Мгновенная мощность в цепи переменного тока (частный случай)
Допустим, что цепь имеет только активное сопротивление. Пусть напряжение на концах цепи изменяется по гармоническому закону:
Мы помним, что сдвига фаз между током и напряжением в нашей цепи (только $R$) не будет, следовательно, запишем, что:
Если рассмотреть маленький промежуток времени, то переменный ток можно рассмотреть как постоянный, значит мгновенная мощность переменного тока ($P_{tR}$) равна:
Работа в цепи переменного тока (частный случай)
Работа переменного тока на маленький промежуток времени $dt$ равна (${dA}_t$):
Следовательно, работа за один период полного колебания ($A_T$) может быть определена как:
Рассмотрим общий случай цепи переменного напряжения, когда она содержит и активное и реактивное сопротивление. Теперь между током и напряжением существует разность фаз. Работа, совершенная во внешней цепи за время $dt$, равна:
Напряжение $U$, можно разложить на две составляющие: активную ($U_a$) и реактивную ($U_r$).
Активная составляющая совершает колебания в одной фазе с током, она равна:
Реактивная составляющая смещена по фазе относительно тока на $\pm \frac{\pi }{2}$ и имеет вид:
При вычислении работы за период, получится два слагаемых. Учитывая, что реактивная составляющая за полный период равна нулю, следовательно, полная работа определена только активной составляющей напряжения:
Средняя мощность
Чаще, чем понятием мгновенная мощность, оперируют понятием среднее значение мощности. Причем рассматривают большой промежуток времени, который включает множество периодов колебаний. Так как мы рассматривает периодический процесс, то нам будет достаточно найти среднее значение мощности на один полный период.
Ее легко найти как:
где $cos\varphi $- коэффициент мощности. Формула (10) показывает, что в общем случае выделяемая в цепи мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними.
Зависимость мощности от коэффициента мощности учитывают при проектировании линий электропередачи для переменного тока. Если нагрузки вцепи имеют большое реактивное сопротивление, то $\varphi \ne 0$ и $cos\varphi $ может быть заметно меньше единицы. В таких случаях для передачи нужной мощности необходимо учесть силу тока, что ведет к возрастанию выделения тепла Джоуля -- Ленца или требует увеличения сечения проводов, что увеличивает стоимость линии электропередач. На практике всегда стремятся распределить нагрузки так, чтобы $cos\varphi \ $был как можно ближе к единице.
Средняя мощность при наличии в цепи только активного сопротивления, равна:
Задание: Пусть сила тока изменяется в соответствии с законом: $I=I_m{sin \left(\omega t\right)\ }.$ Запишите выражения для мгновенных мощностей, развиваемых током на разных элементах цепи ($C,L$).
Решение:
Используя соотношение:
\[U=\frac{q}{C}(1.1)\]и выражение:
\[I=\frac{dq}{dt}\to q=\int{Idt}=-\frac{I_m}{\omega }{cos \left(\omega t\right)\ }+q_0=-\frac{I_m}{\omega }{cos \left(\omega t\right)\ }\left(1.2\right),\]где мы можем положить $q_0=0,$ так как эта постоянная интегрирования с колебаниями тока не связана, запишем уравнение для колебания напряжения на конденсаторе:
\[U_C=-\frac{I_m}{C\omega }{cos \left(\omega t\right)\ }=\frac{I_m}{C\omega }{sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)\ }\left(1.3\right).\]Мгновенная мощность на конденсаторе равна:
\[P_{tC}=U_CI=\frac{I_m}{C\omega }{sin \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right)\ }\ I_m{sin \left(\omega t\right)\ }=-\frac{I^2}{C\omega }{sin \left(\omega t\right){cos \left(\omega t\right)\ }\ }.\]Изменение напряжения на индуктивности выразим как:
\[U_L=L\frac{dI}{dt}=LI_m\omega {cos \left(\omega t\right)\left(1.5\right).\ }\]Мгновенная мощность тока на индуктивности:
\[P_{tL}=U_LI=L{I^2}_m\omega {cos \left(\omega t\right){sin \left(\omega t\right)\ }.\ }\]Мгновенные мощности на емкости и индуктивности меняют знак. Часть времени ток совершает положительную работу, то есть передает энергию на элементы, другая часть времени работа отрицательна, то есть энергия этих элементов возвращается к источнику сторонних ЭДС. Происходит обмен энергиями между индуктивностями, емкостями и источниками ЭДС в процессе которого емкости и индуктивности выполнят роль источников ЭДС.
Ответ: $P_{tC}=-\frac{I^2}{C\omega }{sin \left(\omega t\right){cos \left(\omega t\right)\ }\ },$ $P_{tL}=L{I^2}_m\omega {cos \left(\omega t\right){sin \left(\omega t\right)\ }.\ }$
Задание: Чему равна средняя мощность на сопротивлении, емкости и индуктивности?
Решение:
Для того чтобы получить средние мощности тока за период колебаний необходимо усреднить выражения:
\[P_{tC}=-\frac{I^2}{C\omega }{sin \left(\omega t\right){cos \left(\omega t\right)(2.1)\ }\ },\] \[P_{tR}={I^2}_mR{sin}^2\left(\omega t\right)\left(2.2\right),\] \[P_{tL}=L{I^2}_m\omega {cos \left(\omega t\right){sin \left(\omega t\right)(2.3)\ }.\ }\]Учтем, что за период колебаний выполняются соотношения:
\[\left\langle {cos \left(\omega t\right){sin \left(\omega t\right)\ }\ }\right\rangle =0\ \left(2.4\right).\] \[\left\langle {s{in}^2 \left(\omega t\right)\ }\right\rangle =\frac{1}{2}\left(2.5\right).\]Используя (2.5) и (2.4) из (2.1) -- (2.2) получим:
\[\left\langle P_{tC}\right\rangle =0,\] \[\left\langle P_{tL}\right\rangle =0,\] \[\left\langle P_{tR}\right\rangle =\frac{1}{2}{I^2}_mR.\]Ответ: $\left\langle P_{tC}\right\rangle =0,\left\langle P_{tL}\right\rangle =0,\left\langle P_{tR}\right\rangle =\frac{1}{2}{I^2}_mR.$
