Спин электрона (и других микрочастиц) -- это квантовая величина, у которой нет классического аналога. Это внутреннее свойство электрона, которое можно уподобить заряду или массе. Понятие спина было предложено американскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом для того, чтобы объяснить существование тонкой структуры спектральных линий. Ученые предположили, что электрон имеет собственный механический момент импульса, который не связан с движением электронам в пространстве который был назван спином.
Если считать, что электрон имеет спин (собственный механический момент импульса (${\overrightarrow{L}}_s$)), то значит должен иметь собственный магнитный момент (${\overrightarrow{p}}_{ms}$). В соответствии с общими выводами квантовой физики спин квантуется как:
где $s$ -- спиновое квантовое число. Проводя аналогию с механическим моментом импульса, проекция спина ($L_{sz}$) квантуется таким образом, что число ориентаций вектора ${\overrightarrow{L}}_s$ равно $2s+1.$ В опытах Штерна и Герлаха ученые наблюдали две ориентации, то $2s+1=2$, следовательно, $s=\frac{1}{2}$.
При этом проекция спина на направление внешнего магнитного поля определена формулой:
где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число.
Получилось, что экспериментальные данные привели к необходимости введения дополнительной внутренней степени свободы. Для полного описания состояния электрона в атоме необходимы: главное, орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа.
Позднее Дирак показал, что наличие спина следует из полученного им релятивистского волнового уравнения.
Атомы первой валентной группы периодической системы имеют валентный электрон, находящийся в состоянии с $l=0$. При этом момент импульса всего атома равен спину валентного электрона. Поэтому когда обнаружили для подобных атомов, пространственное квантование момента импульса атома в магнитном поле это стало доказательством существования спина только двух ориентаций во внешнем поле.
Спиновое квантовое число, отличаясь от других квантовых чисел, является дробным. Количественную величину спина электрона можно найти в соответствии с формулой (1):
Для электрона имеем:
Иногда говорят, что спин электрона ориентирован по направлению или против направления напряженности магнитного поля. Такое высказывание является неточным. Так как при этом на самом деле имеется в виду направление его составляющей $L_{sz}.$
Из опытов Штерна и Герлаха получено, что $p_{ms_z}$ (проекция собственного магнитного момента электрона) равна:
где ${\mu }_B$ -- магнетон Бора.
Найдем отношение проекций $L_{sz}$ и $p_{ms_z}$, применяя формулы (4) и (5), имеем:
Выражение (6) называют спиновым гиромагнитным отношением. Оно в два раза превышает орбитальное гиромагнитное отношение. В векторной записи гиромагнитное отношение записывают как:
Опыты Эйнштейна и де Гааза определили спиновое гиромагнитное отношение для ферромагнетиков. Это дало возможность определить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и получить теорию ферромагнетизма.
Задание: Найдите численные значения: 1) собственного механического момента импульса (спина) электрона, 2) проекции спина электрона на направление внешнего магнитного поля.
Решение:
-
В качестве основания для решения задачи используем выражение:
\[L_s=\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(1.1\right),\]где $s=\frac{1}{2}$. Зная величину $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, проведем вычисления:
\[L_s=\hbar \sqrt{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)}=1,05\cdot {10}^{-34}\frac{\sqrt{3}}{2}=9,09\cdot {10}^{-35}\left(Дж\cdot с\right).\] -
В качестве основы для решения задачи используем формулу:
\[L_{sz}=\hbar m_s\left(2\right),\]где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число. Следовательно, можно провести вычисления:
\[L_{sz}=\pm \frac{1}{2}\cdot 1,05\cdot {10}^{-34}=\pm 5,25\cdot {10}^{-35}\left(Дж\cdot с\right).\]
Ответ: $L_s=9,09\cdot {10}^{-35}{\rm Дж}\cdot {\rm с},\ L_{sz}=\pm 5,25\cdot {10}^{-35}Дж\cdot с.$
Задание: Каков спиновый магнитный момент электрона ($p_{ms}$) и его проекция ($p_{ms_z}$) на направление внешнего поля?
Решение:
Спиновый магнитный момент электрона может быть определен из гиромагнитного соотношения как:
\[p_{ms}=\frac{q_e}{m_e}L_s\left(2.1\right).\]Собственный механический момента импульса (спина) электрона можно найти как:
\[L_s=\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(2.2\right),\]где $s=\frac{1}{2}$.
Подставим выражение для спина электрона в формулу (2.1), имеем:
\[p_{ms}=\frac{q_e}{m_e}\hbar \sqrt{s\left(s+1\right)}\left(2.3\right).\]Используем известные для электрона величины:
\[m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,\ q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл.\]поведем вычисление магнитного момента:
\[p_{ms}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}}{9,1\cdot {10}^{-31}}9,09\cdot {10}^{-35}=1,6\cdot {10}^{-23}\left(A\cdot м^2\right).\]Из опытов Штерна и Герлаха получено, что $p_{ms_z}$ (проекция собственного магнитного момента электрона) равна:
\[p_{ms_z}=\frac{q_e\hbar }{2m_e}\left(2.4\right).\]Вычислим $p_{ms_z}$ для электрона:
\[p_{ms_z}=\frac{1,6\cdot {10}^{-19}\cdot 1,05\cdot {10}^{-34}}{2\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}}=9,27\cdot {10}^{-24}\left(A\cdot м^2\right).\]Ответ: $p_{ms}=1,6\cdot {10}^{-23}A\cdot м^2,\ p_{ms_z}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2.$
