Интерференцией называют изменение средней плотности потока энергии, которое вызывается суперпозицией электромагнитных волн. Так как плотность потока энергии и объемная плотность энергии пропорциональны квадрату амплитуды электромагнитной волны, при этом коэффициенты пропорциональности для определенной среды являются постоянными величинами, плотность потока энергии и объемную плотность энергии монохроматической волны связывают с интенсивностью света ($I$):
\[I=\left\langle ReE\cdot ReE\right\rangle =\frac{1}{2}{E_m}^2\left(1\right),\]где поле представляется в комплексном виде, но $E_m$ -- действительная величина (амплитуда световой волны).
Интерференция, которая возникает при сложении двух пучков света, называется двухлучевой. Интерференция, которая является суперпозицией большого их количества, носит название многолучевой интерференции.
Практическое применение интерференция имеет, например, в спектроскопии, метрологии. Реальные источники света монохроматическими не являются.
Суперпозиция двух монохроматических волн
Пусть мы имеем две линейно поляризованные в одном направлении волны, которые имеют две одинаковые амплитуды. Их представим в комплексном виде как:
Согласно принципу суперпозиции волн напряжённость результирующего поля равна:
При этом интенсивность результирующей волны примет вид:
где ${E^*}_1$, ${E^*}_2$ комплексно сопряженные величины к соответствующим величинам $E_1$ и $E_2$. Причем из выражений (2) следует, что:
Используя выражения, представленные в (5), перепишем уравнение (4) в виде:
где $\delta ={\varphi }_2-{\varphi }_1,\ I_m=\frac{{E_m}^2}{2}.\ $
Из выражения (6) очевидно, что результирующая интенсивность зависит от разности фаз между исходными волнами.
Если складывать волны различных амплитуд:
тогда формула (4) предстанет в виде:
где $I_1=\frac{{E_{m1}}^2}{2}$, $I_2=\frac{{E_{m2}}^2}{2}$. Из выражения (8) следует, что результирующая интенсивность изменяется от минимального значения равного:
до максимального:
Для того чтобы реализовать интерференцию двух лучей надо иметь две монохроматические (или квазимонохроматические) волны одинаковой частоты.
В том случае, если разность фаз $(\delta =const)$ колебаний постоянна во времени, то волны называют когерентными. Если волны не когерентны $\delta $, непрерывно изменяется, среднее по времени значение равно нулю ($\left\langle {cos \delta \ }\right\rangle $=0). В этом случае выражение (8) трансформируется в:
\[I=I_1+I_2\left(11\right).\]Из выражения (8) следует, что наложение когерентных световых волн вызывает перераспределение потока света, как результат в одних точках пространства появляются максимумы, в других минимумы интенсивности. Особенно отчетливо интерференция проявляется, если интенсивность волн одинакова.
Условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов
Обозначим через $\triangle $ - оптическую разность хода волн. Она равна:
где $n_1$ -- показатель преломления первого вещества, $n_2$ - показатель преломления второго вещества, $s_1$ -- путь, который проходит первая волна в первой среде, $s_2$ -- путь, который проходит вторая волна во второй среде. Допустим, что ${\lambda }_0$- длина волны в вакууме, тогда можно получить, что:
Из выражения (13) очевидно, что если $\ величина\ \triangle \ в\ вукууме$:
то $\delta $ кратна $2\pi .$ Это есть условие интерференционного максимума.
В том случае, если разность хода двух волн равна в вакууме:
то
мы получаем условие интерференционных минимумов.
Задание: Получите выражение для суммарной интенсивности двух световых волн, если складываются волны разных амплитуд: $E_1=E_{m1}exp\left[-i(\omega t-{\varphi }_1)\right],\ E_2=E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_2\right)\right]\left(1.1\right).$
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[I==\frac{1}{2}Re\left({E^*}_1E_1+{E^*}_2E_1+{E^*}_1E_2+{E^*}_2E_2\right)(1.2),\]где ${E_1}^*=E_{m1}exp\left[i(\omega t-{\varphi }_1)\right],\ {E_2}^*=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t-{\varphi }_2\right)\right].$
Найдем произведения, которые входят в состав правой части выражения (1.2):
\[{E^*}_1E_1=E_{m1}exp\left[i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]\cdot E_{m1}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]={E_{m1}}^2\left(1.3\right),\] \[{E^*}_2E_2=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]={E_{m2}}^2\left(1.4\right),\] \[{E^*}_2E_1=E_{m2}exp\left[i\left(\omega t- \varphi_2\right)E_{m1}exp\left[-i\left(\omega t-{\varphi }_1\right)\right]\right]=E_{m1}E_{m2}exp\left[-i\left(\varphi_2- \varphi_1\right)\right]\left(1.5\right),\] \[{E^*}_1E_2=E_{m1}exp\left[i(\omega t-\varphi_1)\right]E_{m2}exp\left[-i\left(\omega t- \varphi_2\right)\right]=E_{m1}E_{m2}exp\left[i\left(\varphi_2- \varphi_1\right)\right]\left(1.6\right).\]Подставим выражения (1.3) -- (1.6) в формулу (1.2), получим:
\[I=\frac{1}{2}\left[{E_{m1}}^2+{E_{m2}}^2+2E_{m1}E_{m2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }\right]\left(1.7\right).\]Учтем, что $I_1=\frac{{E_{m1}}^2}{2}$, $I_2=\frac{{E_{m2}}^2}{2}\ $запишем выражение (1.7) для интенсивности в виде:
\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }.\]Ответ: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}{cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }.$
Задание: Поясните, почему при освещении любой поверхности несколькими естественными источниками света интерференционной картины не возникает.
Решение:
Если какая -- либо поверхность освещена несколькими естественными источниками света, то ее освещённость монотонно убывает при увеличении расстояния от источников света, при этом интерференционной картины (чередования максимумов и минимумов нет). Это объясняется тем, что естественные источники света не когерентны.
Некогерентность этих источников вызвана тем, что излучение светящихся тел является суммой волн, которые испускаются большим количеством атомов. В световой волне, излучение, которое испускается одной группой атомов через время около ${\approx 10}^{-8}с$ сменяется излучением другой группы, при этом фаза суммарной волны терпит случайные изменения.
