Комбинационный принцип для атома водорода
Излучение атома водорода характеризуют величинами, которые называют спектральными термами:
где R- постоянная Ридберга. Спектральный терм связан с энергией атома (En) в некотором стационарном состоянии (n) выражением:
где h=6,63⋅10−34Дж⋅с.
Все частоты, излучаемые атомом водорода, могут быть представлены как комбинация спектральных термов:
где R=3,29⋅1015c−1. Данное правило сформулировал в 1908 г. Ритц, называют его комбинационным принципом Ритца.
Комбинационный принцип для атомов щелочных металлов
Изучая спектры атомов с более сложной структурой, чем водород было обнаружено, что частоты линий их испускания можно представить как разность спектральных термов, которые относятся к избранному атому. При этом термы описываются более сложными формулами, чем для атома водорода (1). Самыми простыми темами, по виду похожими на спектральные термы водорода, стали термы щелочных металлов:
где R1 и α -- постоянные.
Итак, комбинационный принцип говорит о том, что все линии в спектре испускания атома представляются в виде комбинации спектральных термов атома. Но, не все сочетания таких термов атома относятся к реально существующим линиям в спектре. Часть сочетаний спектральных термов запрещены. Правила, с помощью которых разделяют возможные и запрещенные сочетания термов называют правилами отбора. Изначально их установили экспериментально, затем объяснили в теории.
Квантование момента импульса
Энергии стационарных состояний атома определяют, используя правила квантования (Один из постулатов Бора). Согласно модели атома Резерфорда в совокупности с постулатами Бора, стационарными орбитами электрона, при его движении в атоме, являются только орбиты, при движении по которым момент импульса (L) электрона равен целому числу постоянных Планка (ℏ):
где n -- квантовое число (целое число, равное числу длин волн де Бройля для электрона, которое укладывается на длине круговой орбиты).
С помощью правила квантования момента импульса (5) из совокупности орбит, которые допустимы с точки зрения классической механики, выбирают дискретное множество орбит, которое характеризуют условием квантования.
В квантовой механике дальнейшее развитие получило правило квантования момента импульса Бора. Так, момент импульса электрона (Ll) в любом атоме (не только атоме водорода) может иметь только квантовые значения:
где l -- орбитальное квантовое число. При заданном главном квантовом числе n оно может принимать значения: l=0,1,2,…,n−1. В квантовой механике в каждом атоме могут быть состояния, при которых момент импульса равен нулю.
Применение принципа квантования
Используя правило квантования легко вычислить круговые стационарные орбиты атома водорода (водородоподобного атома) и энергетические уровни, которые соответствуют найденным орбитам. В атоме, который называют водородоподобным, электрон, обладающий зарядом qe, вращается вокруг ядра, которое имеет заряд Zqe. Масса ядра существенно больше массы электрона. В связи с этим, ядро считают неподвижным, а про электрон говорят, что он движется вокруг ядра по окружности радиуса r. (Ядро создает электрическое поле, электрон в нем перемещается).
На электрон действует сила Кулона, и он имеем центростремительное ускорение, можно записать:
Потенциальную энергию электрона, находящегося в поле ядра можно представить как:
В таком случае полная энергия движущейся частицы будет равна:
В соответствии с правилом квантования запишем:
Исключим из выражений (7) и (10) скорость, выразим радиус стационарной орбиты электрона, получаем:
Из выражения (11) следует, что радиус первой стационарной орбиты (r0) (при n=1) в атоме водорода (Z=1) равен:
где ε0=8,85⋅10−12Фм, ℏ=1,05 ⋅10−34Дж⋅с, me=9,1⋅10−34кг, qe=1,6⋅10−19Кл. Используя известные параметры, получаем, что r0=0,529⋅10−10м.
Энергия электрона (En), который движется по стационарной орбите номер n, определена выражением (9), где под радиусом r надо понимать rn (11), значит имеем:
Из формулы (13) следует, что энергетические состояния водородоподобного атома составляют последовательность энергетических уровней, которые изменяются в зависимости от величины n. Энергетическое состояние при n=1, называют нормальным (основным). Состояния при n>1 называют возбужденными. Знак минус в формуле (13) указывает на то, что электрон притягивается к ядру. Абсолютную величину En называют энергией связи электрона в атоме, при его нахождении в состоянии n. (En=∞=0−состояние ионизации атома.) Энергия ионизации (Eion) связана с потенциалом ионизации (φ) как:
Задание: Какова скорость электрона на первой орбите атома водорода?
Решение:
По правилу квантования мы можем записать выражение, связывающее радиус орбиты электрона и его скорость:
Ln=hbar (n=1,2,3,…)(1.1),где n -- квантовое число, Ln -- момент импульса электрона, который можно в нашем случае определить как:
Ln=mevrn(1.2).По условию задачи мы должны рассмотреть первую орбиту, следовательно, n=1. Формула для вычисления радиуса в атоме водорода получена в теоретической части, ее вид:
rn=4πε0 n2ℏ2meZqe2(1.3),где Z=1, n=1, то есть получаем:
r0=4πε0ℏ2meqe2(1.4).Используя формулы (1.1), (1.2) и (1.4) получим:
mevr0=ℏ→mev4πε0ℏ2meqe2=ℏ→v=qe24πε0ℏ.Используем известные величины: ε0=8,85⋅10−12Фм, ℏ=1,05 ⋅10−34Дж⋅с, qe=1,6⋅10−19Кл, проведем вычисления скорости:
v=(1,6⋅10−19)24π⋅8,85⋅10−12⋅1,05 ⋅10−34=2,56⋅10−38116,7⋅10−46=2,19⋅106(мс).Ответ: v=2,19⋅106мс.
Задание: Зная энергию ионизации атома водорода (Eion=13,6 эВ) вычислите первый потенциал возбуждения (φ1) данного атома.
Решение:
Энергия ионизации (Eion) связана с потенциалом ионизации (φ) как:
Eion=qeφ=Rhn2(2.1),где по условию задачи n=1. В свою очередь можно записать:
qeφ1=hν1,2=hR(112−122)=hR34=34Eion→φ1=34Eionqe.Проведем вычисления, не забыв перевести энергию ионизации в Дж: (1эВ=1,6⋅10−19Дж):
φ1=34⋅13,6⋅1,6⋅10−19 1,6⋅10−19=10,2(В).Ответ: φ1=10,2 B.
