Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Корреляционная функция

Пусть в точку (А), где наблюдаются колебания, две волны приходят в момент времени t. Эти колебания испускают источники S1 и S2 в моменты времени tθ1 и tθ2, θ1, θ2 - время, которое тратится на то, чтобы свет дошел от источников до избранной точки пространства, где рассматриваются колебания. Будем считать, что рассматриваемые колебания стационарны. Исследуемые колебания в точке А обозначим как E1(tθ1) и E2(tθ2). Соответственно, суммарное колебание в точке А можно записать как:

Для того чтобы найти интенсивность колебаний в избранной точке пространства, выражение (1) следует умножить на комплексно сопряженную величину к E и провести усреднение по времени, то есть:

Так как мы рассматриваем стационарные колебания, то в среднем произведение ¯E1(tθ1)E1(tθ1) не зависит от t и θ1. Это произведение представляет собой интенсивность I1 первого колебания, которое пришло в точку А:

где τ - размер временного интервала, по которому делается усреднение. Аналогичный вывод делаем по второму слагаемому правой части выражения (2):

где I2 - интенсивность второго колебания.

Выражение ¯E1(tθ1)E2(tθ2)+E1(tθ1)E2(tθ2) в виду стационарности колебаний не зависит от t, θ1 и θ2 в отдельности, а зависит от θ=θ2θ1. Величина θ - время запаздывания второго колебания относительно первого. Введем следующее обозначение:

где F12(θ) - комплексная функция, которая характеризует степень согласованности колебаний в заданной точке A. Эта функция называется корреляционной функцией (взаимной корреляционной функцией) колебаний E1 и E2 . В том случае, если колебания исходят от одного источника, но идет в точку А разными путями, при этом функции E1(t) и E2(t) могут быть тождественными. В таком случае F11(θ)=F(θ) называют автокорреляционной функцией.

«Взаимосвязь спектра и корреляционной функции» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Нормированная корреляционная функция, ее связь со спектром

Корреляционная функция зависит от интенсивностей суммируемых колебаний:

где f12(θ) - нормированная корреляционная функция, зависящая только от времени запаздывания (θ). С помощью нормированной корреляционной функции интенсивность результирующей волны в точке А может быть записана как:

Если рассматриваемые нами волны являются квазимонохроматическими, то есть можно записать:

то найдем корреляционную функцию в соответствии с (5):

Из формулы (9) следует, что f12 быстро изменяющаяся функция времени запаздывания θ. Величина (γ12) равная:

называется комплексной степенью когерентности колебаний, ее модуль просто степенью когерентности колебаний в точке А:

Следовательно, получаем, что:

где γ12(θ) - нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд a1(t) и a2(t). Тогда интенсивность света в точке А запишем как:

Положим, что:

тогда в естественной форме выражение (13) представим как:

Величины вещественных амплитуд колебаний (|a1| и |a2| ) и соответствующие интенсивности I1 и I2 не зависят от выбора промежуточной частоты ω0 в спектральном интервале ω квазимонохроматического света. Не зависит от выбора ω0 полная фаза (ω0θ+δ). Тогда как добавочная фаза δ зависит от выбора ω0. Полная фаза определяет наиболее быстрые изменения интенсивности поля света в пространстве, то есть при переходе от одной интерференционной полосы к другой. Функция |γ12(θ)| при этом изменяется медленно, поэтому при таком переходе ей часто пренебрегают. Получаем, что в максимумах интенсивности cos(ω0θ+δ)=+1, в минимумах cos(ω0θ+δ)=1. Следовательно:

Видность (V) интерференционных полос можно определить как:

В том случае, если |γ12(θ)|=0, интерференционных полос не получается. Колебания называют некогерентными. Если при этом γ12(θ)=0 при любых величинах θ, то мы имеем дело с полной некогерентностью. Когерентность называют полной, если |γ12(θ)|=1 при любом θ. В таком случае интерференционные полосы максимально контрастны. При $0

Связь автокорреляционной функции и спектральной плотности излучения

Соотношение, связывающее автокорреляционную функцию F(θ) со спектральной плотностью излучения (Iω(ω)) можно представить как:

Так как мы рассматриваем стационарный поток света, то пределы интегрирования в выражении (19) можно заменить любыми другими не изменяя при этом ширину интервала интегрирования. При этом условии выражение (19) можно записать как:

где F(θ)=F(θ).

Справедливо обратное соотношение:

Данное соотношение позволяет найти функцию корреляции, используя эмпирические данные спектральной плотности Iω(ω).

Пример 1

Запишите выражение для степени когерентности в случае колебаний, которые представлены как E(t)=sin(ω0t) в интервале $0

Решение:

Представим заданное колебание в комплексной форме, получим:



Рисунок 1.

Будем считать, что промежуток, по которому производим усреднение, равен τ. При этом произведение E(t)E(tθ)0 для интервала времени $0 ¯E(t)E1(tθ)=1ττ0eiω0θdt=τθτeiω0θ=F(θ)=f(θ)(1.2).

Получаем, что:



Рисунок 2.

Ответ:



Рисунок 3.

Пример 2

Получите формулу связи функции автокорреляции (F(θ)) и спектральной плотности излучения (Iω(ω)).

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем определение автокорреляционной функции:

F(θ)=¯E(t)E(tθ)=1ττ2τ2E(t)E(tθ)dt(2.1).

Для квазимонохроматических волн можно записать:

E=a(t)eiωt, E=a(t)eiωt(2.2).

Подставим (2.2) в (2.1), получим:

F(θ)=1ττ2τ2a(t)eiωta(t)eiω(tθ)dt=1ττ2τ2a(t)a(t)eiω(θ)dt=2πτ0a(ω)a(ω)eiωθdω(2.3).

Где использована формула перехода для амплитуды:

a(ω)=12πτ2τ2E(t)eiωtdt.

Учтем, что спектральная плотность излучения равна:

Iω(ω)=2πτa(ω)a(ω)(2.4).

Получаем в результате:

F(θ)=0Iω(ω)eiωθdω.

Что и требовалось получить.

Дата последнего обновления статьи: 11.03.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Взаимосвязь спектра и корреляционной функции"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant