Для начала определим, что будем называть смесью газов.
Смесь газов -- совокупность ряда разных газов, которые не вступают в химическую реакцию. Это гомогенная термодинамическая система.
Особенность средней энергии движения молекул
Существует важная особенность характерная для средней энергии движения молекул смеси идеальных газа. Эта энергия молекул разных компонентов газов одинакова. Если компоненты газа разделены в пространстве, то они могут обмениваться энергией, и значит, обладают одинаковыми температурами. В смеси газов молекулы различных компонент имеют средние кинетические энергии теплового движения $\left\langle E\right\rangle $, которые определяются уравнением:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\ \left(1\right),\]где $k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К}$ -- постоянная Больцмана, Т -- термодинамическая температура.
Доказательство равенства энергий
Будем считать выдвинутое предположение о равенстве энергий гипотезой, проверим. Пусть имеется всего два сорта молекул, это не отразится на общности рассуждений. Параметры молекул одного сорта будут иметь индексы 1, второго сорта -2. Рассмотрим все возможные пары молекул и найдем их относительные скорости ${\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$, а так же скорости их центра масс (${\overrightarrow{v}}_{cm})$:
\[{\overrightarrow{v}}_{cm}=\frac{m_2{\overrightarrow{v}}_2+m_1{\overrightarrow{v}}_1}{m_2+m_1}\ \left(2\right).\]Так как мы имеет дело с тепловым движением, неупорядоченными столкновениями молекул, центры масс молекул движутся независимо друг от друга. Относительные скорости также не взаимосвязаны. Поэтому среднее, взятое от их скалярного произведения по всем парам молекул, будет ноль (3):
\[\left\langle \left({\overrightarrow{v}}_{cm}\right)\cdot \left({\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1\right)\right\rangle =0\ \left(3\right).\]Подставим в (3) выражение (2), получим:
\[\left\langle \frac{m_2{\overrightarrow{v}}_2+m_1{\overrightarrow{v}}_1}{m_2+m_1}\cdot \left({\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1\right)\right\rangle =\left[\frac{1}{m_2+m_1}\right]\cdot \left[m_2\left\langle {v_2}^2\right\rangle -m_1\left\langle {v_1}^2\right\rangle +\left(m_1-m_2\right)\left\langle {\overrightarrow{v}}_1{\cdot \overrightarrow{v}}_2\right\rangle \right]=0\ \left(4\right).\]Как уже говорилось, скорости молекул первого и второго сорта не связаны, значит, должно выполняться равенство:
\[\left\langle {\overrightarrow{v}}_1{\cdot \overrightarrow{v}}_2\right\rangle =0\ \left(5\right).\]Соответственно из (4) получили:
\[m_2\left\langle {v_2}^2\right\rangle =m_1\left\langle {v_1}^2\right\rangle \ \left(6\right)\]Разделим правую и левую части равенства (6) на два, получим:
\[\frac{m_2\left\langle {v_2}^2\right\rangle }{2}=\frac{m_1\left\langle {v_1}^2\right\rangle }{2}\to \left\langle E_2\right\rangle =\left\langle E_1\right\rangle (7)\]Получили, что средние кинетические энергии равны для разных компонент смеси.
Как о следствии равенства средних кинетических энергий молекул смесей, можно говорить о равенстве температур смесей в состоянии термодинамического равновесия.
Задание: Газовая смесь состоит из двух компонент: кислорода и азота. Среднеквадратичная скорость молекул кислорода равна $v_1$. Найдите среднюю квадратичную скорость азота ($v_2$), если система находится в состоянии термодинамического равновесия.
Решение:
Основой для решения задачи является то, что в состоянии равновесия все молекулы смеси имеют в среднем одинаковую кинетическую энергию, то есть можно записать:
\[\frac{m_{O_2}{v_1}^2}{2}=\frac{m_{N_2}{v_2}^2}{2}\ \left(1.1\right).\]выразим $v_2$, получим:
\[v_2=\sqrt{\frac{m_{O_2}{v_1}^2}{m_{N_2}}}\ \left(1.2\right).\]Осталось найти массы молекул кислорода и азота. Используем выражение (1.3):
\[m_0=\frac{\mu }{N_A}\left(1.3\right),\]где $\mu $- молярная масса газа, массу молекулы которого необходимо рассчитать, $N_A=6\cdot {10}^{23}\ {моль}^{-1}$-- постоянная Авогадро.
Ответ: Среднюю квадратичную скорость азота можно рассчитать как $v_2=\sqrt{\frac{m_{O_2}{v_1}^2}{m_{N_2}}},\ $где $m_{O_2}=\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A}$, $m_{N_2}=\frac{{\mu }_{N_2}}{N_A}.$
Задание: Каковы средние кинетические энергии поступательного движения молекул смеси азота и кислорода, если их наиболее вероятные скорости молекул отличаются друг от друга на $\triangle v$? Смесь находится в состоянии равновесия.
Решение:
Заметим, что в состоянии равновесия все молекулы смеси имеют в среднем одинаковую кинетическую энергию, то есть кинетические энергии молекул азота и кислорода в среднем, будут одинаковы. Кроме того,
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{2}kT\ \left(2.1\right).\]Следовательно, задача сводится к нахождению температуры смеси. Запишем выражения для наиболее вероятной скорости движения молекул кислорода и азота:
\[v_{N_2ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_{N_2}}}\ ,v_{O_2ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_{O_2}}}\ \left(2.2\right).\]Найдем разность скоростей из (2.2):
\[\triangle v=\sqrt{\frac{2kT}{m_{N_2}}}-\sqrt{\frac{2kT}{m_{O_2}}}=\sqrt{2kT}\left(\sqrt{\frac{1}{m_{N_2}}}-\sqrt{\frac{1}{m_{O_2}}}\right)\ \left(2.3\right).\]Выразим температуру из (2.3), получим:
\[T=\frac{{\triangle v}^2}{{2k\left(\sqrt{\frac{1}{m_{N_2}}}-\sqrt{\frac{1}{m_{O_2}}}\right)}^2}=\frac{{?v}^2}{{2k\left(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{m_{N_2}}}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{m_{O_2}}}\right)}^2}=\frac{m_{O_2}m_{N_2}{\triangle v}^2}{{2k\left(\sqrt{m_{O_2}}-\sqrt{m_{N_2}}\right)}^2}\ \left(2.4\right).\]Подставим (2.4) в (2.1), получим выражение для средней энергии движения:
\[\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{4}\frac{m_{O_2}m_{N_2}{\triangle v}^2}{{\left(\sqrt{m_{O_2}}-\sqrt{m_{N_2}}\right)}^2}\ \left(2.5\right),\]где массы молекул могут быть найдены из (2.6):
\[m_{O_2}=\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A},m_{N_2}=\frac{{\mu }_{N_2}}{N_A}\ \left(2.7\right).\]Ответ: Средние кинетические энергии поступательного движения молекул азота и кислорода в состоянии равновесия одинаковы и равны: $\left\langle E\right\rangle =\frac{3}{4}\frac{m_{O_2}m_{N_2}{\triangle v}^2}{{\left(\sqrt{m_{O_2}}-\sqrt{m_{N_2}}\right)}^2}$, где $m_{O_2}=\frac{{\mu }_{O_2}}{N_A},m_{N_2}=\frac{{\mu }_{N_2}}{N_A}.$
