Объяснение закона Ома в классической теории
В классической теории электропроводности металлов считается, что дополнительная энергия, которую приобретает электрон, при нахождении проводника во внешнем электрическом поле:
где $q_e$,$\ m_e$ -- заряд и масса электрона, $E$ -- напряженность внешнего электрического поля. Исходя из уравнения (2), получим, что к концу своего пробега скорость электрона в среднем будет равна:
где $\tau $ -- среднее время, которое проходит между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.
Друде, основавший классическую теорию электропроводности металлов, не учитывал распределения электронов по скоростям и приписывал им всем одинаковые скорости $v$. В таком случае можно считать, что:
где $\left|\overrightarrow{v}\right|\approx \left|\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right|$. Подставим выражение (4) в формулу (3), имеем:
Получилось, что скорость $u$ изменяется линейно за время пробега. Значит, ее среднее значение за пробег равно:
Подставим среднюю скорость из формулы (6) в выражение для плотности тока:
в результате получим:
Мы получили, что $j\sim E$. То есть пришли к закону Ома, где удельная проводимость ($\sigma $) вычисляется как:
В том случае, если бы столкновения электронов с ионами не было, то длина свободного пробега была бесконечно большой ($\lambda \to \infty $), значит бесконечно большой была бы проводимость. Из классической теории проводимости можно сделать вывод о том, что сопротивление металлов вызвано столкновениями свободных электронов с ионами узлов кристаллической решетки.
Закон Джоуля -- Ленца
К окончанию свободного пробега электрон имеет дополнительную кинетическую энергию (${\triangle W}_k$), среднее значение которой равно:
По теории, когда электрон сталкивается с ионом, он полностью передает дополнительную энергию (${\triangle W}_k$) кристаллической решетке. Энергия, которая при этом сообщается решетке, расходуется на увеличение внутренней энергии металла, что проявляется в его нагревании.
Каждый электрон совершает в среднем за секунду $\frac{1}{\tau }=\frac{v}{\lambda }$ ударов. Каждый раз он сообщает решетке энергию $\left\langle {\triangle W}_k\right\rangle $ (10). Это значит, что в единице объема за единицу времени выделяется тепло (назовем его удельным) равное:
где $n$ -- концентрация электронов проводимости. $Q_{ud}$ -- удельная тепловая мощность тока. Используя выражение (9), формулу (11) можно записать как:
где $\rho =\frac{1}{\sigma }$ -- удельное сопротивление. Выражение (12) -- дифференциальная форма закона Джоуля -- Ленца.
Так, мы получили, что классическая теория проводимости смогла объяснить законы Ома и закон Джоуля -- Ленца.
Задание: Получите выражение, связывающее абсолютную температуру проводника и его удельную проводимость.
Решение:
Согласно классической теории электропроводности считаем, что к электронам в металле применима классическая статистическая механика. Тогда средняя энергия поступательного движения электронов в электронном газе (одноатомном) зависит только от абсолютной температуры (T) и равна:
\[W_k=\frac{m_ev^2}{2}=\frac{3}{2}kT\left(1.1\right).\]Выразим из (1.1) скорость, получим:
\[v=\sqrt{\frac{3kT}{m_e}}\left(1.2\right).\]Выражение для удельной проводимости, полученное в рамках теоретического материала имеет вид:
\[у=\frac{{{nq}_e}^2}{2m_e}\frac{\lambda }{v}\left(1.3\right).\]Подставим в (1.3) выражение для скорости (1.2), имеем:
\[\sigma =\frac{{{nq}_e}^2}{2m_e}\frac{\lambda }{\sqrt{\frac{3kT}{m_e}}}=\frac{{{n\lambda q}_e}^2}{2\sqrt{3kTm_e}}.\]Ответ: $\sigma =\frac{{{n\lambda q}_e}^2}{2\sqrt{3kTm_e}}$. Из полученного выражения видно, что сопротивление металлов должно расти пропорционально квадратному корню от температуры. Для предположения о том, что $n\ и\ \lambda $ зависят от температуры, в классической теории электропроводности снований нет. То есть классическая теория не смогла объяснить эмпирические данные, согласно которым сопротивление металлов пропорционально первой степени температуры.
Задание: Объясните, почему металлы оказывают сопротивление электрическому току.
Решение:
Если бы электроны не испытывали ни каких помех при своём движении, то после приведения их однажды их в упорядоченное движение, они двигались бы по инерции бесконечное время без воздействия внешнего электрического поля. Однако в действительности электроны испытывают соударения с ионами кристаллической решетки. При чем, до удара электрон обладает некоторой скоростью упорядоченного движения, после соударения электроны отскакивают в произвольных направлениях, скорость упорядоченного движения становится равной нулю. После выключения внешнего поля упорядоченное движение электронов (ток) скоро прекратится. Для того чтобы получить ток, текущий сколько ни будь длительное время, необходимо чтобы после каждого удара электрона о ион, на электрон действовала сила, то есть необходимо существование внешнего поля. Причем плотность тока в проводнике тем выше, чем больше напряженность приложенного поля.
