Первая попытка создать квантовую теорию атома была сделана Н. Бором в $1913$ г. Он использовал планетарную модель атома, предложенную Резерфордом. Кроме того, в основу своей теории Бор положил два постулата:
-
Постулат стационарных состояний. Согласно нему в атоме существуют стационарные состояния. В данных состояниях атом не излучает энергии. Данным состояниям соответствуют стационарные орбиты. Движение электронов по таким орбитам происходит без излучения электромагнитных волн.
Если электрон движется по стационарным круговым орбитам, то его момент импульса имеет дискретные квантованные значения, которые подчиняются условию:
\[m_evr_n=n\hbar \left(n=1,2,3,\dots \right)\left(1\right),\]где $m_e$ -- масса электрона, $v$- скорость электрона при движении по орбите радиуса $r_n$, $\hbar =\frac{h}{2\pi }$.
-
Правило частот. Если электрон осуществляет переход с одной стационарной орбиты на другую, то излучается (поглощается) один фотон, имеющий энергию:
\[h\nu =E_n-E_m\left(2\right),\]где $E_n\ и\ E_m$- энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). Если $E_n\ >\ E_m$, то фотон излучается, при $E_n\ \[\nu =\frac{E_n-E_m}{h}(3)\]
составляет линейчатый спектр атома.
Правила квантования
Энергии стационарных состояний электрона в атоме по Бору определяются правилом квантования. Если рассматривать круговые орбиты электронов в атоме, то стационарными являются только те орбиты, двигаясь по которым момент импульса электрона ($L$) равен целому числу постоянных Планка ($\hbar $):
Целое число $n$ - квантовое число. Правило квантования определяет некоторое дискретное число орбит, выделяя из всего множества, которое допускает классическая механика.
Используя правило квантования, легко найти круговые стационарные орбиты водородоподобного атома. В водородоподобном атоме электрон, имеющий заряд $q_e$ ядра, заряд которого равен $Zq_e$. Масса электрона много меньше, чем масса ядра. Значит, ядро можно считать неподвижным, при этом электрон вращается по окружности ($r_n$ -- радиус окружности) около ядра.
Сила, c которой электрон притягивается к ядру, равна:
Она же равна произведению центростремительного ускорения электрона на его массу, то есть:
Потенциальная энергия электрона, находящегося в поле ядра равна:
При этом полная энергия электрона:
Применяя правила квантования имеем:
Используем выражения (6) и (9) исключаем из них скорость, выражаем радиус стационарной орбиты:
В атоме водорода $Z=1$, радиус первой орбиты равен:
Параметр $r_0$ является первым Боровским радиусом.
Энергия электрона, который движется по орбите номер $n$, определена формулой (8), в которой под $r$ понимают радиус $r_n$. Получаем, что $E_n$ равна:
Формула (11) представляет уровни энергии стационарных состояний электрона в атоме водорода. Состояния атома при $n=1$ называют основным.
Круговые орбиты -- частный случай орбиты электрона, который движется в поле ядра. В общем случае электрон должен перемещаться по эллиптическим орбитам. Обобщение правил квантования для такого случая выполнили Ч. Вильсон и А. Зоммерфельд. Квантовые условия (их количество j), которые накладываются в данном случае, с помощью квантовых условий, имеют вид:
В выражении (12) механическая система имеет $j$ степеней свободы. Ее описывают обобщение координаты $q_i$ ($i=1,2,\dots ,j$) и обобщенные импульсы $p_i$, определенные как:
где $E_k$ -- кинетическая энергия системы, ${\dot{q}}_i$ -- производные по времени от обобщенных координат. В выражении (12) используются координаты, которые разделяются, то есть в которых импульс является функцией от соответствующей обобщенной координаты.
Выражение для энергии стационарных состояний в случае эллиптических орбит имеет вид:
где ${n=n}_r+n_{\varphi }$- главное квантовое число (азимутальное и радиальное квантовые числа).
Задание: Какова частота вращения электрона по стационарной круговой орбите номер n атома водорода в теории Бора?
Решение:
Для ядра атома водорода имеем: $Z=1.$
Сила, действующая на электрон со стороны ядра, равна:
\[F=\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0{r_n}^2}\left(1.1\right).\]С другой стороны она равна:
\[F=\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0{r_n}^2}=m_e\frac{v^2}{r_n}\to \frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r_n}=m_ev^2\to r_n=\frac{Zq^2_e}{4\pi v^2{\varepsilon }_0m_e}\left(1.2\right).\]Используем правило квантования для круговых орбит:
\[m_evr_n=n\hbar \to v=\frac{n\hbar }{m_er_n}\left(1.3\right).\]В выражение (1.3) подставим $r_n$ из формулы (1.2), получим:
\[v=\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0n\hbar }\left(1.4\right).\]Вместо скорости подставим правую часть (1.4), имеем:
\[r_n=\frac{Zq^2_e}{4\pi {(\frac{Zq^2_e}{4\pi {\varepsilon }_0n\hbar })}^2{\varepsilon }_0m_e}=\frac{n^24\pi {\hbar \varepsilon }_0}{q^2_em_e}\left(1.5\right).\]Искомую частоту (f) найдем как:
\[f=\frac{v}{2\pi r_n}=\frac{q^2_e}{4\pi \varepsilon_0n\hbar }\frac{1}{2\pi}\frac{q^2_em_e}{n^24\pi {\hbar \varepsilon}_0}=\frac{q^4_em_e}{32{{\hbar }^2n^3\pi }^3{\varepsilon }^2_0}.\]Ответ: $f=\frac{q^4_em_e}{32{{\hbar }^2n^3\pi }^3{\varepsilon }^2_0}.$
Задание: Каков эквивалентный ток при вращении электрона в примере $1$?
Решение:
Силу тока при движении электрона по круговой орбите можно определить как:
\[I=\frac{q_e}{T}\left(2.1\right),\]где $T$ - период вращения электрона по круговой орбите. Он в свою очередь равен:
\[T=\frac{2\pi r_n}{v_n}\left(2.2\right).\]Подставим выражение для $T$ из (2.2) в (2.1), имеем:
\[I=\frac{q_ev_n}{2\pi r_n}=q_ef\left(2.3\right).\]Выражение для частоты используем из Примера $1$:
\[f=\frac{q^4_em_e}{32{{\hbar }^2n^3\pi }^3{\varepsilon }^2_0}\left(2.4\right).\]Подставим в (2.3) выражение для (2.4), имеем:
\[I=\frac{q^5_em_e}{32{{\hbar }^2n^3\pi }^3{\varepsilon }^2_0}.\]Ответ: $I=\frac{q^5_em_e}{32{{\hbar }^2n^3\pi }^3{\varepsilon }^2_0}.$
