Комбинационный принцип для атома водорода
Излучение атома водорода характеризуют величинами, которые называют спектральными термами:
где $R$- постоянная Ридберга. Спектральный терм связан с энергией атома ($E_n$) в некотором стационарном состоянии ($n$) выражением:
где $h=6,63\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с.$
Все частоты, излучаемые атомом водорода, могут быть представлены как комбинация спектральных термов:
где $R=3,29\cdot {10}^{15}c^{-1}.$ Данное правило сформулировал в 1908 г. Ритц, называют его комбинационным принципом Ритца.
Комбинационный принцип для атомов щелочных металлов
Изучая спектры атомов с более сложной структурой, чем водород было обнаружено, что частоты линий их испускания можно представить как разность спектральных термов, которые относятся к избранному атому. При этом термы описываются более сложными формулами, чем для атома водорода (1). Самыми простыми темами, по виду похожими на спектральные термы водорода, стали термы щелочных металлов:
где $R_1$ и $\alpha $ -- постоянные.
Итак, комбинационный принцип говорит о том, что все линии в спектре испускания атома представляются в виде комбинации спектральных термов атома. Но, не все сочетания таких термов атома относятся к реально существующим линиям в спектре. Часть сочетаний спектральных термов запрещены. Правила, с помощью которых разделяют возможные и запрещенные сочетания термов называют правилами отбора. Изначально их установили экспериментально, затем объяснили в теории.
Квантование момента импульса
Энергии стационарных состояний атома определяют, используя правила квантования (Один из постулатов Бора). Согласно модели атома Резерфорда в совокупности с постулатами Бора, стационарными орбитами электрона, при его движении в атоме, являются только орбиты, при движении по которым момент импульса ($L$) электрона равен целому числу постоянных Планка ($\hbar $):
где $n$ -- квантовое число (целое число, равное числу длин волн де Бройля для электрона, которое укладывается на длине круговой орбиты).
С помощью правила квантования момента импульса (5) из совокупности орбит, которые допустимы с точки зрения классической механики, выбирают дискретное множество орбит, которое характеризуют условием квантования.
В квантовой механике дальнейшее развитие получило правило квантования момента импульса Бора. Так, момент импульса электрона ($L_l$) в любом атоме (не только атоме водорода) может иметь только квантовые значения:
где $l$ -- орбитальное квантовое число. При заданном главном квантовом числе $n$ оно может принимать значения: $l=0,1,2,\dots ,n-1$. В квантовой механике в каждом атоме могут быть состояния, при которых момент импульса равен нулю.
Применение принципа квантования
Используя правило квантования легко вычислить круговые стационарные орбиты атома водорода (водородоподобного атома) и энергетические уровни, которые соответствуют найденным орбитам. В атоме, который называют водородоподобным, электрон, обладающий зарядом $q_e$, вращается вокруг ядра, которое имеет заряд $Zq_e$. Масса ядра существенно больше массы электрона. В связи с этим, ядро считают неподвижным, а про электрон говорят, что он движется вокруг ядра по окружности радиуса $r$. (Ядро создает электрическое поле, электрон в нем перемещается).
На электрон действует сила Кулона, и он имеем центростремительное ускорение, можно записать:
Потенциальную энергию электрона, находящегося в поле ядра можно представить как:
В таком случае полная энергия движущейся частицы будет равна:
В соответствии с правилом квантования запишем:
Исключим из выражений (7) и (10) скорость, выразим радиус стационарной орбиты электрона, получаем:
Из выражения (11) следует, что радиус первой стационарной орбиты ($r_0$) (при $n$=1) в атоме водорода $(Z=1)$ равен:
где ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$, $\hbar =1,05\ \cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, $m_e=9,1\cdot {10}^{-34}кг,$ $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл.$ Используя известные параметры, получаем, что $r_0=0,529\cdot {10}^{-10}м$.
Энергия электрона ($E_n$), который движется по стационарной орбите номер $n$, определена выражением (9), где под радиусом $r$ надо понимать $r_n\ \left(11\right),$ значит имеем:
Из формулы (13) следует, что энергетические состояния водородоподобного атома составляют последовательность энергетических уровней, которые изменяются в зависимости от величины $n$. Энергетическое состояние при $n=1$, называют нормальным (основным). Состояния при $n >1$ называют возбужденными. Знак минус в формуле (13) указывает на то, что электрон притягивается к ядру. Абсолютную величину $E_n$ называют энергией связи электрона в атоме, при его нахождении в состоянии $n$. ($E_{n=\infty }=0-состояние\ ионизации\ атома.$) Энергия ионизации ($E_{ion}$) связана с потенциалом ионизации ($\varphi $) как:
Задание: Какова скорость электрона на первой орбите атома водорода?
Решение:
По правилу квантования мы можем записать выражение, связывающее радиус орбиты электрона и его скорость:
\[L_n= hbar \ \left(n=1,2,3,\dots \right)\left(1.1\right),\]где $n$ -- квантовое число, $L_n$ -- момент импульса электрона, который можно в нашем случае определить как:
\[L_n=m_evr_n\left(1.2\right).\]По условию задачи мы должны рассмотреть первую орбиту, следовательно, $n=1.$ Формула для вычисления радиуса в атоме водорода получена в теоретической части, ее вид:
\[r_n=\frac{{4\pi {\varepsilon }_0\ \ n}^2{\hbar }^2}{m_eZ{q_e}^2}\left(1.3\right),\]где $Z=1,\ n=1$, то есть получаем:
\[r_0=\frac{4\pi {\varepsilon }_0{\hbar }^2}{m_e{q_e}^2}\left(1.4\right).\]Используя формулы (1.1), (1.2) и (1.4) получим:
\[m_evr_0=\hbar \to m_ev\frac{4\pi {\varepsilon }_0{\hbar }^2}{m_e{q_e}^2}=\hbar \to v=\frac{{q_e}^2}{4\pi {\varepsilon }_0\hbar }.\]Используем известные величины: ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$, $\hbar =1,05\ \cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, $q_e=1,6\cdot {10}^{-19}Кл,$ проведем вычисления скорости:
\[v=\frac{{(1,6\cdot {10}^{-19})}^2}{4\pi \cdot 8,85\cdot {10}^{-12}\cdot 1,05\ \cdot {10}^{-34}}=\frac{2,56\cdot {10}^{-38}}{116,7\cdot {10}^{-46}}=2,19\cdot {10}^6\left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ: $v=2,19\cdot {10}^6\frac{м}{с}.$
Задание: Зная энергию ионизации атома водорода ($E_{ion}=13,6\ эВ$) вычислите первый потенциал возбуждения (${\varphi }_1$) данного атома.
Решение:
Энергия ионизации ($E_{ion}$) связана с потенциалом ионизации ($\varphi $) как:
\[E_{ion}=q_e\varphi =\frac{Rh}{n^2}\left(2.1\right),\]где по условию задачи $n$=1. В свою очередь можно записать:
\[q_e{\varphi }_1=h{\nu }_{1,2}=hR\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=hR\frac{3}{4}={\frac{3}{4}E}_{ion}\to {\varphi }_1=\frac{3}{4}\frac{E_{ion}}{q_e}.\]Проведем вычисления, не забыв перевести энергию ионизации в Дж: ($1эВ=1,6\cdot {10}^{-19}Дж$):
\[{\varphi }_1=\frac{3}{4}\cdot \frac{13,6\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\ }{1,6\cdot {10}^{-19}}=10,2(В).\]Ответ: ${\varphi }_1=10,2\ B.$
