Смысл взаимной индукции
Если два контура с токами ($I_1\ и{\ I}_2\ $) расположить близко друг к другу, то ситуация сложится следующая. Первый контур с током $I_1$ порождает магнитный поток через второй контур, который равен:
Если ток $I_1$ переменный, ферромагнетики в контуре отсутствуют, то в контуре (2) возникает ЭДС (${{\mathcal E}}_{i2}$), которая равна:
Аналогично можно описать ситуацию относительно контура c током $I_2:$
Переменный ток $I_2$ в контуре (1) индуцирует ЭДС (${{\mathcal E}}_{i2}$), равная:
В такой ситуации контуры (1 и 2) с токами называют связанными, а описанное выше явление возникновения ЭДС в контуре за счет изменения тока в другом контуре - явлением взаимной индукции.
Определение
Коэффициент взаимной индукции двух проводников равен ЭДС (${{\mathcal E}}_i$), которая возникает в проводнике номер один, если ток в проводнике номер два изменяется единицу величины в секунду.
Величины $L_{12}\ и\ L_{21}$ в формулах (2) и (4) называются коэффициентами взаимной индукции контуров (или взаимной индуктивностью контуров). В случае если ферромагнетиков нет, то мы имеем:
Выражение (5) не трудно получить, если рассмотреть работу, которую совершают магнитные силы при перемещении проводников с токами, например из бесконечности до рассматриваемого положения.
Величина коэффициентов $L_{12},\ L_{21}$ зависит от геометрии проводника (формы, размеров), взаиморасположения контуров и магнитных свойств среды ($\mu $).
Основной единицей коэффициента самоиндукции в системе СИ является генри (Гн).
Коэффициент взаимной индукции в выражении для полной энергии магнитного поля двух токов
Энергия взаимодействия проводников с токами $I_1\ $и $I_2$ (или работа, которая должна быть совершена силами магнитного поля токов при удалении проводников с постоянными токами на бесконечность или взаимная энергия токов) равна:
При этом суммарная энергия магнитного поля двух токов может быть определена выражением:
где $L_1,\ L_2$ -- индуктивности первого и второго проводника, соответственно.
Задание: Докажите, что выражение $L_{12}=\ L_{21}$ выполняется для двух проводников с током.
Решение:
Найдем работу, которую совершают магнитные силы при перемещении проводников с токами, например из бесконечности до рассматриваемого положения. Допустим проводник с током $I_1$ создает магнитное поле. Двигать будем проводник с током $I_2.$ Переносим его из бесконечности в рассматриваемую точку. Поток, пронизывающий контур 2, увеличивается от нуля до величины $Ф_{12}$ Работа ($A_{12}$), которая совершается силами поля, равна:
\[A_{12}=I_2Ф_{12}\left(1.1\right).\]Из выражения, связи магнитного потока ($Ф_{12}$) с током $I_1$ и силу тока имеем:
\[Ф_{12}=L_{12}I_1\left(1.2\right).\]Значит, что уравнение (1.1) можно представить как:
\[A_{12}=I_2L_{12}I_1\left(1.3\right).\]Теперь зафиксируем проводник с номером два. Приближать из бесконечности будем проводник с током $I_1$. Тогда работа сил поля может быть записана:
\[A_{21}=I_1Ф_{21}=I_1L_{21}I_2\left(1.2\right).\]Очевидно, что работа:
\[A_{21}=A_{12}\left(1.3\right).\]Следовательно, надо приравнять и правые части выражений (1.1) и (1.2), тогда:
\[I_2L_{12}I_1=I_1L_{21}I_2\ \left(1.4\right).\]Из (1.4) получаем:
\[L_{12}=L_{21}.\]Что и требовалось доказать.
Задание: Получите формулу для расчета взаимной индуктивности двух катушек, намотанных на один железный сердечник в виде тороида. Силы токов в катушках $I_1$, $I_2$. Количество витков $N_1$, $N_2$. S -- площадь поперечного сечения сердечника, l --его длина, $\mu $ -- магнитная проницаемость.
Решение:
Линии магнитной индукции для системы токов, которые заданы условиями задачи, сосредоточены внутри сердечника. Считаем, что магнитное поле, которое создается каждой обмоткой, имеет в сердечнике одинаковую напряжённость ($\overrightarrow{H}$). Пусть обмоткой с номером 1 мы считаем ту, которая содержит $N_1\ $витков и по ней течет ток с силой $I_1$. То по теореме о циркуляции, которая записана для напряженности магнитного поля имеем:
\[Hl=N_1I_1\left(2.1\right),\]где $l$ -- длина сердечника. Мы знаем, что магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля равенством:
\[\overrightarrow{B}=\mu {\mu }_0\overrightarrow{H}\left(2.2\right).\]Выражение для магнитного потока катушки запишется как:
\[Ф=BS\ \left(2.3\right),\]где угол между нормалью к S и вектором $\overrightarrow{B}$ в катушке равен 0. Подставим (2.2) в (2.3) используем (2.1) запишем:
\[Ф=\mu {\mu }_0S\frac{N_1I_1}{l}\ (2.4)\]Каждая из линя магнитного потока в сердечнике $N_2$ раз охватывает провод катушки (где $N_2$ количество витков). Это равносильно тому, что $N_2$Ф линий индукции по одному разу охватывают контур проводника номер два. Следовательно, необходимо записать:
\[Ф_2=N_2Ф\ \left(2.5\right).\]Подставим (2.4) в (2.5), получим:
\[Ф_2=\mu {\mu }_0S\frac{N_1{N_2I}_1}{l}\left(2.6\right).\]Сравним выражение (2.6) с формулой:
\[Ф_2=L_{21}I_1\left(2.7\right).\]Получим, что $L_{21}$ равен:
\[L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}(2.8).\]По аналогичной схеме получаем $L_{21}$ равен:
\[L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}(2.9).\]По форме выражений (2.8) и (2.9) кажется, что коэффициенты взаимной индукции первого и второго проводников равны, но это может быть не так, из-за коэффициента $\mu $, который входит в выражения. Так как $\mu $ зависит от напряжённости магнитного поля в сердечнике. И если число витков в обмотках катушек не равны между собой, то одинаковый ток создаст в сердечнике поле разной напряженности, следовательно, $L_{21}\ne L_{12}$.
Ответ: $L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}.$ $L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}.$
