В том случае если волна распространяется в однородной среде, то ее движение в общем случае описывают волновым уравнением (дифференциальным уравнением в частных производных):
\[\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial z^2}\right)\left(1\right)\]или
\[\triangle \overrightarrow{s}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial t^2}\left(2\right),\]где $v$ -- фазовая скорость волны $\triangle =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$ -- оператор Лапласа. Решением уравнения (1,2) служит уравнение любой волны, данные уравнения удовлетворяют, например, и плоская и сферическая волны.
Если плоская волна распространяется вдоль оси $X$, то уравнение (1) представляется как:
Если физическая величина распространяется как волна, то она обязательно удовлетворяет волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: если какая -- либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных (в данном виде записи).
Волновое уравнение играет очень большую роль в физике.
Решение волнового уравнения для плоской волны
Запишем общее решение уравнения (2), для световой волны, распространяющейся в вакууме в случае, если s скалярная функция зависит только от одной из декартовых переменных, например $z$, то есть $s=s(z,t)$, что означает, функция $s$ имеет постоянное значение в точках плоскости, которая перпендикулярна $оси Z$. Волновое уравнение (1) в этом случае примет вид:
где скорость распространения света в вакууме равна $c$.
Общим решением уравнения (4) при заданных условиях будет выражение:
где $s_1\left(z+ct\right)$- функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в отрицательном направлении по отношению к направлению $оси Z$, $s_2\left(z-ct\right)$ - функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в положительном направлении по отношению к направлению $оси Z$. Надо отметить, что в процессе движения значения $s_1$ и $s_2$ в любой точке волны и ее форма волны неизменны.
Получается, что волна, которую описывает суперпозиция двух волн (в соответствии с формулой (5)). Причем эти составляющие волны движутся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В самом простом случае получается стоячая волна. В общем случае необходимо рассматривать сложное электромагнитное поле.
Волновое уравнение и система уравнений Максвелла
Волновые уравнения для колебаний векторов напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции магнитного поля легко получить из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Запишем систему уравнений Максвелла для вещества, в котором нет свободных зарядов и токов проводимости:
Применим операцию $rot$ к уравнению (7):
В выражении (10) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время -- независимые переменные, следовательно, имеем:
Примем во внимание то, уравнение (6), заменим $rot\overrightarrow{B}$ в выражении (11) на правую часть формулы (6), имеем:
Зная, что $rotrot\overrightarrow{E}=graddiv\overrightarrow{E}-{\nabla }^2\overrightarrow{E}$, и используя $div\overrightarrow{E}=0$, получаем:
Аналогично можно получить волновое уравнение для вектора магнитной индукции. Оно имеет вид:
В выражениях (13) и (14) фазовая скорость распространения волны $(v)$ равна:
Задание: Получите общее решение волнового уравнения $\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=0(1.1)$ плоской световой волны.
Решение:
Введем независимые переменные вида для функции $s$:
\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]В таком случае частная производная $\frac{\partial s}{\partial z}$ равна:
\[\frac{\partial s}{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial z}+\frac{\partial s}{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial \xi}+\frac{\partial s}{\partial \eta }\left(1.3\right).\]Частная производная $\frac{\partial s}{\partial t}$ равна:
\[\frac{\partial s}{\partial t}=\frac{\partial s}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial s}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t}=-c\frac{\partial s}{\partial \xi}+c\frac{\partial s}{\partial \eta}\to \frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=-\frac{\partial s}{\partial \xi}+\frac{\partial s}{\partial \eta}\left(1.4\right).\]Вычтем почленно выражение (1.4) из выражения (1.3), имеем:
\[\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=2\frac{\partial s}{\partial \xi}\left(1.5\right).\]Почленное сложение выражений (1.4) и (1.3) дает:
\[\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=2\frac{\partial s}{\partial \eta }\left(1.6\right).\]Найдем произведение левых частей выражений (1.5) и (1.6) и учтем результаты, записанные в правых частях этих выражений:
\[\left(\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}\right)=\frac{{\partial }^2s}{\partial z^2}-\frac{1}{с^2}\frac{{\partial }^2s}{\partial t^2}=4\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial s}{\partial \eta }=0\left(1.7\right).\]Если проинтегрировать выражение (1.7) по $\xi $, то получим функцию, которая не зависит от этой переменной, и может зависеть только от $\eta $, что значит, что она является произвольной функцией $\Psi(\eta )$. В этом случае уравнение (1.7) примет вид:
\[\frac{\partial s}{\partial \eta }=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]Проведем интегрирование (1.8) по $\eta $ имеем:
\[s=\int{\Psi \left(\eta \right)d} \eta=s_1\left(\eta \right)+s_2\left(\xi \right)\left(1.9\right),\]где $s_1\left(з\right)$ -- первообразная, $s_2\left(\xi \right)$- постоянная интегрирования. Причем, функции $s_1$ и $s_2$ -- произвольные. Учитывая выражения (1.2), общее решение уравнения (1.1) можно записать как:
\[s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).\]Ответ: $s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$
Задание: Определите из волнового уравнения, чему равна фазовая скорость распространения плоской световой волны.
Решение:
Сравнивая волновое уравнение, например, для вектора напряженности, полученное из уравнений Максвелла:
\[{\nabla }^2\overrightarrow{E}-\varepsilon {\varepsilon }_0\mu {\mu }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0(2.1)\]с волновым уравнением:
\[\triangle \overrightarrow{s}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{s}}{\partial t^2}(2.2)\]позволяет сделать вывод о том, что скорость распространения волны $(v)$ равна:
\[v=\frac{1}{\sqrt{{\mu \varepsilon \mu }_0{\varepsilon }_0}}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\varepsilon }_0}}\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon }}=\frac{с}{\sqrt{\mu \varepsilon }}.\]Но здесь требуется отметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл только с волнами простой конфигурации, под такие волны подходит, например категория плоских волн. Так $v$ не будет являться скоростью распространения волны в случае производного решения волнового уравнения, в состав которых входят, например, стоячие волны.
Ответ: $v=\frac{с}{\sqrt{\mu \varepsilon }}.$
