Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Квантовое электромагнитное поле

Квантовое электромагнитное поле

Свободное электромагнитное поле в некотором объеме можно представить в виде системы бесконечно большой совокупности осцилляторов поля (мод поля). Представим, что электромагнитное поле локализовано в объеме в виде куба, который имеет зеркальные стенки. Применяя кулоновскую калибровку потенциала:

напряженности электрического и магнитного полей определятся в виде формул в системе СГС:

При этом векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению:

Решение уравнения (3) ищут как разложение по стоячим волнам:

где k -- волновой вектор стоячей волны, eλ -- единичный вектор поляризации. Учитывая выражения (4) напряженности электрического и магнитного полей можно представить как:

Если подставить разложение (4) в волновое уравнение (3), то мы имеем, что bkλ(t) удовлетворяет уравнению для гармонического осциллятора вида:

где ωk=kc.

Подобное уравнение получается для параметра:

который определяет напряженность электрического поля в моде с волновым вектором k и состоянием поляризации λ:

Если длину стороны выделенного кубического объема обозначить как K, то энергия электромагнитного поля (W) в данном объеме равна:

Замечание 1

Надо отметить, что величина K должна быть довольно большой, такой чтобы при рассмотрении волнового процесса, возмущение не достигало границ выделенного объема.

Выражение (10) говорит о том, что функция Гамильтона для свободного электромагнитного поля может быть представлена как сумма операторов Гамильтона гармонических осцилляторов, при этом каждый из осцилляторов соответствует какой то полевой моде. Именно из-за этого о разложении (4) говорят как о разложении поля по осцилляторам. При этом количество мод поля в выражениях (4) и (10) бесконечно велико. В таком случае считают, что электромагнитное поле является системой с бесконечным числом степеней свободы.

«Квантовое электромагнитное поле» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Если избрать одну степень свободы, которая задается волновым вектором k и определенным состоянием поляризации, то функция Гамильтона для такой моды имеет вид:

где b(t) и ε(t) являются определяющими для величины векторного потенциала и напряженности электрического поля в избранной моде.

Функция Гамильтона (H) для классического гармонического осциллятора имеет вид:

Тогда можно сказать, что в выражении (11) векторный потенциал b исполняет роль «координаты» осциллятора поля, а ε роль «импульса».

Введем безразмерные величины:

где ε=8πc2ωK3,b=8πc2ωK3, тогда выражение для гамильтониана (11) получит вид:

Введем полевые операторы:

В таком случае можно провести замену:

ˆHpol -- свободного электромагнитного поля.

Волновые функции, которые описывают квантовое состояние моды поля обозначим как: ϕ (ε,t). При этом |ϕ (ε,t)|2 -- есть плотность вероятности получить величину напряженности электрического поля равной ε в момент времени t.

Стационарное уравнение Шредингера для стационарных состояний моды электромагнитного поля запишется как:

Моду поля при этом определяют совокупностью стационарных состояний, имеющих энергии:

где k -- квант поля в стационарном состоянии (|k=ϕk(ε)).

Распределение плотности вероятности в основном состоянии поля (электромагнитный вакуум) (при k=0) равно:

Распределение плотности вероятности в произвольном стационарном состоянии моды поля |k можно представить как:

где Hk -- полином Эрмита.

Электромагнитное поле в любом стационарном состоянии является квантовым объектом.

Примеры задач

Пример 1

Представляется ли возможным одновременно точно определить значения напряженностей электрического и магнитного полей?

Решение:

Известно, что операторы импульса и координаты не коммутирую между собой:

[ˆx, ˆp]=i (1.1).

Значит, не возможно такое состояние, в котором данные величины имеют точно определенные значения. Так как в квантово теории электромагнитного поля операторы ˆε и ˆb считают эквивалентными операторам ˆx и  ˆp, то имеем:

[ˆε, ˆb]=i (1.2).

Примем во внимание то, что напряженность магнитного поля в исследуемой моде пропорциональна b. Тогда можно сделать вывод, что в квантовой механике одномоментно точно определить величины напряженностей магнитного и электрического полей для одной моды не представляется возможным.

Ответ: Невозможно.

Пример 2

Охарактеризуйте основное состояние электромагнитного поля.

Решение:

Электромагнитный вакуум является основным состоянием электромагнитного поля. Это состояние, при котором во всех модах поля нет фотонов. При этом исключить взаимодействие атома с окружающим его электромагнитным вакуумом принципиально не возможно. При этом влиять на взаимодействие с электромагнитным вакуумом можно. Так как структура мод поля связана с размером и геометрии области, в которой существует поле. Изменяя геометрию такой полости и ее размер можно значительно перестроить спектр мод поля. Чем существенно можно изменить интенсивность взаимодействия атома, который помещен в полость с электромагнитным вакуумом, который его окружает.

Распределение плотности вероятности в основном состоянии поля (электромагнитный вакуум) (при k=0) равно:

|ϕ0 (ε)|2=1πeε2(2.1),

где k -- квант поля в стационарном состоянии (|k=ϕk(ε)).

Взаимодействие атома с электромагнитным вакуумом приводит к возникновению спонтанных переходов, лэмбовскому сдвигу атомных уровней.

Дата последнего обновления статьи: 03.08.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Квантовое электромагнитное поле"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant