Большая часть кристаллов являются оптически анизотропными. Что означает, их оптические свойства зависят от направления. Самые простые оптические свойства имеют оптически одноосные кристаллы. Такими кристаллами называют кристалл, свойства которых имеют симметрию вращения по отношению к некоторому направлению, которое называют оптической осью кристалла.
Проведем разложение электрических векторов ($\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{D}$) на составляющие по оптической оси ($\overrightarrow{E_{//}}$, $\overrightarrow{D_{//}}$) и нормальные к ней ($\overrightarrow{E_{\bot }},\overrightarrow{D_{\bot }}\ $). В таком случае можно записать:
где ${\varepsilon }_{//},\ \varepsilon_{\bot }-\ $продольные и поперечные диэлектрические проницаемости кристалла (составляющие диэлектрического тензора одноосного кристалла). К оптически одноосным кристаллам относят все кристаллы тетрагональной, гексагональной и ромбоэдрической систем. Для кристаллов кубической системы ${\varepsilon }_{//}=\ {\varepsilon }_{\bot }$ (этот случай называют вырожденным). Кристаллы с кубической системой ведут себя как оптически изотропные среды.
Главным сечением кристалла называют плоскость, в которой лежат оптическая ось кристалла и нормаль ($\overrightarrow{n}$) к волновому фронту. Главное сечение - это совокупность параллельных плоскостей.
Обыкновенные и необыкновенные волны
Волну, электрический вектор которой находится в главном сечении кристалла, называют необыкновенной. Ее скорость ($v_{//}$) зависит от направления распространения, и это вызвано тем, что при изменении направления $\overrightarrow{n}$ меняется угол между электрическим вектором и оптической осью кристалла. В случае, при котором необыкновенная волна бежит вдоль по оптической оси кристалла ($n_{\bot }=0$), то имеем:
\[v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon }}=c\sqrt{\frac{n^2_{\bot }}{{\varepsilon }_{//}}+\frac{n^2_{//}}{{\varepsilon }_{\bot }}}\equiv v_{//}=v_{\bot }\equiv v_0(2).\]В таком случае, не существует различия между обыкновенной и необыкновенной волнами. Если $n_{//}=0$), то есть необыкновенная волна распространяется по нормали к оптической оси, то скорость волны:
Понятие «оптическая ось» было введено для определения прямой по которой обе волны в кристалле распространяются с одинаковыми скоростями. В общем случае таких прямых две. В связи с этим кристалл называют оптически двуосным. В частном случае, когда оптические оси совпадают, кристалл становится одноосным.
В кристаллах уравнения Максвелла являются линейными и однородными. В общем случае волна, падающая на кристалл из изотропно среды, делится внутри анизотропной среды на две линейно поляризованные волны: обыкновенную, имеющую вектор $\overrightarrow{D}\ $нормальный к главному сечению, и необыкновенную, обладающую вектором электрического смещения, находящимся в главном сечении. Данные волны распространяются в кристалле в различных направлениях и имеют отличные скорости ($v_{//}\ и\ v_{\bot }$). В направлении оптической оси скорости этих волн совпадают. Понятия обыкновенная и необыкновенная волны относят только к одноосным кристаллам.
К этим волнам можно применять законы отражения и преломления, но в анизотропных кристаллах их относят к волновым нормалям, а не световым лучам. Волновые нормали отраженной и двух преломленных волн находятся в плоскости падения. Они формально подчинены закону Снеллиуса:
где $n_o=\frac{с}{v_{\bot }}$ -- показатель преломления обыкновенной волны, $n_e=\frac{с}{v_{//}}=\sqrt{\frac{n^2_{\bot }}{{\varepsilon }_{//}}+\frac{n^2_{//}}{{\varepsilon }_{\bot }}}$ -- показатель преломления необыкновенной волны (не путайте с нормалью, которая обозначается такой же буквой). $n_e$ зависит от угла падения. Параметр $n_o$ -- называется обыкновенным показателем преломления кристалла. В том случае, если необыкновенная вона распространяется перпендикулярно оптической оси ($n_{//}=0\ и\ n_{\bot }=1$), то
Параметр $n_e$ называют необыкновенным показателем преломления кристалла. Данную величину нельзя путать с показателем преломления необыкновенной волны ($n_{//}$), так как $n_e=const$, а $n_{//}$- функция направления распространения волны. Их совпадение -- частный случай.
Эллипсоид волновых нормалей
Пространственной распределение показателя преломления в анизотропной среде иногда представляют, используя эллипсоид волновых нормалей. Его полуоси равны главным значениям показателя преломления. Сечение такого эллипсоида плоскостью, которая перпендикулярна волновому вектору $\overrightarrow{k}$ -- это эллипс. Направление осей данного эллипса определяют направления векторов $\overrightarrow{D'}\ и\ \overrightarrow{D''}$ двух волн, которые рапространяются в кристалле. При этом длины полуосей этого эллипса пропорциональны показателям преломления рассматриваемых волн. Любой трехосный эллипсоид имеет два центральных круговых сечения. Направления, которые нормальны данным сечениям -- есть направления оптических осей кристалла.
Так, в одноосном кристалле эллипсоид нормалей становится эллипсоидом вращения вокруг оси $OZ$, при этом его круговое сечение находится в плоскости $XOY$. Для одноосных кристаллов приняты обозначения: $n_z=n_e,\ n_x=n_y=n_0.$
Анализ распространения света и его преломления на границах наглядно с применением сечений волновых поверхностей. При этом из начала координат откладывают отрезки длинной, которая пропорциональна фазовым скоростям $v'\ и\ v''$ в данном направлении. При этом в плоскости рисунка изображают «мгновенные» сечения волновых фронтов, которые испускались точечным источником, находящимся в начале координат. Для обыкновенной волны они являются сферическими. Для необыкновенной волны являются поверхностями вращения, которые получают с помощью уравнения волновых поверхностей. Направления, в которых рассматриваемые сечения совпадают, являются оптической осью кристалла.
Покажите, что если вектор $\overrightarrow{D}\bot $ главному сечению кристалла, то скорость волны не зависит от направления ее распространения.
Решение:
Если вектор $\overrightarrow{D}\bot $ главному сечению кристалла, то можно сказать, что $\overrightarrow{D}\equiv {\overrightarrow{D}}_{\bot }$, следовательно:
\[\overrightarrow{D}={\varepsilon }_{\bot }\overrightarrow{E}\left(1.1\right).\]В рассматриваемом случае кристалл ведет себя как изотропная среда, имеющая диэлектрическую проницаемость ${\varepsilon }_{\bot }.\ $
Уравнения Максвелла выполняются для кристаллических сред и при отсутствии токов и зарядов они имеют вид:
\[rot\overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t},\ rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(1.2\right).\]Если вещество прозрачное и однородное, то в нем распространяются плоские монохроматические волны, которые запишем как:
\[\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0e^{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})},\overrightarrow{D}={\overrightarrow{D}}_0e^{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})}\ ,\ \overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_0e^{-i(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r})},\overrightarrow{H}={\overrightarrow{H}}_0e^{-i\left(\omega t-\overrightarrow{k\cdot }\overrightarrow{r}\right)}\left(1.3\right).\]При этом $rot\overrightarrow{H}=i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{H}\right]$, $\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=-i\omega \overrightarrow{D}\ $и$\ rot\overrightarrow{E}=i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{E}\right]$, $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=-i\omega \overrightarrow{B}$. Подставим полученные выражения в уравнения (1.2), имеем:
\[i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{H}\right]=-i\omega \overrightarrow{D}\to \left[\frac{\omega }{v}\overrightarrow{n}\overrightarrow{H}\right]=-\omega \overrightarrow{D}\to -\frac{1}{v}\left[\overrightarrow{n}\overrightarrow{H}\right]=\overrightarrow{D}\left(1.4\right).\] \[i\left[\overrightarrow{k}\overrightarrow{E}\right]=i\omega \overrightarrow{B}\to \frac{1}{v}\left[\overrightarrow{n}\overrightarrow{E}\right]=\overrightarrow{B}\left(1.5\right),\]где $v$- фазовая скорость волны в направлении волновой нормали $\overrightarrow{n}$.
Для случая, описанного в условиях из (1.4), (1.5) получаем:
\[D=\frac{1}{v}H,\ B=\frac{1}{v}E\left(1.6\right).\]применим выражение (1.1), получим из (1.6):
\[{\varepsilon }_{\bot }E=\frac{1}{v}H\left(1.7\right),\] \[\ {\mu }_0H=\frac{1}{v}E\to H=\frac{1}{v{\mu }_0}E\left(1.8\right).\]подставим в правую часть выражения (1.7) вместо H правую часть формулы (1.8), получаем:
\[{\varepsilon }_{\bot }vE=\frac{1}{vм_0}E\to v{\varepsilon }_{\bot }=\frac{1}{vм_0}\to v=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon_{\bot }м_0}}.\]Получается, что если электрический вектор нормален к главному сечению, то скорость волны не зависит от направления ее распространения. Такая волна называется обыкновенной. Что требовалось показать.
Показатели преломления кристалла измеряют при использовании кристалл - рефрактометра. Пластину изучаемого кристалл размещают на плоской поверхности стеклянного полушария с высоким показателем преломления ($n_B$). Свет падает со стороны полушария по его радиусу. Он отражается от пластинки. При этом показатель преломления исследуемого образца ($n$) находится по предельному углу полного отражения:
$n=n_Bsin\varphi .$ При отражении от кристалла имеются два предельных угла (так как два преломленных луча).
-
Как будут изменяться показатели преломления исследуемой пластинки при вращении полушария кристалл -- рефрактометра, если она сделана перпендикулярно к оптической оси?
-
При измерении показателей преломления кристаллической пластинки на описанном приборе выяснилось, что $n_0=const$ при любых поворотах полушария. Другой показатель преломления меняется так, что значение для него максимально, минимально. Что можно сказать про ориентацию пластинки относительно оптической оси?
Ответ: 1.Оба показателя преломления $n_0\ и\ n_e\ $, будут постоянны. 2. Пластинка вырезана параллельно оптической оси.
