решение:
Плотность вероятности ($p$) определена как:
\[p={\left|\Psi\left(x,t\right)\right|}^2\left(2.1\right),\]где ${\left|\Psi\left(x,t\right)\right|}^2$ находят как произведение волновой функции ($\Psi(x,t)$) на комплексно сопряженную величину $\Psi^*(x,t)$):
\[p=\Psi\left(x,t\right)\cdot \Psi^*\left(x,t\right)=\Psi\left(x\right)e^{-\frac{i}{\hbar }Et}\Psi\left(x\right)e^{\frac{i}{\hbar }Et}=\Psi^2\left(x\right).\]Ответ: $p=\Psi^2\left(x\right).$
Задание: Напишите уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Считать, что сила упругости, которая действует на частицу, равна: $f=-kx$, где $k$ -- коэффициент упругости, $x$ -- смещение.
Решение:
За основу примем стационарное уравнение Шредингера:
\[\triangle \Psi+\frac{2m}{{\hbar }^2}\left(E-U\left(x,y,z\right)\right)\Psi=0\left(3.1\right).\]Для линейного гармонического осциллятора, совершающего колебания по оси $X$ выражение (3.1) преобразуется к виду:
\[\frac{{\partial }^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{2m}{{\hbar }^2}\left(E-U\left(x\right)\right)\Psi=0\left(3.2\right).\]Потенциальная энергия $U\left(x\right)$ связана с силой упругости выражением:
\[U\left(x\right)=-grad\ f=-\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{kx^2}{2}\left(3.3\right).\]Подставим полученное выражение (3.3) для $U\left(x\right)$ в уравнение (3.2), имеем:
\[\frac{{\partial }^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{2m}{{\hbar }^2}\left(E-\frac{kx^2}{2}\right)\Psi=0.\]Ответ: $\frac{{\partial }^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{2m}{{\hbar }^2}\left(E-\frac{kx^2}{2}\right)\Psi=0.$
