Определение элементарного замкнутого тока
Элементарным замкнутым током называют линейный ток, который обтекает поверхность с бесконечно малыми в физическом смысле линейными размерами.
Итак, элементарным током мы будем называть замкнутый ток, который удовлетворяет следующим условиям:
- Размеры контура бесконечно малы в сравнении с расстоянием до точек, в которых необходимо рассмотреть поле.
- Величины, которые характеризуют внешнее поле, постоянны (Точнее постоянны значения магнитной индукции и ее пространственные производные). Для любого замкнутого тока можно создать условия, при которых его считают элементарным.
Векторный потенциал элементарного тока
Выберем контур в виде параллелограмма, стороны которого l1,l2, l3,l4 (рис.1). Начало координат поместим в точку О на поверхности внутри параллелограмма. Так как параллелограмм бесконечно малый, то конкретное место положения точки значения не имеет.
Рис. 1
Векторный потенциал магнитного поля (→A) в точке B с радиус-вектором →r равен:
→A(→r)=μ04πI∫l1l2l3l4→dlr(1).Так как параллелограмм маленький, то значение r можно считать постоянным и равным расстоянию от середины стороны параллелограмма до точки, в которой ищем поле. Соответственно перепишем уравнение (1):
→A(→r)=μ04πI(1r1∫l1→dl+1r2∫l2→dl+1r3∫l3→dl+1r4∫l4→dl)=μ04πI(I1r1+I2r2+I3r3+I4r4)(2).Учтем, что:
I1=−I3, I2=−I4(3).Для того чтобы преобразовать выражение (2) найдем:
I1r1+I3r3=I1(r3−r1r1r3)≈I1(−→l2⋅→r)r3,где бесконечно малыми величинами высоких порядков пренебрегаем. На рис.1 показаны геометрические построения для разъяснения того как получены равенства:
→r4=→l1+→r2(5).Из равенства (5) получим:
r42=l12+r22+2→l1→r2(6).Из уравнения (6) получим:
r42−r22=l12+2→l1→r2→r4−r2=l12+2→l1→r2r4+r2≈→l1→r2r(7).В выражении (7) мы сохранили члены только первого порядка малости по →l1. Таким образом, получено выражение (4). С учетом (4) выражение для векторного магнитного потенциала (2) примет вид:
→A(→r)=μ04πIr3[I2(→l1→r)−I1(→l2→r)]=μ04πIr3(→l1×→l2)×→r(8),где использовано известное равенство их векторной алгебры:
→A×(→B×→C)=→B(→A→C)−→C(→A→B)(9).Используем то, что вектор элемента поверхности, которая обтекается током, равна:
→l1×→l2=→S(10).Перепишем уравнение (8), получим:
→A(→r)=μ04πI→S×→rr3(11).Магнитный момент элементарного тока
Произведение:
I→S=→pm(12)называется магнитным моментом элементарного тока.
Из (12) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Если использовать в записи векторного магнитного потенциала магнитный момент элементарного тока, то выражение (11) примет вид:
→A(→r)=μ04π→pm×→rr3(13).Основная единица измерения магнитного момента - А⋅м2.
Задание: Определите силу тока (I) в витке, если магнитный момент витка 0.1 А⋅м2. Диаметр витка равен d=0,01 м.
Решение:
За основу решения задачи примем определение модуля магнитного момента витка с током:
IS=pm(1.1).Площадь витка S равна:
S=πR2=πd24(1.2).Из (1.1) выразим силу тока, подставим S из выражения (1.2) получим:
I=pmS=4pmd2πДанные в условии задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисления:
I=4⋅0,10,012⋅3,14=1270(А).Ответ: I=1270 А.
Задание: Найдите магнитный момент pm кругового витка с током если модуль вектора магнитной индукции в точке А равен В. Расстояние от центра кольца до точки А равно d (рис.2). Считайте ток элементарным.
Рис. 2
Решение:
Выделим на круговом витке в током элемент тока Idl . Для этого элемента запишем закон Био-Савара -- Лапласа для вакуума, чтобы найти поле, которое создает этот ток в точке А:
dB=μ04πIdlr2=μ04π⋅IdlR2+d2 (2.1),где r -- расстояние от dl до точки A, r2=R2+d2, R -- радиус витка с током.
dBII=Bsinα, sinα=R√R2+d2(2.2).Подставим (2.1) в (2.2) получим:
dBII=μ04πIRdl(R2+d2)3/2(2.3).Используя принцип суперпозиции найдем полное поле, которое создает элементарный ток (виток с током) в точке А:
BII=2πR∫0μ04πIRdl(R2+d2)3/2=μ02⋅IR2(R2+d2)3/2(2.4).В силу симметрии суммарный вклад в магнитную индукцию составляющей B⊥равен нулю. Следовательно, можно запить, что магнитная индукция поля в точке А равна:
B=μ02⋅IR(R2+d2)3/2(2.5).По условию, мы имеем дело с элементарным током, следовательно, R≪d. В таком случае, (2.5) преобразуется в формулу:
B=μ02⋅IR2d3(2.6).Магнитный момент контура определен как:
pm=IS=IπR2(2.7).Из (2.6) получим, что:
IR2=2Bd3μ0→pm=2πBd3μ0.Ответ: pm=2πBd3μ0.