Коэффициент взаимной индукции

Задание: Докажите, что выражение $L_{12}=\ L_{21}$ выполняется для двух проводников с током.

Решение:

Найдем работу, которую совершают магнитные силы при перемещении проводников с токами, например из бесконечности до рассматриваемого положения. Допустим проводник с током $I_1$ создает магнитное поле. Двигать будем проводник с током $I_2.$ Переносим его из бесконечности в рассматриваемую точку. Поток, пронизывающий контур 2, увеличивается от нуля до величины $Ф_{12}$ Работа ($A_{12}$), которая совершается силами поля, равна:

$$A_{12}=I_2Ф_{12}\left(1.1\right).$$

Из выражения, связи магнитного потока ($Ф_{12}$) с током $I_1$ и силу тока имеем:

$$Ф_{12}=L_{12}I_1\left(1.2\right).$$

Значит, что уравнение (1.1) можно представить как:

$$A_{12}=I_2L_{12}I_1\left(1.3\right).$$

Теперь зафиксируем проводник с номером два. Приближать из бесконечности будем проводник с током $I_1$. Тогда работа сил поля может быть записана:

$$A_{21}=I_1Ф_{21}=I_1L_{21}I_2\left(1.2\right).$$

Очевидно, что работа:

$$A_{21}=A_{12}\left(1.3\right).$$

Следовательно, надо приравнять и правые части выражений (1.1) и (1.2), тогда:

$$I_2L_{12}I_1=I_1L_{21}I_2\ \left(1.4\right).$$

Из (1.4) получаем:

$$L_{12}=L_{21}.$$

Что и требовалось доказать.

Задание: Получите формулу для расчета взаимной индуктивности двух катушек, намотанных на один железный сердечник в виде тороида. Силы токов в катушках $I_1$, $I_2$. Количество витков $N_1$, $N_2$. S -- площадь поперечного сечения сердечника, l --его длина, $\mu$ -- магнитная проницаемость.

Решение:

Линии магнитной индукции для системы токов, которые заданы условиями задачи, сосредоточены внутри сердечника. Считаем, что магнитное поле, которое создается каждой обмоткой, имеет в сердечнике одинаковую напряжённость ($\overrightarrow{H}$). Пусть обмоткой с номером 1 мы считаем ту, которая содержит $N_1\ $витков и по ней течет ток с силой $I_1$. То по теореме о циркуляции, которая записана для напряженности магнитного поля имеем:

$$Hl=N_1I_1\left(2.1\right),$$

где $l$ -- длина сердечника. Мы знаем, что магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля равенством:

$$\overrightarrow{B}=\mu {\mu }_0\overrightarrow{H}\left(2.2\right).$$

Выражение для магнитного потока катушки запишется как:

$$Ф=BS\ \left(2.3\right),$$

где угол между нормалью к S и вектором $\overrightarrow{B}$ в катушке равен 0. Подставим (2.2) в (2.3) используем (2.1) запишем:

$$Ф=\mu {\mu }_0S\frac{N_1I_1}{l}\ (2.4)$$

Каждая из линя магнитного потока в сердечнике $N_2$ раз охватывает провод катушки (где $N_2$ количество витков). Это равносильно тому, что $N_2$Ф линий индукции по одному разу охватывают контур проводника номер два. Следовательно, необходимо записать:

$$Ф_2=N_2Ф\ \left(2.5\right).$$

Подставим (2.4) в (2.5), получим:

$$Ф_2=\mu {\mu }_0S\frac{N_1{N_2I}_1}{l}\left(2.6\right).$$

Сравним выражение (2.6) с формулой:

$$Ф_2=L_{21}I_1\left(2.7\right).$$

Получим, что $L_{21}$ равен:

$$L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}(2.8).$$

По аналогичной схеме получаем $L_{21}$ равен:

$$L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}(2.9).$$

По форме выражений (2.8) и (2.9) кажется, что коэффициенты взаимной индукции первого и второго проводников равны, но это может быть не так, из-за коэффициента $\mu$, который входит в выражения. Так как $\mu$ зависит от напряжённости магнитного поля в сердечнике. И если число витков в обмотках катушек не равны между собой, то одинаковый ток создаст в сердечнике поле разной напряженности, следовательно, $L_{21}\ne L_{12}$.

Ответ: $L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}.$ $L_{21}=\mu {\mu }_0S\frac{N_1N_2}{l}.$