Стационарные и нестационарные состояния

Уравнение Шредингера вида:

описывает состояние движения микрочастицы, которое неизменно во времени и реализуется при постоянной энергии. Стационарными называют состояния, в которых все наблюдаемые физические величины не изменяются во времени. Надо отметить, что под движением в квантовой механике понимают изменений вообще, а не только перемещение. Движение связано не с пребыванием в стационарном состоянии, а изменением стационарного состояния. Состояние Вселенной в целом не является стационарным, но ее составные части (атомы, к примеру) могут находиться в стационарных состояниях. Но, если атомы находились бы в стационарном состоянии постоянно, и с ними не чего не происходило бы, то о них не было бы ни чего известно, мы не знали бы о их существовании. Так как существование атомов обнаруживается только тогда, когда они изменяют свое стационарное существование. В принципе, только данный переход интересует науку, а не сами стационарные состояния. И так, стационарные состояния никаких событий в физическом мире не представляют, но они дают возможность понять и сделать описание событий, которые происходят в мире. Стационарные состояния -- фундамент описания физического мира.

Волновую функцию в стационарных состояниях можно определить как:

где $\omega =\frac{E}{\hbar }$. При этом $\Psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени.

При данном описании функции плотность вероятности не изменяется.

Основным свойством стационарного состояния является его единство. Частица принадлежит состоянию в целом, нельзя разделить состояние на части. Нельзя сказать, что при своем движении электрон проходит последовательно разные области пространства. В которых состояние его движения описывают, относящимися к этой области, значениями волновых функций $?.$ Так как невозможно соотнести движение частицы с пребыванием в разных областях пространства и нельзя представить единое во всем пространстве состояние его движения в отдельных частях пространства.

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции ($\Psi(x,y,z)$), которая описывает стационарные состояния.

Математические требования к волновой функции

Волновая функция $\Psi\ (x,y,z)$ является решением дифференциального уравнения (1). При этом ${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2$ -- плотность вероятности того, что частица находится в точке с координатами ($x,y,z$). Или ${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2dxdydz$ -- вероятность того, что частица находится в объеме $dxdydz$ в окрестности точки ($x,y,z$). Из сказанного выше следует, что волновая функция должна быть непрерывной, однозначной и конечной во всех точках. В том случае, если потенциальная энергия $U\left(x,y,z\right)$ -- имеет поверхности разрыва непрерывности, то на таких поверхностях волновая функция $\Psi$ и ее первая производная должны быть непрерывными. В областях пространства, где $U\left(x,y,z\right)$ становится бесконечной, волновая функция обращается в ноль. Свойство непрерывности требует, чтобы $\Psi\left(x,y,z\right)$ на границе этой области была равна нулю. Кроме того плотность вероятности (${\left|\Psi\ (x,y,z)\right|}^2$) должна быть интегрируема.

При строгом исследовании стационарных состояний выясняется, что они таковыми не являются. Но решения уравнения Шредингера приводят к существованию строго стационарных состояний, что противоречит результатам экспериментов. В этом проявляется ограниченность уравнений Шредингера, так как они не описывают радиационных переходов.

Нестационарные состояния

В общем случае, когда потенциальная энергия частицы зависит от времени, волновая функция равна $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ уравнение Шредингера имеет вид:

где $\hbar =\frac{h}{2}=1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с\ $- постоянная Планка, $m$ -- масса частицы, $U\left(x,y,z,t\right)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $\triangle =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$ -- оператор Лапласа, $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ -- волновая функция частицы, $i=\sqrt{-1}$ -- мнимая единица.

Уравнение (3) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($v\ll c,\ где\ c\ $-- скорость света в вакууме). Уравнение (3) называют временн$\acute{ы}$м уравнением Шредингера (общим уравнением), так как оно содержит производную от волновой функции по времени.