Монохроматические волны
В том случае, если векторы $\overrightarrow{E}\ $и $\overrightarrow{H}$ электромагнитного поля волны совершают гармонические колебания с одной частотой, которую называют частотой волны, такую волну называют монохроматической. При распространении монохроматической волны всегда мотет быть найдено геометрическое место точек, которые совершают колебания в одной фазе. Такая совокупность точек носит название фронта волны. Монохроматическая волна является неограниченной в пространстве и времени. Любая немонохроматическая волна может быть представлена суммой монохроматических волн.
Сферические волны
В том случае, если источник возмущения волны можно считать малым (точкой) при этом скорость распространения возмущения одинакова во все стороны (среда является изотропной), то фронт волны имеет вид сферы с центром в источнике возмущения. Такую волну называют сферической. Уравнение монохроматической сферической волны можно представить как:
\[s=\frac{a_0}{r}sin\left[\omega (t-\frac{r}{v})\right]=\frac{a_0}{r}{sin \left(\omega t-kr\right)\ }\left(1\right),\]где $a_0$ -- амплитуда на расстоянии равном единице от источника волны.
Сферическая волна представляет абстракцию, но на большом расстоянии от источника волны ($r\gg l,l-размеры\ источника\ волны\ $) фронт волны можно считать сферическим. На практике, обычно считают, что фронт волна является сферической, если расстояние $r$ больше, чем линейные размеры источника волны более чем в 10 раз. В этом случае интенсивность волны убывает пропорционально квадрату расстояния от источника.
Если волна считается сферической, то фронт волны движется по направлению нормали к нему. Радиус-векторы, которые проведены от источника возмущения, становятся лучами, вдоль которых происходит распространение фронта волны. В том случае, если среда, в которой распространяется волна анизотропна, то лучи и направление распространения фронта волны может не совпадать.
Плоские волны
Если источник волны находится очень далеко $r\to \infty $ от места наблюдения, то фронт волны считают частью сферы очень большого радиуса, то есть в некотором приближении считать плоскостью. Электромагнитную волну называют плоской, если векторы $\overrightarrow{E}\ $и $\overrightarrow{H}$ зависят от времени и только одной декартовой координаты. Так, например, плоскость фронта волны параллельна плоскости $ZY$, то уравнение такой плоской монохроматической волны можно записать как:
\[s=asin\left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]\left(2\right).\]Из уравнения (2) следует, что поверхность одной фазы определяется условием $x=const$, то есть все точки плоскости параллельной $ZY$ находятся в одинаковой фазе.
Фронт плоской волны движется параллельно самому себе. Плоская волна характеризует параллельный пучок лучей. Интенсивность плоской волны остается постоянной для всех $x$, амплитуда волны от координаты не зависит.
Плоская волна так же является идеальной моделью.
Напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны можно охарактеризовать с помощью реальной части уравнений вида:
где $\overrightarrow{E_0}=const,\ \overrightarrow{B_0}=const.$
Если уравнение волны описывается законом синуса или косинуса, то такая волна называется гармонической.
Поляризованные электромагнитные волны
В любой точке поля плоской монохроматической световой волны конец вектора напряженности электрического поля описывает эллипс, - такую волну называют эллиптически поляризованной.
Если направления поперечного колебания сохраняется в одной плоскости, то такую волну называют плоско или линейно поляризованной. Плоскость, в которой лежит вектор $\overrightarrow{E}$ и нормаль к фронту волны ($\overrightarrow{N}$), называют плоскостью поляризации. От поляризованного отличаю естественный свет, в котором в каждый момент времени векторы $\overrightarrow{E},\ \overrightarrow{N,\ }\overrightarrow{B}$ все время перпендикулярны, но хаотично изменяют направления с течением времени. Говорят, что естественный свет имеет осевую симметрию относительно направления распространения. У плоско поляризованного света есть две избранные плоскости, в одной из них лежит вектор $\overrightarrow{E}$, в другой вектор $\overrightarrow{B}$. Свет может быть частично поляризован.
Возможны другие типы поляризации поперечной волны.
Классификация электромагнитных волн в зависимости от их частоты
Электромагнитный спектр делят на радиоволны, инфракрасное, видимое, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучения. Данные участки спектра отличаются не физической природой, а способом их получения и приема. Между данными видами волн не существует резких переходов, участки могут перекрываться, границы являются условными.
Радиоволны в свою очередь делят на:
- сверхдлинные ($\nu
- длинные ($30кГц
- средние ($300кГц
- ультракороткие (метровые, дециметровые, сантиметровые, миллиметровые, микрометровые) ($30МГц
Диапазон инфракрасного излучения лежит в пределах: $300ГГц6\cdot {10}^{19}Гц$.
Задание: Запишите волновое уравнение для сферической световой волны, как можно представить его решение? Считайте, что среда, в которой распространяется волна, изотропна.
Решение:
Волновое уравнение для скалярной функции $f$ можно записать как:
\[{\nabla }^2f-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=0\left(1.1\right).\]В сферической системе координат ($r,\theta ,\varphi $) оператор ${\nabla }^2$ определен как:
\[{\nabla }^2=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\left(r\right)+\frac{1}{r^2sin\theta }\frac{\partial}{\partial \theta }\left(sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{sin}^2\theta }\frac{\partial ^2}{\partial {\varphi }^2}\]уравнение (1.1) примет вид, если честь, что искомое решение не зависит от угловых переменных:
\[\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}\left(rf\right)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2(rf)}{\partial t^2}=0\left(1.2\right).\]Решением данного уравнения является выражение вида:
\[rf\left(r,t\right)=f_1\left(r+ct\right)+f_2\left(r-ct\right)\left(1.3\right),\]где $f_1$ и $f_2$- произвольные функции соответствующих аргументов. Общее решение уравнения (1.2) имеет вид:
\[f\left(r,t\right)=\frac{f_1\left(r+ct\right)}{r}+\frac{f_2\left(r-ct\right)}{r}\left(1.4\right).\]Ответ: Решение уравнения для сферической волны (1.1) -- есть суперпозиция двух волн, одна движется от центра (второе слагаемое в выражении (1.4)), это расходящаяся волна, и волна, которая движется к центру (сходящаяся волна). Значение функции $f\ $в фиксированный момент времени на сфере неизменного радиуса постоянно.
Задание: Напишите выражение для плоской бегущей гармонической световой волны.
Решение:
Если решением волнового уравнения является функция $f=f(z,t)$, которая является суперпозицией:
\[f\left(z,t\right)=f_1\left(z+ct\right)+f_2\left(z-ct\right)\left(2.1\right),\]то такая волна будет плоской. Если записать функцию $f_2\ в$ виде:
\[f_2\left(z-ct\right)=f_2\left(-с\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)=Acos\omega \left(t-\frac{z}{c}\right)\left(2.2\right),\]где $A=const$- амплитуда волны, $\omega $ -- частота гармонической функции. Волна, описываемая уравнением вида (2.2) называется плоской гармонической волной. В данном случае, она движется в положительном направлении оси Z. Так как волна перемещается, то ее называют бегущей. В общем случае, когда волна распространяется вдоль оси Z в положительном направлении, уравнение представляют как:
\[f\left(z,t\right)=Acos\omega \left(t-\frac{z}{c}\right)+Вsin\omega \left(t-\frac{z}{c}\right).\]Если плоская гармоническая волна бежит в направлении противоположном оси Z, то ее уравнение примет вид:
\[f\left(z,t\right)=Acos\omega \left(t+\frac{z}{c}\right)+Вsin\omega \left(t+\frac{z}{c}\right).\]Ответ: $f\left(z,t\right)=Acos\omega \left(t-\frac{z}{c}\right)+Вsin\omega \left(t-\frac{z}{c}\right)$ или $f\left(z,t\right)=Acos\omega \left(t+\frac{z}{c}\right)+Вsin\omega \left(t+\frac{z}{c}\right).$
