Принцип Паули
Согласно закону квантовой механики, который установил В. Паули: Если мы имеем систему, которая содержит множество электронов, в стационарном состоянии, которое определено четырьмя квантовыми числами (главное - n, орбитальное -- l, магнитное - m, спиновое - ms), не может быть больше одного электрона. Этот принцип является следствием того, что тождественные частицы в микромере невозможно отличить друг от друга, так как они имеют одинаковую массу, заряд и абсолютную величину спина. Если два электрона поменять местами, атом своего состояния не изменит. Кроме электронов принципу Паули подчиняются другие частицы, спин которых равен ℏ2.
Для системы из электронов в атоме закон Паули записывается как:
где Z1(n,l,m,ms) -- количество электронов, состояние которых описано набором квантовых чисел n,l,m,ms.
Электроны в атоме, имеющие состояния с равными значениями главного квантового числа (n) составляют электронный слой. Различают такие электронные слои как:
Из принципа Паули следует, что максимальное количество электронов (Z(n)), которые находятся в состояниях, которые определяет значение n, может быть найдено при использовании выражения:
В слое электроны распределяются по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению орбитального квантового числа (l).
Принцип Паули играет существенную роль в развитии атомной и ядерной физики. На его основе строится современная теория твердого тела. На основе принципа Паули была обоснована периодическая система Д.И. Менделеева.
Статистика Ферми-Дирака
В отличии от классической квантовая статистика учитывает, что частицы совершают финитные движения в силовом поле находятся в определенных квантовых состояниях. Этим состояниям соответствуют некоторые значения энергии (энергетические уровни системы). В случае финитных движений энергетические уровни дискретны (отделены друг от друга конечными интервалами).
Электронный газ, с помощью которого описывают проводимость веществ, подчиняют статистике Ферми -- Дирака. Сама статистика учитывает принцип Паули. Выполнение этого принципа значит, что между свободными электронами существует взаимодействие, следовательно, нельзя считать электроны абсолютно независимыми. Но, надо отметить, что это взаимодействие не силовое, а исключительно квантовое.
Распределение электронов по энергиям описывается функцией Ферми -- Дирака:
f(E,T)={1+expE−EFkT}−1(4),где E -- энергия электрона, EF- энергия Ферми (или иногда ее обозначают μ). EF -- энергия при которой функция Ферми Дирака равна 12. Функция Ферми -- Дирака сколько электронов в среднем приходится на одно квантовое состояние с энергией E. Для металлов энергия Ферми является максимальной энергией электрона в зоне проводимости при T=0K. Это положение является достаточно точным для большинства металлов вплоть до температуры их плавления.
Энергия Ферми используется для определения статистических свойств электронов в диэлектриках и полупроводниках.
Импульс электрона (p) связан с его кинетической энергией выражением:
E=p22me(5),где me -- масса электрона. Тогда количество квантовых состояний с импульсами от 0 до p может быть представлено выражением:
Z=8π3h3p3(6).Число квантовых состояний, в которых импульс принимает значения от p до p+dp равно:
dZ=8πh3p2dp(7),а с кинической энергией от E до E+dE:
dZ=4πh3(2m)32E12dE(8).Полупроводники
К полупроводникам относят большое количество неорганических веществ. Качественным различием между металлами и полупроводниками является зависимость их сопротивления от температуры. С уменьшением температуры проводимость металлов растет, тогда как полупроводников, наоборот. При высоких температурах проводимость полупроводников приближается к проводимости металлов, а около абсолютного нуля полупроводник становится изолятором. Такая зависимость проводимости от температуры объяснятся тем, что концентрация носителей тока в металлах от температуры почти не зависит, в а полупроводниках носители тока появляются в результате теплового движения.
В полупроводниках, как и диэлектриках, валентная зона целиком занята электронами, а зона проводимости свободна. Эти зоны разделены запрещенной зоной конечной ширины. В полупроводниках ширина запрещенной зоны меньше, чем в диэлектриках. В том случае, если температура вещества отлична от абсолютного нуля, электрон может получить каким -- либо образом энергию порядка kT и перейти в зону проводимости. Так же как в металлах, в полупроводниках проводимость создается электронами, находящимися в зоне проводимости. Но у полупроводников существует и другой способ проводить ток. После того, как электрон ушел из валентной зоны, в этой зоне остается незаполненное состояние, которое называют дыркой. Другой электрон в валентной зоне может перейти в это вакантное состояние. Так образуется новая дырка. Так вместе с движением электрона происходит движение дырки, но в обратном направлении.
Проводимость полупроводников сильно увеличивается с повышением температуры благодаря усилению теплового движения электронов. При наличии примесей, также увеличивается вероятность переходов электронов с примесных уровней в зону проводимости.
Задание: Используя принцип Паули, найдите максимальное количество электронов (Z) в атоме, имеющих заданные значения трех квантовых чисел (Z2(n,l,m)), двух квантовых чисел (Z3(n,l)) и одного квантового числа Z(n).
Решение:
Определим максимальное число электронов Z2(n,l,m), состояние которых определяется набором трех квантовых чисел n,l,m. В данных состояниях электроны отличаются только ориентацией спинов. ms=±12, тогда следует записать, что:
Z2(n,l,m)=2 (1.1).Найдем максимальное количество электронов Z3(n,l). Состояния электронов определяют два квантовых числа, то есть состояния отличаются набором значений магнитного квантового числа (m). Это число может принимать 2l+1 значений. Значит, максимальное число Z3(n,l) выразится как:
Z3(n,l)=2(2l+1 )(1.2).Вычислим максимальное количество электронов Z(n), которые находятся в состояниях, определяемых главным квантовым числом n. Орбитальное квантовое число изменяется (при заданном n) от n до n-1. Значит, можно найти как сумму:
Z(n)=l=n−1∑l=0Z3(n,l)=l=n−1∑l=02(2l+1 )={2(n−1)+2}n=2n2.Ответ: Z2(n,l,m)=2, Z3(n,l)=2(2l+1 ),Z(n)=2n2.
Задание: Чему равна полная энергия электронного газа (W) вблизи абсолютного нуля температур (вырожденный газ), если функция Ферми -- Дирака при T=0K имеет вид:
{1, если Eμ.(2.1).Решение:
Максимальная энергия, которую может принимать электрон Emax=μ, соответственно импульс (pmax) равен:
pmax=√2meμ(2.2).Количество электронов в единице объема выразим как:
n=Zmax=8π3h3pmax3=8π3h3(2meμ)32(2.3).Выразим энергию Ферми (μ), получим:
μ=Emax=(n3h38π)2312me=(3n)23h28meπ23(2.4).В таком случае полная энергия (W) равна:
W=∫EdZ=3n2μ−32μ∫0E32dE=3μn5.Ответ: W=3μn5.