Переменный токи называют квазистационарными, если можно считать (с достаточной степенью точности), что магнитные поля данных токов, силы их пондемоторного взаимодействия и т.д. в любой момент времени равны значениям, которые бы они имели в случае постоянных токов такой же величины (силы), если бы величина постоянного тока была равна мгновенному значению переменного тока.
Условия квазистационарности токов
Необходимыми условиями квазистационарности токов являются их замкнутость и одинаковая сила во всех сечениях неразветвленной цепи.
Следует заметить, что изменения электромагнитного поля (соответственно изменение силы переменного тока) происходит с конечной скоростью (в вакууме это скорость света). Значит, если быть абсолютно точными, в каждый момент времени напряженность поля переменных токов не может соответствовать мгновенному значению силы тока. Происходит некоторое запаздывание, и напряженность поля соответствует мгновенному значению переменного тока, которое было в предшествующий момент времени ($t-\tau $), где $\tau $ -- время распространения электромагнитного возмущения от соответствующих участков цепи до точки, в которой рассматривается поле (или двумя наиболее удаленными точками цепи). Из вышесказанного надо сделать вывод о том, что поле переменного тока может выполнять условия квазистационарности только в ограниченной области пространства (вблизи от переменного тока) и только в случае, если изменения силы тока, зарядов и т.д. можно считать несущественными за время $\tau $.
Так, можно сказать, что малая скорость изменения тока -- одно из основных условий квазистационарности.
На практике переменные токи в технике сильных токов удовлетворяют условиям квазистационарности. К токам, которые применяют в радиотехнике, теория квазистационарности применима с существенными ограничениями.
Математическая запись критериев квазистационарности
1. Если мы рассматриваем периодический процесс, распространения электромагнитных возмущений от источника со скоростью света $(с)$, длина волны ($\lambda $) при этом для данного процесса равна:
где $T$ -- период изменения заданного процесса во времени. Тогда критерий, который говорит о том, что в квазистационарных полях пренебрегают конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений, записывают так:
где пространственные изменения величины (например, силы тока), которая характеризует процесс, изучаются в области линейные размеры которой ($l$) много меньше длины волны. Роль данного критерия определена частотой и пространственными размерами области, в которой рассматривается процесс.
Допустим, что длина цепи равна $l$. Тогда если за время равное:
которое необходимо для передачи возмущения в самую дальнюю точку цепи, сила тока изменяется несущественно, следовательно, мгновенные значения силы тока для всех сечений цепи очень близкие. Токи, которые удовлетворяют данному условию, называют квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности можно записать в виде:
где $T$ -- период изменений.
Для переходного непериодического процесса условием квазистационарности служит неравенство:
где $\triangle $-промежуток времени в течение которого происходит изменение.
2. Если вектор электрического смещения изменяется, например, в соответствии с законом:
то токи смещения имеют вид:
Следовательно, пренебречь наличием токов смещения в сравнении с эффектами, которые вызывают токи проводимости можно, если выполняется условие для модулей соответствующих токов:
Условие (8) можно записать как:
где плотность токов проводимости связана с напряженностью электрического поля дифференциальной формой закона Ома как:
а вместо токов смещения используется правая часть формулы (7).
Вопрос о критериях квазистационарности тока важен, так как закон Ома и его следствия, законы Кирхгофа выполняются для постоянных токов и мгновенных значений переменных токов.
Надо отметить, что для переменных магнитных полей в вакууме и диэлектриках учитывать токи смещения необходимо, так как в этих веществах источниками магнитного поля являются именно они. Наличие токов смещения являются причиной существования электромагнитных волн.
Задание: Оцените область частот, в которой для проводников из никеля может выполняться второй критерий квазистационарности токов.
Решение:
Вторым критерием стационарности тока является возможность пренебречь токами смещения в сравнении с токами проводимости. Для проводника, коим является никель, этот критерий записывается как:
\[\frac{{\left|j_{sm}\right|}_{max}}{{\left|j\right|}_{max}}=\frac{\omega {\varepsilon }_0}{\sigma }\ll 1\ \left(1.1\right),\]где ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}Ф\cdot м^{-1}$ -- электрическая постоянная, $\sigma =1,2\cdot {10}^7\frac{См}{м}$ -- удельная проводимость никеля.
Выразим частоту, получим:$\ $
\[\omega \ll \frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\left(1.2\right).\]Проведем расчет:
\[\omega \ll \frac{1,2\cdot {10}^7}{8,85\cdot {10}^{-12}}\approx {10}^{18}\left(\frac{1}{с}\right).\]Ответ: Для проводника из никеля токами смещения можно пренебречь, если частота колебаний будет до ${10}^{18}\left(\frac{1}{с}\right)$. Такая частота соответствует ультрафиолетовой области частот.
Задание: Почему, кода речь идет о передаче электрического тока на тысячи километров нельзя считать его квазистационарным?
Решение:
Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид:
\[\tau =\frac{l}{c}\ll T\ \left(2.1\right).\]Промышленный ток имеет частоту $\nu =50\ Гц.$ Частота и период связаны соотношением:
\[T=\frac{1}{\nu }\left(2.2\right).\]Максимальная длина линии передач, вдоль которой можно считать передаваемый ток квазистационарным будет определяться условием:
\[l\ll \frac{1}{\nu }c\left(2.3\right),\]где $c=3\cdot 10^8\frac{м}{с}$ -- скорость света в вакууме. Проведем расчет:
\[l\ll \frac{1}{50}\cdot 3\cdot 10^8=6\cdot {10}^6\left(м\right)=6\cdot {10}^3\left(км\right).\]Величина, которую мы получили $(6000 км)$ не является большой в сравнении с длинами линий электропередач, если мы говорим о действительно больших расстояниях. Следовательно, если в пределах электростанции, или какого -- то населенного пункта ток можно считать квазистационарным, то при передаче его на тысячи километров требуется учитывать его переменность.
