Для существования в проводнике постоянного тока, то есть, движения электронов с постоянной скоростью необходимо, чтобы непрерывно действовала внешняя сила (F), равная:
где qe -- заряд электрона. Следовательно, электроны в проводнике движутся с трением. Или иначе говорят, что проводники имеют электросопротивление (R). Электросопротивление для различных проводников различно и может зависеть от материала, из которого изготовлен проводник и от его геометрических размеров.
Для измерения сопротивления можно использовать закон Ома. Для этого измеряют напряжение на концах проводника и силу тока, который течет через проводник, используют закон Ома для однородного проводника, вычисляют сопротивление:
Зависимость сопротивления от геометрических размеров и материала проводника
Если провести ряд экспериментов по измерению сопротивления однородного проводника постоянного сечения, но разной длины (l), то получится, что его электросопротивление прямо пропорционально длине (R∼l).
Следующие эксперименты проводим для однородного проводника, одного и того же материала, одной длины, но разного сечения, то получаем, что сопротивление обратно пропорционально площади сечения (R∼1S).
И третий опыт, по исследованию электросопротивления проводников проводят с проводниками из разных материалов, с одинаковой длиной и сечением. Результат: сопротивление зависит и от материала проводника. Все полученные результаты выражает следующая формула, для вычисления сопротивления:
где ρ -- удельное сопротивление материала.
Сопротивлением участка цепи между сечениями 1 и 2 (R12) называют интеграл:
Для однородного (с точки зрения удельного сопротивления) цилиндрического проводника (ρ=const,S=const ) сопротивление вычисляется по формуле (3).
Основной единицей измерения сопротивления в СИ является Ом. 1Ом=1В1А.
Удельное сопротивление
Удельное сопротивление материала равно сопротивлению цилиндра из какого то конкретного вещества, высотой 1 м и с площадью поперечного сечения 1м2.
В СИ основной единицей удельного сопротивления является Ом⋅м.
Удельное сопротивление веществ зависит от температуры. Для проводников эта зависимость приближенно может быть выражена формулой:
где ρ0 -- удельное сопротивление проводника при температуре 00С, t в градусах Цельсия, α- температурный коэффициент сопротивления. Для большого количества металлов при температурах в интервале 0∘C≤t≤100∘C, 3,3⋅10−3≤α≤6,2⋅10−31K.
Температурный коэффициент сопротивления данного вещества определен как:
α дает относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус. То есть исходя из (6) мы получаем, нелинейную зависимость удельного сопротивления от температуры, однако α изменяется с ростом (падением) температуры не так сильно, и эту нелинейность в большинстве случаев не учитывают. Для металлов α>0, для электролитов $\alpha
Зависимость удельного сопротивления от температуры объясняется, зависимостью средней длинны свободного пробега носителя заряда от температуры. Это свойство используют в разного рода измерительных приборах и автоматических устройствах.
Удельная электропроводность вещества
Величина обратная удельному сопротивлению называется удельной электропроводностью (σ):
В системе СИ основная единица измерения электропроводности 1 сименсм (Смм). Величина σ характеризует способность вещества проводить электрический ток. Электропроводимость зависит от химической природы вещества и условий (например, температуры) при которых это вещество находится. Если мы видели из уравнения (4), что ρ∼t, то, следовательно σ∼1t. Надо отметить, что при низких температурах данные зависимости нарушаются. Наблюдается явление сверхпроводимости. При T→0, у абсолютно чистого металла с идеально правильной кристаллической решеткой при абсолютном нуле удельная сопротивление должно быть равно нулю, соответственно, удельная проводимость бесконечна.
Задание: Вычислите сопротивление проводника (R), если на одном конце его поддерживается температура t1, на другом t2. Градиент температуры вдоль оси проводника постоянный. Сопротивление этого проводника при температуре равной 00С равно R0.
Решение:
Исходя из постоянства градиента температуры вдоль оси проводника, запишем, что:
dtdx=k (1.1),где k=const. Следовательно, можно найти закон изменения температуры при движении вдоль проводника, то есть t(x). Для этого выразим dt, получим:
dt=kdx,dx= dtk(1.2).Найдем интеграл от (1.2), получим:
t=kx+C(1.3).Поместим начало координат в точку, которая совпадает с концом проводника, имеющим температуру t1. Тогда используя (1.3), подставим x=0, найдем постоянную C:
t1=С (1.4).На другом конце температура проводника равна t2, подставим в (1.3), учтем (1.4) x=l, где l -- длина проводника, получим:
t2=kl+t1→k=t2−t1l(1.5).Для вычисления сопротивления используем формулу:
R=l∫0ρdlS (1.6),где ρ=ρ0(1+αt). Вычислим интеграл:
R=l∫0ρ0(1+αt)dхS=t2∫t1ρ0(1+αt)dtkS=ρ0kS(t+αt22)|t2t1=ρ0kS(t2−t1+αt222−αt122)(1.7).Вместо k в выражение (1.7) подставим то, что получили в (1.5), имеем:
R=lρ0(t2−t1)S(t2−t1+αt222−αt122)=lρ0(t2−t1)S((t2−t1)+α2(t22−t12))=((t2−t1)+α2(t2−t1)⋅(t2+t1))=lρ0S(1+α2(t2+t1))(1.8),где
lρ0S=R0(1.9).Окончательно получим:
R=R0(1+α2(t2+t1)).Ответ:R=R0(1+α2(t2+t1)).
Задание: Найдите сопротивление проводника удельное сопротивление которого равно ρ, диаметр d, масса m, плотность вещества проводника равна ρm.
Решение:
За основу решения задачи примем формулу:
R=ρlS(2.1).Если проводник считать цилиндром длины l, то массу стержня можно найти как:
m=ρmV=ρmπR2l=ρmπld24 (2.2),где ρm -- плотность массы проводника. Выразим из (2.2) длину стержня, получим:
l=4mρmπld2(2.3).Площадь поперечного сечения проводника найдем в соответствии с формулой:
S=πd24(2.4).Подставим (2.3) и (2.4) в (2.1) получим:
R=ρ4mρmπd24πd2=ρρm16mπ2d4.Ответ: R=ρρm16mπ2d4.