Пусть поле →E переставлено плоской волной:
где амплитуда поля переменна и равна:
Из формулы (2) следует, что в разных точках траектории электрон испытывает действие поля разной амплитуды. Что приводит к пространственной дисперсии. Этим фактом можно пренебречь, если считать, что амплитуда колебаний электрона мала в сравнении с длиной волны. Уравнение движение электрона при этом можно записать как:
где ω20=km, 2γ=gm. Для теории дисперсии значение имеет только частное решение уравнения (3), которое представляет вынужденные колебания осциллятора:
Амплитуда →r0 находится подстановкой выражения (4) в формулу (3), получаем:
Атом в электрическом поле имеет дипольный момент равный:
где β− поляризуемость атома, она определяется как:
В том случае, если N -- концентрация атомов, то вектор поляризации среды равен:
Вектор индукции:
где ε получается равной:
Очевидно, что материальное уравнение (9) имеет вид такой же как в теории Максвелла. Только диэлектрическая проницаемость зависит от частоты. Следовательно, имеют силу все полученные в магнетизме результаты при замене постоянной ε на функцию ε(ω). При этом функция ε(ω) является комплексной. Представим показатель преломления в комплексном виде:
где n- вещественный показатель преломления, ϰ -- показатель затухания среды. Возведем выражение (11) в квадрат, (10), имеем:
Далеко от ω0, где 2ωγ≪|ω20−ω2| мнимой частью выражения (10) можно пренебречь, при этом коэффициент преломления (n) можно выразить:
До сих пор мы считали, что у каждого вещества есть одна характерная для него циклическая частота ω0 свободных колебаний электронов. В реальности, при распространении волны света в среде определяется ряд характерных для каждого вещества линий поглощения. Значит, любое вещество характеризуют набором разных частот ω0k. При воздействии поля волны света все данные осцилляторы совершают вынужденные колебания, внося вклад в поляризацию вещества. Чтобы это учесть в классической теории, принимают то, что среда состоит из частиц разного типа: электронов и ионов. Данные частицы ведут себя как затухающие частицы, совершающие затухающие гармонические колебания с разными собственными частотами. В газах взаимодействием частиц пренебрегают, следовательно, в выражение для диэлектрической проницаемости приобретет вид:
где индекс указывает на принадлежность параметра осциллятору с номером k.
Приближенная формула для вычисления показателя преломления может быть записана как:
Каждой собственной частоте соответствует своя линия поглощения, около которой показатель преломления изменяется аномально. Общий ход функции n(ω) на рис.1.
Рисунок 1.
Рассмотрите предельные случаи, ответьте на вопрос как ведет себя показатель преломления вещества в случаях: 1) если частота волны существенно отлична от собственной частоты колебания заряженной частицы; 2) частота стремится к собственной частоте?
Решение:
Рассмотрим выражение для n2(ω):
n2=1+Nkε0∑kqek2mkω20k−ω2(1.1).При частотах существенно отличающихся от всех собственных частот (ωok) сумма Nkε0∑kqek2mkω20k−ω2≪1, следовательно, n2≈1.
Около каждой из собственных частот функция n2(ω) при приближении ω к ω0k слева она стремится к +∞. При стремлении частоты ω справа к ω0k функция n2(ω)→−∞. Данное поведение функции n2(ω) объясняется тем, что мы пренебрегли трением излучения, а пренебрежение трением ведет в вынужденных колебаниях к тому, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Если терние учтено, то функция n2(ω) приобретает вид, указанный на рис.1
Что из себя представляет кривая зависимости n(λ) в области резонансных частот. Укажите участки кривой, соответствующие нормальной и аномальной дисперсии.
Решение:
Переходя от n2 к n и от частоты к длине волны, получим кривую в области резонансных частот, которая изображена на рис.2. Пунктир показывает ход коэффициента поглощения света веществом. Участок 3-4 аналогичен кривой, рис.1. Участки 1-2 и 3-4 соответствуют нормальной дисперсии (dndλ00). В области нормальной дисперсии dvdλ>0, групповая скорость получается меньше скорости света в вакууме. В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл из-за слишком большого поглощения.