Квантовое электромагнитное поле
Свободное электромагнитное поле в некотором объеме можно представить в виде системы бесконечно большой совокупности осцилляторов поля (мод поля). Представим, что электромагнитное поле локализовано в объеме в виде куба, который имеет зеркальные стенки. Применяя кулоновскую калибровку потенциала:
напряженности электрического и магнитного полей определятся в виде формул в системе СГС:
При этом векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению:
Решение уравнения (3) ищут как разложение по стоячим волнам:
где $\overrightarrow{k}$ -- волновой вектор стоячей волны, ${\overrightarrow{e}}_{\lambda }$ -- единичный вектор поляризации. Учитывая выражения (4) напряженности электрического и магнитного полей можно представить как:
Если подставить разложение (4) в волновое уравнение (3), то мы имеем, что $b_{k\lambda }(t)$ удовлетворяет уравнению для гармонического осциллятора вида:
где ${\omega }_k=kc$.
Подобное уравнение получается для параметра:
который определяет напряженность электрического поля в моде с волновым вектором $\overrightarrow{k}\ $и состоянием поляризации $\lambda $:
Если длину стороны выделенного кубического объема обозначить как K, то энергия электромагнитного поля (W) в данном объеме равна:
Надо отметить, что величина K должна быть довольно большой, такой чтобы при рассмотрении волнового процесса, возмущение не достигало границ выделенного объема.
Выражение (10) говорит о том, что функция Гамильтона для свободного электромагнитного поля может быть представлена как сумма операторов Гамильтона гармонических осцилляторов, при этом каждый из осцилляторов соответствует какой то полевой моде. Именно из-за этого о разложении (4) говорят как о разложении поля по осцилляторам. При этом количество мод поля в выражениях (4) и (10) бесконечно велико. В таком случае считают, что электромагнитное поле является системой с бесконечным числом степеней свободы.
Если избрать одну степень свободы, которая задается волновым вектором $\overrightarrow{k}$ и определенным состоянием поляризации, то функция Гамильтона для такой моды имеет вид:
где $b\left(t\right)$ и $\varepsilon (t)$ являются определяющими для величины векторного потенциала и напряженности электрического поля в избранной моде.
Функция Гамильтона ($H$) для классического гармонического осциллятора имеет вид:
Тогда можно сказать, что в выражении (11) векторный потенциал $b$ исполняет роль «координаты» осциллятора поля, а $\varepsilon $ роль «импульса».
Введем безразмерные величины:
где ${\varepsilon }^*=\sqrt{\frac{8\pi c^2\hbar \omega }{K^3}}$,$b^*=\sqrt{\frac{8\pi c^2\hbar }{\omega K^3}}$, тогда выражение для гамильтониана (11) получит вид:
Введем полевые операторы:
В таком случае можно провести замену:
${\hat{H}}_{pol}$ -- свободного электромагнитного поля.
Волновые функции, которые описывают квантовое состояние моды поля обозначим как: $\phi\ (\varepsilon ,t)$. При этом ${\left|\phi\ (\varepsilon ,t)\right|}^2$ -- есть плотность вероятности получить величину напряженности электрического поля равной $\varepsilon $ в момент времени $t$.
Стационарное уравнение Шредингера для стационарных состояний моды электромагнитного поля запишется как:
Моду поля при этом определяют совокупностью стационарных состояний, имеющих энергии:
где $k$ -- квант поля в стационарном состоянии ($\left|\left.k\right\rangle =\phi_k\left(\varepsilon \right)\right.$).
Распределение плотности вероятности в основном состоянии поля (электромагнитный вакуум) (при $k=0$) равно:
Распределение плотности вероятности в произвольном стационарном состоянии моды поля $\left|\left.k\right\rangle \right.$ можно представить как:
где $H_k$ -- полином Эрмита.
Электромагнитное поле в любом стационарном состоянии является квантовым объектом.
Примеры задач
Представляется ли возможным одновременно точно определить значения напряженностей электрического и магнитного полей?
Решение:
Известно, что операторы импульса и координаты не коммутирую между собой:
\[\left[\hat{x},\ \hat{p}\right]=i\ \left(1.1\right).\]Значит, не возможно такое состояние, в котором данные величины имеют точно определенные значения. Так как в квантово теории электромагнитного поля операторы $\widehat{\varepsilon }$ и $\hat{b}$ считают эквивалентными операторам $\hat{x}\ и\ \ \hat{p}$, то имеем:
\[\left[\widehat{\varepsilon },\ \hat{b}\right]=i\ \left(1.2\right).\]Примем во внимание то, что напряженность магнитного поля в исследуемой моде пропорциональна $b$. Тогда можно сделать вывод, что в квантовой механике одномоментно точно определить величины напряженностей магнитного и электрического полей для одной моды не представляется возможным.
Ответ: Невозможно.
Охарактеризуйте основное состояние электромагнитного поля.
Решение:
Электромагнитный вакуум является основным состоянием электромагнитного поля. Это состояние, при котором во всех модах поля нет фотонов. При этом исключить взаимодействие атома с окружающим его электромагнитным вакуумом принципиально не возможно. При этом влиять на взаимодействие с электромагнитным вакуумом можно. Так как структура мод поля связана с размером и геометрии области, в которой существует поле. Изменяя геометрию такой полости и ее размер можно значительно перестроить спектр мод поля. Чем существенно можно изменить интенсивность взаимодействия атома, который помещен в полость с электромагнитным вакуумом, который его окружает.
Распределение плотности вероятности в основном состоянии поля (электромагнитный вакуум) (при $k=0$) равно:
\[{\left|\phi_0\ (\varepsilon )\right|}^2=\frac{1}{\sqrt{\pi }}e^{-{\varepsilon }^2}\left(2.1\right),\]где $k$ -- квант поля в стационарном состоянии ($\left|\left.k\right\rangle =\phi_k\left(\varepsilon \right)\right.$).
Взаимодействие атома с электромагнитным вакуумом приводит к возникновению спонтанных переходов, лэмбовскому сдвигу атомных уровней.
