Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники

Принцип Паули

Согласно закону квантовой механики, который установил В. Паули: Если мы имеем систему, которая содержит множество электронов, в стационарном состоянии, которое определено четырьмя квантовыми числами (главное - n, орбитальное -- l, магнитное - m, спиновое - ms), не может быть больше одного электрона. Этот принцип является следствием того, что тождественные частицы в микромере невозможно отличить друг от друга, так как они имеют одинаковую массу, заряд и абсолютную величину спина. Если два электрона поменять местами, атом своего состояния не изменит. Кроме электронов принципу Паули подчиняются другие частицы, спин которых равен 2.

Для системы из электронов в атоме закон Паули записывается как:

где Z1(n,l,m,ms) -- количество электронов, состояние которых описано набором квантовых чисел n,l,m,ms.

Электроны в атоме, имеющие состояния с равными значениями главного квантового числа (n) составляют электронный слой. Различают такие электронные слои как:

Из принципа Паули следует, что максимальное количество электронов (Z(n)), которые находятся в состояниях, которые определяет значение n, может быть найдено при использовании выражения:

В слое электроны распределяются по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению орбитального квантового числа (l).

Принцип Паули играет существенную роль в развитии атомной и ядерной физики. На его основе строится современная теория твердого тела. На основе принципа Паули была обоснована периодическая система Д.И. Менделеева.

Статистика Ферми-Дирака

В отличии от классической квантовая статистика учитывает, что частицы совершают финитные движения в силовом поле находятся в определенных квантовых состояниях. Этим состояниям соответствуют некоторые значения энергии (энергетические уровни системы). В случае финитных движений энергетические уровни дискретны (отделены друг от друга конечными интервалами).

«Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Электронный газ, с помощью которого описывают проводимость веществ, подчиняют статистике Ферми -- Дирака. Сама статистика учитывает принцип Паули. Выполнение этого принципа значит, что между свободными электронами существует взаимодействие, следовательно, нельзя считать электроны абсолютно независимыми. Но, надо отметить, что это взаимодействие не силовое, а исключительно квантовое.

Распределение электронов по энергиям описывается функцией Ферми -- Дирака:

f(E,T)={1+expEEFkT}1(4),

где E -- энергия электрона, EF- энергия Ферми (или иногда ее обозначают μ). EF -- энергия при которой функция Ферми Дирака равна 12. Функция Ферми -- Дирака сколько электронов в среднем приходится на одно квантовое состояние с энергией E. Для металлов энергия Ферми является максимальной энергией электрона в зоне проводимости при T=0K. Это положение является достаточно точным для большинства металлов вплоть до температуры их плавления.

Энергия Ферми используется для определения статистических свойств электронов в диэлектриках и полупроводниках.

Импульс электрона (p) связан с его кинетической энергией выражением:

E=p22me(5),

где me -- масса электрона. Тогда количество квантовых состояний с импульсами от 0 до p может быть представлено выражением:

Z=8π3h3p3(6).

Число квантовых состояний, в которых импульс принимает значения от p до p+dp равно:

dZ=8πh3p2dp(7),

а с кинической энергией от E до E+dE:

dZ=4πh3(2m)32E12dE(8).

Полупроводники

К полупроводникам относят большое количество неорганических веществ. Качественным различием между металлами и полупроводниками является зависимость их сопротивления от температуры. С уменьшением температуры проводимость металлов растет, тогда как полупроводников, наоборот. При высоких температурах проводимость полупроводников приближается к проводимости металлов, а около абсолютного нуля полупроводник становится изолятором. Такая зависимость проводимости от температуры объяснятся тем, что концентрация носителей тока в металлах от температуры почти не зависит, в а полупроводниках носители тока появляются в результате теплового движения.

В полупроводниках, как и диэлектриках, валентная зона целиком занята электронами, а зона проводимости свободна. Эти зоны разделены запрещенной зоной конечной ширины. В полупроводниках ширина запрещенной зоны меньше, чем в диэлектриках. В том случае, если температура вещества отлична от абсолютного нуля, электрон может получить каким -- либо образом энергию порядка kT и перейти в зону проводимости. Так же как в металлах, в полупроводниках проводимость создается электронами, находящимися в зоне проводимости. Но у полупроводников существует и другой способ проводить ток. После того, как электрон ушел из валентной зоны, в этой зоне остается незаполненное состояние, которое называют дыркой. Другой электрон в валентной зоне может перейти в это вакантное состояние. Так образуется новая дырка. Так вместе с движением электрона происходит движение дырки, но в обратном направлении.

Проводимость полупроводников сильно увеличивается с повышением температуры благодаря усилению теплового движения электронов. При наличии примесей, также увеличивается вероятность переходов электронов с примесных уровней в зону проводимости.

Пример 1

Задание: Используя принцип Паули, найдите максимальное количество электронов (Z) в атоме, имеющих заданные значения трех квантовых чисел (Z2(n,l,m)), двух квантовых чисел (Z3(n,l)) и одного квантового числа Z(n).

Решение:

Определим максимальное число электронов Z2(n,l,m),  состояние которых определяется набором трех квантовых чисел n,l,m. В данных состояниях электроны отличаются только ориентацией спинов. ms=±12, тогда следует записать, что:

Z2(n,l,m)=2 (1.1).

Найдем максимальное количество электронов Z3(n,l). Состояния электронов определяют два квантовых числа, то есть состояния отличаются набором значений магнитного квантового числа (m). Это число может принимать 2l+1 значений. Значит, максимальное число Z3(n,l) выразится как:

Z3(n,l)=2(2l+1 )(1.2).

Вычислим максимальное количество электронов Z(n), которые находятся в состояниях, определяемых главным квантовым числом n. Орбитальное квантовое число изменяется (при заданном n) от n до n-1. Значит, можно найти как сумму:

Z(n)=l=n1l=0Z3(n,l)=l=n1l=02(2l+1 )={2(n1)+2}n=2n2.

Ответ: Z2(n,l,m)=2, Z3(n,l)=2(2l+1 ),Z(n)=2n2.

Пример 2

Задание: Чему равна полная энергия электронного газа (W) вблизи абсолютного нуля температур (вырожденный газ), если функция Ферми -- Дирака при T=0K имеет вид:

{1, если Eμ.(2.1).

Решение:

Максимальная энергия, которую может принимать электрон Emax=μ, соответственно импульс (pmax) равен:

pmax=2meμ(2.2).

Количество электронов в единице объема выразим как:

n=Zmax=8π3h3pmax3=8π3h3(2meμ)32(2.3).

Выразим энергию Ферми (μ), получим:

μ=Emax=(n3h38π)2312me=(3n)23h28meπ23(2.4).

В таком случае полная энергия (W) равна:

W=EdZ=3n2μ32μ0E32dE=3μn5.

Ответ: W=3μn5.

Дата последнего обновления статьи: 12.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Принцип Паули, статистика Ферми-Дирака, полупроводники"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant