Что такое смесь газов
Фундаментальные исследования, которые проводил Дж. Дальтон, увенчались законом, который впоследствии получил его имя. Это закон о том, что парциальные давления отдельных газов в смеси независимы. Но прежде напомним, что смесью газов, называется совокупность нескольких разных газов, невступающих в химическую реакцию при заданных условиях.
Уравнение закона Дальтона
Как уже отмечалось, отдельные компоненты смеси газов считаются независимыми. Поэтому каждая компонента создает давление:
а полное давление равно сумме давлений компонент:
где $p_i$- парциальное давление i газовой компоненты. Уравнение (2) -- закон Дальтона.
При больших концентрациях, больших давлениях закон Дальтона не выполняется в точности. Так как проявляется взаимодействие между компонентами смеси. Компоненты перестают быть независимыми. Дальтон объяснил свой закон с помощью атомистической гипотезы.
Пусть имеется i компонент в смеси газов, тогда уравнение Менделеева -- Клайперона будет иметь вид:
\[{(p}_1+p_2+\dots +p_i)V=(\frac{m_1}{{\mu }_1}+\frac{m_2}{{\mu }_2}+\dots +\frac{m_i}{{\mu }_i})RT\ (3),\]где $m_i$- массы компонент смеси газа, ${\mu }_i$- молярные массы компонент смеси газа.
Если ввести $\left\langle \mu \right\rangle $ такую, что:
\[\frac{1}{\left\langle \mu \right\rangle }=\frac{1}{m}\left[\frac{m_1}{{\mu }_1}+\frac{m_2}{{\mu }_2}+\dots +\frac{m_i}{{\mu }_i}\right]\left(4\right),\]то уравнение (3) запишем в виде:
\[pV=\frac{m}{\left\langle \mu \right\rangle }RT\left(5\right).\]Закон Дальтона можно записать в виде:
\[p=\sum\limits^N_{i=1}{p_i}=\frac{RT}{V}\sum\limits^N_{i=1}{{\nu }_i}\ \left(6\right).\]Следствием закона Дальтона можно считать следующее выражение:
\[p_i=x_ip\ \left(7\right),\]где $x_i-молярная\ концентрация\ i-го$ газа в смеси, при этом:
\[x_i=\frac{{\nu }_i}{\sum\limits^N_{i=1}{н_i}}\ \left(8\right),\]где ${\nu }_i$- количество молей $i-го$ газа в смеси.
Задание: Эффективный радиус молекулы гелия $r_{He}=$0,1$\cdot {10}^{-9}$м, молекулы кислорода $r_{O_2}=$0,35$\cdot {10}^{-9}$м, молярные массы гелия ${\mu }_{He}=4\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль},\ $кислорода ${\mu }_{O_2}=32\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль}$. Cмесь газов занимает объем 1 $м^3$, парциальные давления $p_{He}=0,75\cdot {10}^5Па=0,75p_0$, $p_{O_2}=0,25\cdot {10}^5Па=0,25p_0$, ($p_0$- нормальное атмосферное давление). Найти число столкновений между молекулами за 1 с. Напишите в общем виде формулу средней длины свободного пробега молекулы гелия между столкновениями с молекулами кислорода.
Решение:
Используем закон Дальтона, запишем:
\[p=\left(n_{He}+n_{O_2}\right)kT=n_LkT(1.1),\]где $n_L$-концентрация молекул идеального газа при нормальных условиях:
\[n_L=\frac{N_A}{V_{\mu }}=2,686754\cdot {10}^{25}м^{-3}\ \left(1.2\right),\]$n_L-$называют числом Лошмидта.
Тогда:
\[n_{He}=0,75\ n_L,\ n_{O_2}=0,25n_L\ \]Расчёт дает:
\[n_{He}=0,75\cdot 2,7\cdot {10}^{25}=2\cdot {10}^{25}\left(м^{-3}\right),\ n_{O_2}=0,25\cdot 2,7\cdot {10}^{25}=0,675\cdot {10}^{25}\left(м^{-3}\right)\]Частоту столкновения молекул в объеме V находим по формуле:
\[\left\langle \vartheta \right\rangle ={\left[8\pi RT\left(\frac{1}{{\mu }_{He}}+\frac{1}{{\mu }_{O_2}}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{(r_{He}+r_{O_2})}^2n_{He}n_{O_2}\cdot V(1.3)\]Проведем вычисления:
\[\left\langle \vartheta \right\rangle ={\left[8\cdot 3,14\cdot 8,31\cdot 273\left(\frac{1}{4•{10}^{-3}}+\frac{1}{32•{10}^{-3}}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\left(0,1•{10}^{-9}+0,35•{10}^{-9}\right)}^20,25•2,7•{10}^{25}0,675•{10}^{25}•1\approx {10}^{30}с^{-1}\]Длина свободного пробега молекулы гелия между соударениями с молекулами кислорода $\left\langle {\lambda }_{12}\right\rangle ,\ $ найдем по формуле:
\[\left\langle {\lambda }_{12}\right\rangle =\frac{\left\langle v_1\right\rangle }{\vartheta_{12}}={\pi }^{-1}{\left(1+\frac{{\mu }_{He}}{{\mu }_{O_2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(r_{He}+r_{O_2}\right)}^{-2}{n_{O_2}}^{-1}\left(1.4\right),\]где $\left\langle v_1\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi {\mu }_{He}}}$.
Ответ: Число столкновений между молекулами $\approx {10}^{30}с^{-1}.$ Средняя длина свободного пробега молекулы гелия между столкновениями с молекулами кислорода $\left\langle {\lambda }_{12}\right\rangle ={\pi }^{-1}{\left(1+\frac{{\mu }_{He}}{{\mu }_{O_2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(r_{He}+r_{O_2}\right)}^{-2}{n_{O_2}}^{-1}$, где $\left\langle v_1\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi {\mu }_{He}}}.$
Задание: Определить плотность смеси идеальных газов, если один из компонентов смеси газ массой $m_1$и молярной массой ${\mu }_{1,}$ второй газ массой $m_2$и молярной массой ${\mu }_2$. Температура смеси T, давление p.
Решение:
За основу решения задачи примем закон Дальтона (Давление смеси газов есть сумма парциальных давлений компонент):
\[p=p_1+p_2\left(2.1\right).\]парциальные давления компонент найдем из уравнения Менделеева-Клайперона:
\[p_1=\frac{RT}{V}\frac{m_1}{{\mu }_1},\ p_2=\frac{RT}{V}\frac{m_2}{{\mu }_2}\ \left(2.2\right).\]Подставим (2.2) в (2.1), получим:
\[p=\frac{RT}{V}\left(\frac{m_1}{{\mu }_1}+\frac{m_2}{{\mu }_2}\ \right)\left(2.3\right).\]Плотность по определению:
\[\rho =\frac{m}{V}=\frac{m_1+m_2}{V}=\frac{{(m}_1+m_2)p}{RT\left(\frac{m_1}{{\mu }_1}+\frac{m_2}{{\mu }_2}\ \right)}\]Ответ: Плотность смеси вычисляется по формуле: $\rho =\frac{{(m}_1+m_2)p}{RT\left(\frac{m_1}{{\mu }_1}+\frac{m_2}{{\mu }_2}\ \right)}$.
