Разветвленные цепи
На практике цепи могут быть очень сложными, могут состоять из нескольких источников тока, большого количества сопротивлений. Однако в цепь любой сложности входят два вида простых элементов:
- узлов -- точек цепи, в которых встречаются более чем два проводника с током (рис.1) (Например, точки С и D);
- замкнутых контуров (рис. 1) (ABDCA, CDFEC, ABFEA).
Рис. 1
Правила Кирхгофа
Правила Кирхгофа используют для создания системы уравнений, из которой находят силы тока для цепи любой сложности. По своей сути они -- законы Ома для каждого из контуров и законы сохранения заряда в каждом узле.
Первое правило Кирхгофа (правило узлов): Сумма алгебраических значений токов (Il) сходящихся в каждом узле, равна нулю:
где n- количество проводников, сходящихся в узле. Надо отметить, что положительными обычно принимают токи, которые к узлу подходят.
Правило Кирхгофа номер два: (правило контуров): Сумма произведений на сопротивления соответствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних ЭДС (E) в каждом замкнутом контуре:
В случае, когда используют правило Кирхгофа номер 2 задают направление обхода контура. Токи (Il), которые совпали по направлению с направлением обхода, полагают большими нуля. ЭДС (Ei) считают положительными, в том случае если они создают токи, которые направлены в сторону заданного обхода контура.
Система уравнений, которая получается в результате использования правил Кирхгофа, является полной и позволяет вычислять все токи в системе.
Таким образом, применения правил Кирхгофа следующий:
- произвольным образом выбираем для всех участков цепи направления токов;
- для m узлов цепи записываем m−1 независимых уравнений первого правила Кирхгофа для токов;
- последовательно выделяем произвольные замкнутые контуры, которые содержат не меньше одного участка цепи, не входящего в предыдущие контуры. В разветвленной цепи, которая состоит из n ветвей и m узлов, количество независимых уравнений, записанных с использованием второго правила Кирхгофа равно n−m+1.
Итак, если выписывать все уравнения по правилам Кирхгофа для всех контуров и всех узлов, то получится уравнений больше, чем необходимо, так как не все уравнения независимы. Чтобы не усложнять себе работы и не выписывать лишних уравнений, надо руководствоваться следующими правилами: записывая очередное уравнение для замкнутых контуров, надо следить, чтобы оно имело хотя бы одну величину, которая раньше в уравнения не входила, если все величины в уравнениях уже были, такое уравнение лишнее. Аналогично делают при выписывании уравнений для узлов. Затем, контроль правильности в написании уравнений состоит в проверке полноты системы уравнений. Количество уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Задание: В электрической схеме, приведенной на рис. 2, заданы R2, R3, R4 и ЭДС: E1, E2. Требуется определить R1, при условии, что ток в цепи гальванометра G отсутствует (IG=0).
Рис. 2
Зададим направления токов рис. 2, тогда для узлов A,B,C первое правило Кирхгофа записывается в виде:
I2−I1=0(1.1).За направление обхода контура примем движение против часовой стрелки, получим:
Для контура ABCGA: −I1R1+I3R3=E1(1.4)Решаем систему уравнений (1.1)-(1.6)и имеем:
R1=R3R2R4−R2(R3+R4)R4⋅E1E2.При E1=0 результат не зависит от ЭДС, получаем схему мостика Уитстона для измерения сопротивлений:
Ответ: Искомое R1 в заданной схеме можно найти в соответствии с формулой: R1=R3R2R4−R2(R3+R4)R4⋅E1E2.
Задание: R1,R2,R3, а также источник тока с ЭДС равным E1 соединены как показано на рис.3. Определите ЭДС источника тока, который надо подключить в цепь между точками А и В, чтобы через R3 шел ток I в направлении, которое указано стрелкой. Сопротивлением источника пренебречь.
Рис. 3
Решение:
За основу решения примем законы Кирхгофа одно для токов (2.1):
I1−I2+I=0 (2.1).Выберем направление обхода -- против часовой стрелки. Запишем два уравнения, используя второе правило Кирхгофа:
I1R1+I2R2=−1(2.2).Из уравнения (2.1) выразим I1, получим:
I1=I2−I (2.4).Подставим в (2.2), получим:
(I2−I)R1+I2R2=−E1→I2=IR1−E1R1+R2(2.5).Подставим I2 из (2.5) в (2.3) получим искомую ЭДС:
−IR1−E1R1+R2R2−IR3=EОтвет: E=−IR1−E1R1+R2R2−IR3 у ЭДС источника в точке A -- минус, в точке В -- плюс.
