Явление сверхпроводимости
В соответствии с классической электронной теорией удельное сопротивление металлов всегда конечно и монотонно убывает с уменьшением температуры. Подобная температурная зависимость проявляется при высоких температурах. Однако если сделать температуру близкой абсолютному нулю, зависимость сопротивления от температуры качественно изменяется. Эмпирически было показано, что удельное сопротивление достигает некоторого предельного значения и перестаёт зависеть от температуры. Это сопротивление отличается у различных веществ, и даже может быть разным для разных образцов одного и того же вещества. Опытным путем показано, что остаточное сопротивление тем меньше, чем чище металл. Явление скачкообразного уменьшения (практически до нуля) сопротивления металлов при некоторой определенной температуре называют явлением сверхпроводимости. Так титан становится сверх проводником при температуре T=0,4K, алюминий при 1,2 К, свинец при 4,1 К. Сверхпроводимость наблюдается не только у чистых веществ, но и сплавов (причем иногда чистые вещества сверхпроводниками не являются).
В сверхпроводниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока. Внутри вещества в сверхпроводящем состоянии магнитная индукция всегда равна нулю. Магнитное поле разрушает состояние сверхпроводимости.
Классическая теория проводимости объяснить явление сверхпроводимости не может.
Проблема с вычислением теплоемкости
Следующим примером проблемности классической теории проводимости металлов является теория теплоемкости металлов. В соответствии с классической теорией средняя кинетическая энергия теплового движения каждого электрона равна $\frac{3}{2}kT$. Допустим, что N- количество электронов 1 моле вещества в металле. В таком случае тепловая энергия 1 моля электронов равна:
Если мы принимаем, что количество электронов проводимости равно числу атомов, то есть $N=N_A=6,02\cdot {10}^{23}моль^{-1}.$ В таком случае выражение (1) примет вид:
где $R$ -- газовая постоянная, рассчитанная на 1 моль. Следовательно, электронный газ в 1 моле должен иметь теплоемкость при V=const равную теплоемкости одноатомного идеального газа:
Теплоемкость металла можно рассчитать как сумму: теплоемкость кристаллической решетки и теплоемкость электронного газа. Из кинетической теории молярная теплоемкость одноатомных кристаллов равна:
Поэтому предполагалось, что молярная теплоемкость металлов равна 4,5R. Однако, эксперименты показали, что она около 3R. То есть наличие электронов проводимости практически не сказывается на теплоемкости, что необъяснимо с позиций классической теории проводимости.
Существуют и некоторые другие расхождения между выводами классической электронной теории и эксперимента. Так, например, не было дано объяснение того, что электросопротивление металлов растет пропорционально температуре в первой степени, эффекта Холла и т.д.
Причины ошибок в выводах электронной теории проводимости
Причинами проявившихся расхождений выводов следующих из классической теории и опытами являются:
- То, что движение электронов в металлах во множестве случаев следует описывать законами квантовой механики.
- В электронной теории используется статистика Максвелла -- Больцмана, а следует применить квантовую статистику и соответствующий закон распределения.
- Классическая теория не учитывает взаимодействие электронов друг с другом. Соударения электронов с ионами кристаллической решетки описывается законами кратковременных соударений. Тогда как при низких температурах взаимодействия между электронами играют решающую роль.
Тем не менее, нельзя считать, что классическая электронная теория полностью утратила свое значение. Во многих случаях ее можно использовать для нахождения наглядных верных результатов. При этом надо только учитывать, что расхождения между теорией и экспериментом уменьшается с уменьшением концентрации электронов проводимости и повышением температуры. Электронные явления в газах можно описывать с использованием классической электронной теории не только качественно, но и количественно.
Задание: В соответствии с квантовой теорией электронный газ подчиняется статистике Ферми -- Дирака. При высокой температуре и низких плотностях электронного газа выводы этих видов статистики эквивалентны. При высоких плотностях и низких температурах наступает так называемое вырождение газа, то есть классические законы перестают действовать. Вырождение газа наступает тогда, когда «параметр вырождения» (А), определяемый как:
\[A=\frac{nh^3}{2{\left(2\pi m_ekT\right)}^{\frac{3}{2}}}=1\left(1.1\right),\]где $h=6,62\cdot {10}^{-34}\frac{Дж}{Гц},\ n$- концентрация электронов проводимости, $m_e$ -- масса электрона, $k$ -- постоянная Больцмана. Так, классическая статистика применима к электронному газу только при условии: $A\ll 1.$
Можно ли применять классическую статистику Больцмана для одновалентной меди (Cu) при температуре T=300 K, полагая, что на каждый атом металла приходится 1 свободный электрон?
Решение:
Найдем концентрацию электронов проводимости для меди как:
\[n=\frac{\rho N_A}{\mu }\left(1.2\right),\]где $\rho =8960\frac{кг}{м^3},$ $\mu =6,35\cdot {10}^{-2}\frac{кг}{моль}.$ Концентрация электронов проводимости у меди равна:
\[n=\frac{8960\cdot 6,02\cdot {10}^{23}}{6,35\cdot {10}^{-2}}\approx 8,4\cdot {10}^{28}\left(м^{-3}\right).\]Зная, что масса электрона равна $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг$. Используем формулу для параметра вырождения газа:
\[A=\frac{nh^3}{2{\left(2\pi m_ekT\right)}^{\frac{3}{2}}}\]проведем расчет для меди величины A, получим:
\[A=\frac{8,4\cdot {10}^{28}{\cdot (6,62\cdot {10}^{-34})}^3}{2{\left(2\pi \cdot 9,1\cdot {10}^{-31}\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\cdot 300\right)}^{\frac{3}{2}}}\approx \frac{2,4\cdot {10}^{-71}}{7,4\cdot {10}^{-75}}=3,2\cdot {10}^3\]Сравнивая параметр вырождения с единицей, получаем, что применять статистику Больцмана для меди не следует.
Ответ: Нельзя.
Задание: Как используя статистику Ферми, можно показать, что проводимость металлов обратно пропорциональна температуре при температурах, отличных от экстремальных.
Решение:
Согласно статистике Ферми средняя энергия электронов при $A\gg 1$ равна:
\[E_k=\frac{3h^2}{40m_e}{\left(\frac{3n}{\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}=\frac{m_ev^2}{2}\left(2.1\right).\]Выразим из (2.1) скорость электрона, получим:
\[v=\sqrt{\frac{3h^2}{20{m_e}^2}{\left(\frac{3n}{\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}}=\frac{h}{m_e}{\left(\frac{3n}{\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\frac{3}{20}}\left(2.2\right).\]Подставим скорость (2.2) в выражение для коэффициента удельной проводимости, получим:
\[\sigma =\frac{q_en\lambda }{2m_ev}=\frac{q_en^{\frac{2}{3}}\lambda }{h}{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\frac{5}{3}}.\]Ответ: Из полученной формулы видно, что электропроводность определена только зависимостью длины свободного пробега ($\lambda $) от температуры. Вычисление зависимости $\lambda (T)$ с использованием законов квантовой механики приводит к результату, который согласуется с экспериментом, то есть $\lambda \sim \frac{1}{T}$, следовательно $\sigma \sim \frac{1}{T},$ так как концентрация электронов от температуры не зависит.
