Корреляционная функция
Пусть в точку (А), где наблюдаются колебания, две волны приходят в момент времени t. Эти колебания испускают источники S1 и S2 в моменты времени t−θ1 и t−θ2, θ1, θ2 - время, которое тратится на то, чтобы свет дошел от источников до избранной точки пространства, где рассматриваются колебания. Будем считать, что рассматриваемые колебания стационарны. Исследуемые колебания в точке А обозначим как E1(t−θ1) и E2(t−θ2). Соответственно, суммарное колебание в точке А можно записать как:
Для того чтобы найти интенсивность колебаний в избранной точке пространства, выражение (1) следует умножить на комплексно сопряженную величину к E и провести усреднение по времени, то есть:
Так как мы рассматриваем стационарные колебания, то в среднем произведение ¯E1(t−θ1)E1∗(t−θ1) не зависит от t и θ1. Это произведение представляет собой интенсивность I1 первого колебания, которое пришло в точку А:
где τ - размер временного интервала, по которому делается усреднение. Аналогичный вывод делаем по второму слагаемому правой части выражения (2):
где I2 - интенсивность второго колебания.
Выражение ¯E1(t−θ1)E2∗(t−θ2)+E1∗(t−θ1)E2(t−θ2) в виду стационарности колебаний не зависит от t, θ1 и θ2 в отдельности, а зависит от θ=θ2−θ1. Величина θ - время запаздывания второго колебания относительно первого. Введем следующее обозначение:
где F12(θ) - комплексная функция, которая характеризует степень согласованности колебаний в заданной точке A. Эта функция называется корреляционной функцией (взаимной корреляционной функцией) колебаний E1 и E2 . В том случае, если колебания исходят от одного источника, но идет в точку А разными путями, при этом функции E1(t) и E2(t) могут быть тождественными. В таком случае F11(θ)=F(θ) называют автокорреляционной функцией.
Нормированная корреляционная функция, ее связь со спектром
Корреляционная функция зависит от интенсивностей суммируемых колебаний:
где f12(θ) - нормированная корреляционная функция, зависящая только от времени запаздывания (θ). С помощью нормированной корреляционной функции интенсивность результирующей волны в точке А может быть записана как:
Если рассматриваемые нами волны являются квазимонохроматическими, то есть можно записать:
то найдем корреляционную функцию в соответствии с (5):
Из формулы (9) следует, что f12 быстро изменяющаяся функция времени запаздывания θ. Величина (γ12) равная:
называется комплексной степенью когерентности колебаний, ее модуль просто степенью когерентности колебаний в точке А:
Следовательно, получаем, что:
где γ12(θ) - нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд a1(t) и a2(t). Тогда интенсивность света в точке А запишем как:
Положим, что:
тогда в естественной форме выражение (13) представим как:
Величины вещественных амплитуд колебаний (|a1| и |a2| ) и соответствующие интенсивности I1 и I2 не зависят от выбора промежуточной частоты ω0 в спектральном интервале △ω квазимонохроматического света. Не зависит от выбора ω0 полная фаза (ω0θ+δ). Тогда как добавочная фаза δ зависит от выбора ω0. Полная фаза определяет наиболее быстрые изменения интенсивности поля света в пространстве, то есть при переходе от одной интерференционной полосы к другой. Функция |γ12(θ)| при этом изменяется медленно, поэтому при таком переходе ей часто пренебрегают. Получаем, что в максимумах интенсивности cos(ω0θ+δ)=+1, в минимумах cos(ω0θ+δ)=−1. Следовательно:
Видность (V) интерференционных полос можно определить как:
В том случае, если |γ12(θ)|=0, интерференционных полос не получается. Колебания называют некогерентными. Если при этом γ12(θ)=0 при любых величинах θ, то мы имеем дело с полной некогерентностью. Когерентность называют полной, если |γ12(θ)|=1 при любом θ. В таком случае интерференционные полосы максимально контрастны. При $0
Связь автокорреляционной функции и спектральной плотности излучения
Соотношение, связывающее автокорреляционную функцию F(θ) со спектральной плотностью излучения (Iω(ω)) можно представить как:
Так как мы рассматриваем стационарный поток света, то пределы интегрирования в выражении (19) можно заменить любыми другими не изменяя при этом ширину интервала интегрирования. При этом условии выражение (19) можно записать как:
где F∗(θ)=F(−θ).
Справедливо обратное соотношение:
Данное соотношение позволяет найти функцию корреляции, используя эмпирические данные спектральной плотности Iω(ω).
Запишите выражение для степени когерентности в случае колебаний, которые представлены как E(t)=sin(ω0t) в интервале $0
Решение:
Представим заданное колебание в комплексной форме, получим:
Рисунок 1.
Будем считать, что промежуток, по которому производим усреднение, равен τ. При этом произведение E(t)E∗(t−θ)≠0 для интервала времени $0 ¯E(t)E1∗(t−θ)=1ττ∫0eiω0θdt=τ−θτeiω0θ=F(θ)=f(θ)(1.2).
Получаем, что:
Рисунок 2.
Ответ:
Рисунок 3.
Получите формулу связи функции автокорреляции (F(θ)) и спектральной плотности излучения (Iω(ω)).
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем определение автокорреляционной функции:
F(θ)=¯E(t)E∗(t−θ)=1ττ2∫−τ2E(t)E∗(t−θ)dt(2.1).Для квазимонохроматических волн можно записать:
E=a(t)eiωt, E∗=a∗(t)e−iωt(2.2).Подставим (2.2) в (2.1), получим:
F(θ)=1ττ2∫−τ2a(t)eiωta∗(t)e−iω(t−θ)dt=1ττ2∫−τ2a(t)a∗(t)eiω(θ)dt=2πτ∞∫0a(ω)a∗(ω)eiωθdω(2.3).Где использована формула перехода для амплитуды:
a(ω)=12πτ2∫−τ2E(t)e−iωtdt.Учтем, что спектральная плотность излучения равна:
Iω(ω)=2πτa(ω)a∗(ω)(2.4).Получаем в результате:
F(θ)=∞∫0Iω(ω)eiωθdω.Что и требовалось получить.