Потенциальность электрического поля стационарного тока
Электрический ток называют стационарным (постоянным), если его сила (I) не изменяется со временем не по модулю, не по направлению.
Электрическое поле стационарного тока является потенциальным. Это означает, например, что связь между напряженностью поля и потенциалом выражается так же, как и у поля в электростатике:
\[\overrightarrow{E}=-grad\varphi \left(1\right).\]Распределение зарядов в поле стационарных токов должно, не смотря на их движение, оставаться постоянным во времени, так как в противном случае, это вызывало бы изменение напряженности ($\overrightarrow{E}$), но в таком случае и сила тока вынуждена была бы измениться, следовательно, ток перестал бы быть постоянным. В том случае, если распределение зарядов постоянно, то их поле должно быть эквивалентно электростатическому полю с соответствующим распределением зарядов. И совершенно не важно, что в каждой конкретной точке одни заряды сменяют другие из-за движения. Это не сказывается на напряженности электрического поля, так как плотность зарядов в каждой точке пространства не изменяется. Данное утверждение является одним из постулатов теории электрического поля.
Интегральный и дифференциальный виды условия стационарности токов
Наиболее общее условие стационарности токов и поля в интегральном виде получается из закона сохранения заряда, который имеет вид:
\[\frac{\partial q}{\partial t}=-\oint\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}\left(1\right).\]Как было сказано выше, электрическое поле стационарных токов задано стационарным распределением зарядов, следовательно, заряд не изменяется во времени, то есть:
\[\frac{\partial q}{\partial t}=0\left(2\right).\]Значит и правая часть выражения (1) равна нулю:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}=0\left(3\right).\]Получили (3) интегральное условие стационарности токов.
Условие стационарности токов и поля в дифференциальном виде получают из уравнения непрерывности токов:
\[\frac{\partial \rho }{\partial t}+div\overrightarrow{j}=0\ \left(4\right).\]Можно получить дифференциальное условие стационарности токов, зная, что для стационарных токов:
\[\frac{\partial \rho }{\partial t}=0\ \left(5\right)\]и, следовательно:
\[div\overrightarrow{j}=0\ \left(6\right).\]Выражение (6) условие стационарности токов в дифференциальном виде.
Задание: Перечислите следствия стационарности распределения зарядов в поле постоянных токов.
Решение:
Из постоянства распределения зарядов в поле стационарных токов следует:
- То, что эти токи являются либо замкнутыми, либо уходят в бесконечность. В противном случае, на месте начала линии постепенно накапливался заряд, а в месте окончания линии заряд бы убывал.
- В том случае, если у проводника нет разветвлений, то через разные его сечения протекает ток равный по силе.
- В каждой точке, где разветвляется ток, выполняется первый закон Кирхгофа, который говорит о том, что алгебраическая сумма токов, которые входят в точку ветвления, равна нулю. Надо отметить, что для всех проводников, которые соприкасаются в данной точке, за положительное направление тока выбирают либо все входящие в узел токи, либо выходящие. Суммируют токи с учетом соответствующего им знака. Если считать, что правило не выполняется, то в точках разветвления накапливался бы заряд, который изменялся бы со временем, изменение заряда вызывало бы изменение напряженности поля и токи не могли бы оставаться постоянными.
- Нормальная составляющая вектора плотности тока одинакова по обеим сторонам границы двух проводников: \[j_{1n}=j_{2n}\left(1.1\right),\]
- Если проводник граничит с непроводящей средой, то для нее $\overrightarrow{j}=0$, значит, нормальная составляющая плотности тока в проводнике равна нулю: \[j_n=0\left(1.2\right).\]
- Макроскопическая плотность свободных зарядов внутри однородных проводников со стационарным током равна нулю.
где $j_{1n},j_{2n}$ -- составляющие вектора плотности тока, перпендикулярные границе раздела двух проводников с током.
Задание: Как показали эксперименты, зависимость удельной проводимости атмосферы Земли от высоты может быть представлена формулой:
\[\lambda \left(r\right)={\lambda }_0+A{\left(r-r_0\right)}^2\left(2.1\right),\]где $r_0$ -- радиус Земли, r- расстояние до центра Земли от рассматриваемой точки, ${\lambda }_0$ -- удельная проводимость у поверхности Земли, А -- постоянная. Поле Земли в среднем стационарно и сферически симметрично. Вблизи поверхности Земли имеется электрическое поле с напряженностью ${E_r}^{\left(0\right)},\ \ $ $которая\ направлена$ по радиусу к центру Земли. Найдите разность потенциалов между поверхностью Земли и верхней атмосфрой с точностью до величины $\left[\frac{{\lambda }_0}{{{Ar}_0}^2}\right]\ll 1$.
Решение:
Уравнение непрерывности, исходя из симметрии и стационарности поля, запишем в виде:
\[div\overrightarrow{j}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2j_r\right)=0\ \left(2.2\right).\]Из уравнения (2.2) получим:
\[j_r\left(r\right)=\frac{j_0{r_0}^2}{r^2}\left(2.3\right),\]где $j_0$ -- плотность тока у поверхности Земли (r=$r_0$). Она равна по закону Ома:
\[j_0=\lambda_0{E_r}^{\left(0\right)}\left(2.4\right).\]Напряженность поля в атмосфере Земли на расстоянии r от центра равна:
\[E_r=\frac{j_r\left(r\right)}{\lambda \left(r\right)}\left(2.5\right).\]Используем формулу (2.3), подставим ее в (2.5). Следовательно, разность потенциалов между поверхностью Земли и верхней атмосферой, удельная проводимость которой почти бесконечна, определится формулой:
\[U=-\int\limits^{\infty }_{r_0}{E_rdr}=-j_0{r_0}^2\int\limits^{\infty }_{r_0}{\frac{dr}{{\lambda \left(r\right)r}^2}}\left(2.6\right).\]Верхний предел интеграла положен равным бесконечности, так как на высотах более 50 км удельная проводимость атмосферы Земли почти бесконечна, а подынтегральное выражение в (2.6) обращается в ноль. Подставим в (2.6) выражение для удельной проводимости из условий задачи, получим:
\[U=-j_0{r_0}^2\int\limits^{\infty }_{r_0}{\frac{dr}{{\left({\lambda }_0+A{\left(r-r_0\right)}^2\right)r}^2}}\left(2.7\right).\]Этот интеграл просто вычисляется, но результат получается очень громоздким, поэтому мы его приводить не будем. С точностью до величины $\left[\frac{{\lambda }_0}{{{Ar}_0}^2}\right]\ll 1$, результат интегрирования можно представить как:
\[U=-\frac{j_0}{Ar_0}\left(1+ln\frac{{\lambda }_0}{{{Ar}_0}^2}+\frac{\pi r_0}{2}\sqrt{\frac{A}{{\lambda }_0}}\right).\]Благодаря постоянно протекающему через атмосферу Земли току эта разность потенциалов должна уменьшаться, а поверхностный заряд нейтрализоваться. Однако, стационарна в среднем не только сила тока, но и разность потенциалов. Такую стационарность поддерживают нестационарные процессы, например, грозы.
Ответ: $U=-\frac{j_0}{Ar_0}\left(1+ln\frac{{\lambda }_0}{{{Ar}_0}^2}+\frac{\pi r_0}{2}\sqrt{\frac{A}{{\lambda }_0}}\right).$
