Для существования в проводнике постоянного тока, то есть, движения электронов с постоянной скоростью необходимо, чтобы непрерывно действовала внешняя сила ($F$), равная:
где $q_e$ -- заряд электрона. Следовательно, электроны в проводнике движутся с трением. Или иначе говорят, что проводники имеют электросопротивление (R). Электросопротивление для различных проводников различно и может зависеть от материала, из которого изготовлен проводник и от его геометрических размеров.
Для измерения сопротивления можно использовать закон Ома. Для этого измеряют напряжение на концах проводника и силу тока, который течет через проводник, используют закон Ома для однородного проводника, вычисляют сопротивление:
Зависимость сопротивления от геометрических размеров и материала проводника
Если провести ряд экспериментов по измерению сопротивления однородного проводника постоянного сечения, но разной длины ($l$), то получится, что его электросопротивление прямо пропорционально длине ($R\sim l$).
Следующие эксперименты проводим для однородного проводника, одного и того же материала, одной длины, но разного сечения, то получаем, что сопротивление обратно пропорционально площади сечения ($R\sim \frac{1}{S}$).
И третий опыт, по исследованию электросопротивления проводников проводят с проводниками из разных материалов, с одинаковой длиной и сечением. Результат: сопротивление зависит и от материала проводника. Все полученные результаты выражает следующая формула, для вычисления сопротивления:
где $\rho $ -- удельное сопротивление материала.
Сопротивлением участка цепи между сечениями 1 и 2 ($R_{12}$) называют интеграл:
Для однородного (с точки зрения удельного сопротивления) цилиндрического проводника ($\rho =const,S=const\ $) сопротивление вычисляется по формуле (3).
Основной единицей измерения сопротивления в СИ является Ом. $1Ом=\frac{1В}{1А}.$
Удельное сопротивление
Удельное сопротивление материала равно сопротивлению цилиндра из какого то конкретного вещества, высотой 1 м и с площадью поперечного сечения $1 м^2$.
В СИ основной единицей удельного сопротивления является $Ом\cdot м$.
Удельное сопротивление веществ зависит от температуры. Для проводников эта зависимость приближенно может быть выражена формулой:
где ${\rho }_0$ -- удельное сопротивление проводника при температуре 00С, $t$ в градусах Цельсия, $\alpha $- температурный коэффициент сопротивления. Для большого количества металлов при температурах в интервале $0{\rm{}^\circ\!C}\le t\le 100{\rm{}^\circ\!C},$ $3,3\cdot {10}^{-3}\le \alpha \le 6,2\cdot {10}^{-3}\frac{1}{K}$.
Температурный коэффициент сопротивления данного вещества определен как:
$\alpha $ дает относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус. То есть исходя из (6) мы получаем, нелинейную зависимость удельного сопротивления от температуры, однако $\alpha $ изменяется с ростом (падением) температуры не так сильно, и эту нелинейность в большинстве случаев не учитывают. Для металлов $\alpha >0,\ $для электролитов $\alpha
Зависимость удельного сопротивления от температуры объясняется, зависимостью средней длинны свободного пробега носителя заряда от температуры. Это свойство используют в разного рода измерительных приборах и автоматических устройствах.
Удельная электропроводность вещества
Величина обратная удельному сопротивлению называется удельной электропроводностью ($\sigma $):
В системе СИ основная единица измерения электропроводности 1 $\frac{сименс}{м}$ ($\frac{См}{м}$). Величина $\sigma $ характеризует способность вещества проводить электрический ток. Электропроводимость зависит от химической природы вещества и условий (например, температуры) при которых это вещество находится. Если мы видели из уравнения (4), что $\rho \sim t$, то, следовательно $\sigma \sim \frac{1}{t}.\ $Надо отметить, что при низких температурах данные зависимости нарушаются. Наблюдается явление сверхпроводимости. При $T\to 0,\ $ у абсолютно чистого металла с идеально правильной кристаллической решеткой при абсолютном нуле удельная сопротивление должно быть равно нулю, соответственно, удельная проводимость бесконечна.
Задание: Вычислите сопротивление проводника (R), если на одном конце его поддерживается температура $t_1$, на другом $t_2$. Градиент температуры вдоль оси проводника постоянный. Сопротивление этого проводника при температуре равной 00С равно $R_0$.
Решение:
Исходя из постоянства градиента температуры вдоль оси проводника, запишем, что:
\[\frac{dt}{dx}=k\ \left(1.1\right),\]где $k=const.$ Следовательно, можно найти закон изменения температуры при движении вдоль проводника, то есть t(x). Для этого выразим $dt$, получим:
\[dt=kdx,dx=\ \frac{dt}{k}\left(1.2\right).\]Найдем интеграл от (1.2), получим:
\[t=kx+C\left(1.3\right).\]Поместим начало координат в точку, которая совпадает с концом проводника, имеющим температуру $t_1$. Тогда используя (1.3), подставим x=0, найдем постоянную C:
\[t_1=С\ \left(1.4\right).\]На другом конце температура проводника равна $t_2,$ подставим в (1.3), учтем (1.4) $x=l$, где $l$ -- длина проводника, получим:
\[t_2=kl+t_1\to k=\frac{t_2-t_1}{l}\left(1.5\right).\]Для вычисления сопротивления используем формулу:
\[R=\int\limits^l_0{\rho \frac{dl}{S}}\ \left(1.6\right),\]где $\rho ={\rho }_0\left(1+\alpha t\right)$. Вычислим интеграл:
\[R=\int\limits^l_0{{\rho }_0\left(1+\alpha t\right)\frac{dх}{S}}=\int\limits^{t_2}_{t_1}{{\rho }_0\left(1+\alpha t\right)\frac{dt}{kS}}=\frac{{\rho }_0}{kS}{\left.\left(t+\alpha \frac{t^2}{2}\right)\right|}^{t_2}_{t_1}=\frac{{\rho }_0}{kS}\left(t_2-t_1+\alpha \frac{{t_2}^2}{2}-\alpha \frac{{t_1}^2}{2}\right)\left(1.7\right).\]Вместо k в выражение (1.7) подставим то, что получили в (1.5), имеем:
\[R=\frac{{l\rho }_0}{\left(t_2-t_1\right)S}\left(t_2-t_1+\alpha \frac{{t_2}^2}{2}-\alpha \frac{{t_1}^2}{2}\right)=\frac{{l\rho }_0}{\left(t_2-t_1\right)S}\left(\left(t_2-t_1\right)+\frac{\alpha }{2}\left({t_2}^2-{t_1}^2\right)\right)=\left(\left(t_2-t_1\right)+\frac{\alpha }{2}\left(t_2-t_1\right)\cdot (t_2+t_1)\right)=\frac{{l\rho }_0}{S}\left(1+\frac{\alpha }{2}(t_2+t_1)\right)\left(1.8\right),\]где
\[\frac{{l\rho }_0}{S}=R_0\left(1.9\right).\]Окончательно получим:
\[R=R_0\left(1+\frac{\alpha }{2}(t_2+t_1)\right).\]Ответ:$R=R_0\left(1+\frac{\alpha }{2}(t_2+t_1)\right).$
Задание: Найдите сопротивление проводника удельное сопротивление которого равно $\rho $, диаметр d, масса m, плотность вещества проводника равна ${\rho }_m.$
Решение:
За основу решения задачи примем формулу:
\[R=\rho \frac{l}{S}\left(2.1\right).\]Если проводник считать цилиндром длины l, то массу стержня можно найти как:
\[m={\rho }_mV={\rho }_m\pi R^2l={\rho }_m\pi l\frac{d^2}{4}\ \left(2.2\right),\]где ${\rho }_m$ -- плотность массы проводника. Выразим из (2.2) длину стержня, получим:
\[l=\frac{4m}{{\rho }_m\pi ld^2}\left(2.3\right).\]Площадь поперечного сечения проводника найдем в соответствии с формулой:
\[S=\pi \frac{d^2}{4}\left(2.4\right).\]Подставим (2.3) и (2.4) в (2.1) получим:
\[R=\rho \frac{4m}{{\rho }_m\pi d^2}\frac{4}{\pi d^2}=\frac{\rho }{{\rho }_m}\frac{16m}{{\pi }^2d^4}.\]Ответ: $R=\frac{\rho }{{\rho }_m}\frac{16m}{{\pi }^2d^4}.$
