Определение
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) (Ф) через площадку S называют скалярную величину равную:
Ф=BScosα= BnS=→B→S(1),где α угол между →n и →B, →n -- нормаль к площадке S.
Ф равен количеству линий магнитной индукции, которые пересекают площадку S (рис.1). Поток магнитной индукции может быть положительным и отрицательным. Знак потока зависит от выбора положительного направлении нормали к площадке S. Обычно, положительное направление нормали связывают с направлением обхода контура током. За положительное направление нормали принимают поступательное перемещение правого винта, при вращении его по току.
Рис. 1
В том случае, если магнитное поле неоднородно, S не является плоской, то поверхность можно разбить на элементарные площадки dS, которые рассматриваются как плоские, а поле на этой площадке можно считать однородным. В таком случае магнитный поток (dФ) можно через такую поверхность определить как:
dФ=BdScosα=→Bd→S(2).Тогда полный поток через поверхность S находится как:
Ф=∫SBdScosα=∫S→Bd→S(3).Основная единица измерения магнитного потока в системе СИ -- вебер (Вб). 1 Вб=1Тл1м2.
Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля
Элементарную работу (δA), которую совершают силы магнитного поля можно выразить через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции (dФ):
δA=IdФ (4).В том случае, когда проводник с током совершил конечное перемещение, а сила тока постоянна, то работа сил поля равна:
A=I(Ф2−Ф1)(5),где Ф1 -- поток через контур в начале перемещения, Ф2 -- поток через контур в конце перемещения.
Теорема Гаусса для магнитного поля
Суммарный магнитный поток через замкнутую поверхность S равен нулю:
∮→Bd→S=0 (6) .Уравнение (6) справедливо для любых магнитных полей. Это уравнение аналог теоремы Остроградского - Гаусса в электростатике (в вакууме):
∮→Ed→S=qε0(7).Уравнение (6) означает, что источником магнитного поля являются не магнитные заряды (их в природе не существует), а электрические токи. Данную теорему мы подробно рассматривали в разделе «Отсутствие в природе магнитных зарядов».
Задание: Недалеко от бесконечно длинного прямого проводника с током I находится квадратная рамка, по которой течет ток с силой I′. Сторона рамки равна а. Рамка лежит в плоскости с проводом (рис.2). Расстояние от ближайшей стороны рамки до проводника равно b. Найдите работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.
Рис. 2
Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направлена на нас.
Решение:
При решении этой задачи необходимо помнить, что рамка с током находится в неоднородном поле, магнитная индукция убывает при удалении от провода.
В качестве основы для решения задачи используем формулу связи потока и работы:
A=I′(Ф2−Ф1)(1.1),I′- сила тока в рамке, Ф1- поток через квадратную рамку, когда расстояние от ее стороны, ближайшей к проводу равна b. Ф2=0, так как в конечном положении рамка вне магнитного поля по условию. Следовательно, формула (1.1) запишется как:
A=−I′Ф1(1.2).Выберем направление нормали (→n) к квадратному контуру от нас (по правилу правого винта). Тогда для всех элементов поверхности, которая ограничена контуром квадратной рамки угол между нормалью →n и вектором →B равен π. Тогда формула для потока через поверхность рамки на расстоянии x от провода имеет вид:
dФ=−BdS=−B⋅a⋅dх=−μ02πIldхх (1.3),где индукция магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы I равна:
B=μ02πхIl(1.4).Следовательно, весь поток из (1.3) найдем как:
Ф1=∫S−μ02πIldхх=−μ02πIlb+a∫bdхх=−μ02πIl⋅lnb+ab(1.5).Подставим формулу (1.5) в выражение (1.2) найдем искомую работу:
A=I′μ02πIl⋅lnb+ab.Ответ: A=μ02πII′l⋅lnb+ab.
Задание: Найдите силу, которая действует на рамку в предыдущем примере.
Решение:
Для того чтобы найти силу, которая действует на квадратную рамку с током в поле длинного провода положим, что под действием магнитной силы рамка сместилась на малое расстояние dx. В таком случае сила совершает работу равную:
δA=Fdx (2.1)Элементарную работу δA с другой стороны выразим как:
δA=I′dФ (2.2).Выразим силу, используя (2.1) и (2.2), получим:
Fdx=I′dФ →F=I′dФdx(2.3).Используя формулу, полученную в примере 1:
dФ=−μ02πIldхх →dФdx=−μ02πIlх (2.4).Подставим dФdx в выражении для модуля силы (2.3), получим:
F=I′μ02πIlх(2.5).На каждый элемент контура квадратной рамки действует сила (сила Ампера), всего на рамку действует четыре составляющих силы, однако, очевидно, что силы, которые действуют на стороны AB и DC равны по модулю и противоположны по направлению:
→FAB+→FDC=0 (2.6)их сумма равна нулю, в таком случае, результирующая сила, приложенная к контуру будет:
→F=→FAD+→FBC(2.6).Эти силы, в соответствии с правилом левой руки, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то есть:
F=FAD−FBC (2.7).Найдем силу FAD, используя формулу (2.5), где x=b, получим:
FAD=I′м02πIlb(2.8).Тогда FBC равна:
FBC=I′μ02πIlb+a(2.9).Искомая сила получается равной:
F=I′μ02πIlb−I′μ02πIlb+a=II′μ0l2π(1b−1b+a).Ответ: F=II′μ0l2π(1b−1b+a). Магнитные силы выталкивают рамку стоком, пока она сохраняет первоначальную ориентацию относительно поля провода.
