Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Элементарный ток и его магнитный момент

Определение элементарного замкнутого тока

Определение

Элементарным замкнутым током называют линейный ток, который обтекает поверхность с бесконечно малыми в физическом смысле линейными размерами.

Итак, элементарным током мы будем называть замкнутый ток, который удовлетворяет следующим условиям:

  1. Размеры контура бесконечно малы в сравнении с расстоянием до точек, в которых необходимо рассмотреть поле.
  2. Величины, которые характеризуют внешнее поле, постоянны (Точнее постоянны значения магнитной индукции и ее пространственные производные). Для любого замкнутого тока можно создать условия, при которых его считают элементарным.

Векторный потенциал элементарного тока

Выберем контур в виде параллелограмма, стороны которого l1,l2, l3,l4 (рис.1). Начало координат поместим в точку О на поверхности внутри параллелограмма. Так как параллелограмм бесконечно малый, то конкретное место положения точки значения не имеет.

Векторный потенциал элементарного тока

Рис. 1

Векторный потенциал магнитного поля (A) в точке B с радиус-вектором r равен:

A(r)=μ04πIl1l2l3l4dlr(1).

Так как параллелограмм маленький, то значение r можно считать постоянным и равным расстоянию от середины стороны параллелограмма до точки, в которой ищем поле. Соответственно перепишем уравнение (1):

A(r)=μ04πI(1r1l1dl+1r2l2dl+1r3l3dl+1r4l4dl)=μ04πI(I1r1+I2r2+I3r3+I4r4)(2).

Учтем, что:

I1=I3, I2=I4(3).

Для того чтобы преобразовать выражение (2) найдем:

I1r1+I3r3=I1(r3r1r1r3)I1(l2r)r3,
I2r2+I4r4=I2(r4r2r2r4)I2(l1r)r3(4),

где бесконечно малыми величинами высоких порядков пренебрегаем. На рис.1 показаны геометрические построения для разъяснения того как получены равенства:

r4=l1+r2(5).

Из равенства (5) получим:

r42=l12+r22+2l1r2(6).

Из уравнения (6) получим:

r42r22=l12+2l1r2r4r2=l12+2l1r2r4+r2l1r2r(7).

В выражении (7) мы сохранили члены только первого порядка малости по l1. Таким образом, получено выражение (4). С учетом (4) выражение для векторного магнитного потенциала (2) примет вид:

A(r)=μ04πIr3[I2(l1r)I1(l2r)]=μ04πIr3(l1×l2)×r(8),

где использовано известное равенство их векторной алгебры:

A×(B×C)=B(AC)C(AB)(9).

Используем то, что вектор элемента поверхности, которая обтекается током, равна:

l1×l2=S(10).

Перепишем уравнение (8), получим:

A(r)=μ04πIS×rr3(11).

Магнитный момент элементарного тока

Произведение:

IS=pm(12)

называется магнитным моментом элементарного тока.

Из (12) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Если использовать в записи векторного магнитного потенциала магнитный момент элементарного тока, то выражение (11) примет вид:

A(r)=μ04πpm×rr3(13).

Основная единица измерения магнитного момента - Ам2.

Пример 1

Задание: Определите силу тока (I) в витке, если магнитный момент витка 0.1 Ам2. Диаметр витка равен d=0,01 м.

Решение:

За основу решения задачи примем определение модуля магнитного момента витка с током:

IS=pm(1.1).

Площадь витка S равна:

S=πR2=πd24(1.2).

Из (1.1) выразим силу тока, подставим S из выражения (1.2) получим:

I=pmS=4pmd2π

Данные в условии задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисления:

I=40,10,0123,14=1270(А).

Ответ: I=1270 А.

Пример 2

Задание: Найдите магнитный момент pm кругового витка с током если модуль вектора магнитной индукции в точке А равен В. Расстояние от центра кольца до точки А равно d (рис.2). Считайте ток элементарным.

Векторный потенциал элементарного тока

Рис. 2

Решение:

Выделим на круговом витке в током элемент тока Idl . Для этого элемента запишем закон Био-Савара -- Лапласа для вакуума, чтобы найти поле, которое создает этот ток в точке А:

dB=μ04πIdlr2=μ04πIdlR2+d2 (2.1),

где r -- расстояние от dl до точки A, r2=R2+d2, R -- радиус витка с током.

dBII=Bsinα, sinα=RR2+d2(2.2).

Подставим (2.1) в (2.2) получим:

dBII=μ04πIRdl(R2+d2)3/2(2.3).

Используя принцип суперпозиции найдем полное поле, которое создает элементарный ток (виток с током) в точке А:

BII=2πR0μ04πIRdl(R2+d2)3/2=μ02IR2(R2+d2)3/2(2.4).

В силу симметрии суммарный вклад в магнитную индукцию составляющей Bравен нулю. Следовательно, можно запить, что магнитная индукция поля в точке А равна:

B=μ02IR(R2+d2)3/2(2.5).

По условию, мы имеем дело с элементарным током, следовательно, Rd. В таком случае, (2.5) преобразуется в формулу:

B=μ02IR2d3(2.6).

Магнитный момент контура определен как:

pm=IS=IπR2(2.7).

Из (2.6) получим, что:

IR2=2Bd3μ0pm=2πBd3μ0.

Ответ: pm=2πBd3μ0.

Дата последнего обновления статьи: 10.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Элементарный ток и его магнитный момент"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant