Принцип или теорема Бабине является следствием гипотезы Френеля. Он связывает дифракционные поля для некоторого экрана с полями для дополнительного экрана.
Пусть плоский дифракционный экран, который освещен источником света. Допустим, что $E_{vh}$ - поле падающей волны, такое, которое получалось бы в точке ($x,y$) на передней поверхности экрана, если бы экрана не было. Толщина экрана считается ничтожной. $E_{vih}$ - поле в той же точке на задней поверхности экрана. Имеет место соотношение:
где ${\alpha }_1$ - пропускаемость экрана, который зависит от координат $x,y$, структуры вещества экрана, длины волны и не зависит от напряженности волнового поля. Для другого экрана, имеющего такую же геометрическую форму, что и первый запишем:
Описанные выше экраны называют дополнительными если:
Например, подобными экранами могут быть два непрозрачных экрана, имеющие отверстия. Отверстия одного экрана не совпадают с отверстиями другого. Или говорят, что отверстия одного экрана совпадают с непрозрачными частями другого экрана. Так, дополнительным экраном называют экран, который получают заменой отверстий на экран, а экрана на отверстия.
В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля волновые поля в точке наблюдения ($A$) при наличии дополнительных экранов можно записать как:
где интегрирование проводится по всей поверхности экрана. $Ф=\omega t-k(r+r')$, знаменатель $rr'$ можно считать постоянным, так как размеры отверстия (рис.1) малы в сравнении с $r\ и\ r'$, $dF$ - элемент пощади экрана.
Рисунок 1.
Сложим выражения (4), учитывая (3), имеем:
Правая часть выражения (5) - поле $E_A$ в точке $A$, которое получается при свободном распространении волны. Следовательно:
Формула (6) - наиболее общая форма теоремы Бабине в скалярном виде.
Применение принципа Бабине к случаю дифракции Фраунгофера
Допустим, что мы наблюдаем фраунгоферовскую дифракционную картину в фокальной плоскости линзы. Если на пути параллельных лучей нет препятствия, то световое поле в данной плоскости везде равно нулю за исключением фокуса линзы. Так, в соответствии с формулой (6) в любой точке фокальной плоскости за исключением фокуса мы имеем:
Интенсивность света $I$ пропорциональна ${E_A}^2$ (${{I\sim E}_A}^2$), то получим:
Для наблюдения доступна интенсивность поля света, а не его фаза, получаем, что фраунгоферовы дифракционные картины от дополнительных экранов, которые получаются в фокальной плоскости линзы, везде одинаковы, исключение составляет фокус.
Принцип Бабине выполняется не точно, в некотором приближении, но нарушение считают существенным только около границ диафрагм.
Задание: Покажите, что количество энергии рассеяния равно энергии, которая поглощается черным экраном, если на него падает плоская волна света. В результате дифракции за экраном вместе с неотклонённой волной возникает рассеянный свет. Считайте, что размеры экрана велики в сравнении с длиной волны.
Решение:
В соответствии с законами геометрической оптики при освещении черного экрана светом за ним должна образоваться область геометрической тени, площадь этой тени должна быть равна площади экрана в направлении перпендикулярном к направлению падения света. Однако существование явления дифракции ведет к частичному отклонению света от первоначального направления распространения. Так, на большом расстоянии, позади экрана тень отсутствует. Вместе со светом, который распространялся в начальном направлении, присутствует некоторое количество света под малыми углами к первоначальному направлению (рассеянного света).
Проведем замену исходного экрана дополнительным, то есть отверстием той же величины и формы. В результате такой замены по теореме Бабине интенсивность поля света в бесконечности не изменится во всех направлениях, исключение составит направление первичной волны. Однако следует заметить, что на любое жестко фиксированное направление за отверстием приходит нулевая интенсивность света, так отверстие рассеивает весь свет, который на него падает. С другой стороны, экран по условию поглощает полностью весь падающий на него свет, так как является черным. Получаем, что полное количество рассеянного света на черном теле равно количеству света, которое падает на его поверхность и поглощенного им. Следовательно, мы получили, что требовалось показать.
Задание: Какова картина дифракции от тонкой проволоки? Чем отличается дифракционная картина, которая получается при освещении лазерным пучком проволоки от картины дифракции на узкой щели. При этом следует учесть, что ширина щели и проволоки равна $b$.
Решение:
Для того чтобы определить какова дифракционная картина от проволоки толщиной $b$ рассмотрим щель такой же ширины ($b$). При расчете дифракционной картины от щели, которая освещена светом, находят суммарный вклад от вторичных источников волн. Вторичные источники находятся на открытых частях рассматриваемого объекта. Для проволоки наоборот, данная часть объекта является закрытой. Все остальное пространство открыто. Проволока и щель в данном случае являются дополнительными экранами.
Обозначим распределение поля на щели - $E_{sh}(x')$, соответственно на проволоке - $E_{pr}(x')$, где $x'$ - координата в плоскости экрана. Так как отверстия дополнительных тел расположены так, что при этом «открыт» весь фронт падающей волны, то можно записать:
\[E_{sh}\left(x'\right)+E_{pr}\left(x'\right)=E\left(x'\right)\left(2.1\right),\]где $E\left(x'\right)$ - волновое возмущение, которое появляется на экране, если ни каких препятствий нет. При рассмотрении принципа Бабине суммируются вклады от открытых областей каждого из объектов, при исследовании случая, когда на пути волны расположены несколько объектов, суммируются закрытые области.
Если источником плоской волны является лазер, размеры пучка излучения много меньше ширины щели, то без препятствий на экране будем иметь яркое световое пятно. В остальной области экрана поле световой волны монжо принять равным нулю. Для этой области (без пятна), можно записать:
\[E_{sh}\left(x'\right)+E_{pr}\left(x'\right)=0\left(2.2\right),\]что означает:
\[E_{sh}\left(x'\right)=-E_{pr}\left(x'\right)\left(2.2\right).\]Соответственно для интенсивностей:
\[I_{sh}\left(x'\right)=-I_{pr}\left(x'\right)\left(2.3\right).\]В области основного пятна имеем:
\[I_{pr}\left(x'\right)=I\left(x'\right),\ так\ как\ E\left(x'\right)\gg E_{sh}\left(x'\right)(2.4).\ \]Получаем, что для щели и проволоки, обладающих одинаковыми размерами, распределение интенсивностей на экране одинаково везде, кроме места, где попадает исходный пучок лазера, если препятствия нет. Если толщина проволоки равна размеру первого максимума дифракции для щели (помним, что их размеры одинаковы), то для обоих объектов исследования совпадают координаты всех минимумов и максимумов картины дифракции.
При дифракции на проволоке помимо минимумов, которые соответствуют минимумам дифракции на щели, можно увидеть еще два резких минимума в области уменьшения интенсивности лазерного пучка. Это объяснимо при использовании принципа Бабине. Так, в области пучка лазера выполняется соотношение:
\[E\left(x'\right)\gg E_{sh}\left(x'\right),\]в области, где лазерного излучения нет:
\[E\left(x'\right)=0Значит, существует точка $x_0'$ в которой: \[E\left({x_0}'\right)=E_{sh}\left({x_0}'\right)(2.6),\]$\ что\ $ в свою очередь означает:
\[E_{pr}\left({x_0}'\right)=0\left(2.7\right).\]Данная точка (${x_0}'$) лежит на границе лазерного пучка, в этой области интенсивность пучка резко падает.
