Статья о температурных аномалиях, которые наблюдаются на границах двух разных проводников, когда по ним течет электрический ток, была опубликована Пельтье в 1834 г. Сам Пельтье в сущности явления не разобрался, его разъяснил Ленц в 1838 г. Ленц проводил следующий опыт. В выемку на стыке стержней висмута и сурьмы он помещал каплю воды. Если ток пропускался в одном направлении, вода замерзала, в ток шел в противоположном направлении полученный лед таял. Так было установлено, что при прохождении через контакт двух проводников электрического тока, кроме джоулева тепла выделяется или поглощается (это зависит от направления тока) дополнительная теплота. Эта теплота получила название - теплота Пельтье. Процесс выделения (поглощения) дополнительной теплоты в контакте двух проводников -- носит название «явление Пельтье». Теплота Пельтье пропорциональна первой степени силы тока, изменяет знак при изменении направления тока. Эмпирически получено, что теплоту Пельтье ($Q_P$) можно выразить с помощью формулы:
\[Q_P=Пq\left(1\right),\]где $q$ -- заряд, $П$ -- коэффициент Пельтье, который зависит от контактирующих материалов и их температуры. $Q_P>0$, если она выделяется.
Объяснение эффекта Пельтье в классической теории
Классическая электронная теория проводимости трактовала явление Пельтье так: электроны, которые переносятся током из одного металла в другой, ускоряются или замедляются под воздействием внутренней контактной разности потенциалов между металлами. В одном случае кинетическая энергия электронов растет, а затем выделяется как теплота. В другом случае, кинетическая энергия уменьшается, и это уменьшение пополняется за счет тепловых колебаний атомов, в результате чего происходит охлаждение.
Следовало бы ожидать, что коэффициент эффекта Пельтье будет равен контактной разности потенциалов, но это не так. В соответствии с классической теорией средняя кинетическая энергия теплового движения электронов в контактирующих металлах считается одинаковой, а это не так. Дело в том, что положения уровней Ферми в разных металлах различно. Классическая теория учитывает только разницу потенциальных энергий по разные стороны границы раздела металлов, при этом считает, что кинетические энергии электронов одинаковы. Однако следует учесть изменение полной энергии электрона его при переносе из одного металла в другой.
Для большинства пар проводников коэффициент Пельтье имеет значение порядка ${10}^{-2}-\ {10}^{-3}В$ (вольт).
Эффект Пельтье для полупроводников
Эффект Пельтье, как в прочем все термоэлектронные явления, особенно сильно проявляется в цепях из электронных и дырочных полупроводников.
Допустим, что имеется контакт дырочного полупроводника и электронного, причем ток идет от дырочного проводника к электронному. В таком случае дырки в дырочном полупроводнике и электроны в электронном полупроводнике станут двигаться навстречу друг другу. Электроны, из свободных зон электронного полупроводника пройдя границу раздела, попадают в заполненную зону дырочного полупроводника и там аннигилируется с дыркой. Как следствие такой рекомбинации высвобождается энергия, которая выделяется в виде тепла в контакте полупроводников.
Рассмотрим случай, когда ток идет от электронного полупроводника к дырочному. В этом случае, электроны в электронном полупроводнике и дырки в дырочном полупроводнике движутся в противоположные стороны. Дырки, перемещающиеся от границы раздела полупроводников, пополняются в результате образования новых пар при переходе электронов из заполненной зоны дырочного полупроводника в свободную зону. На образование подобных пар необходима энергия, которая предоставляется тепловыми колебаниями атомов решетки. Под воздействием электрического поля возникающие электроны и дырки движутся в противоположные стороны. Непрерывное рождение новых пар идет пока ток течет через контакт. В результате этого процесса теплота поглощается.
Явление Пельтье в полупроводниках используют в охлаждающих устройствах.
Тепло Джоуля - Ленца и тепло Пельтье
Надо отметить, что между явлением Пельтье и выделением тепла Джоуля -- Ленца есть существенные различия. Количество теплоты, которая выделяется в соответствии с законом Джоуля -- Ленца ($Q\sim I^2$) не зависит от направления тока. Теплота, которая выделяется (или поглощается) в результате эффекта Пельтье пропорциональна первой степени силы тока ($Q_P\sim I$) и изменяет знак при смене направления тока. Кроме того, тепло Джоуля - Ленца зависит от сопротивления проводника, теплота Пельтье от него не зависит.
Обычно, теплота Пельтье существенно меньше, чем тепло Джоуля -- Ленца. Для того, чтобы выявить эффект именно от явления Пельтье следует как можно сильнее уменьшить тепло Джоуля - Ленца, применяя толстые проводники с минимальным сопротивлением.
Задание: Покажите, что если считать электронный газ в проводнике невырожденным, то коэффициент Пельтье равен контактному скачку потенциала.
Решение:
Количество электронов (N), которое проходит через единичную площадку, перпендикулярную к направлению тока, за $1 с$ равно:
\[N=\frac{j}{q_e}\left(1.1\right),\]где $j$ -- плотность тока, $q_e\ $-- заряд электрона.
Энергия электрона равна сумме его кинетической ($E_k$) и потенциальной энергий ($E_p=-q_e\varphi $). Если через $\left\langle E_k\right\rangle $ обозначить среднюю энергию для N электронов, то поток энергии ($P$) равен:
\[P=-\frac{j}{q_e}\left(\left\langle E_k\right\rangle -q_e\varphi \right)\left(1.2\right),\]где $\left\langle E_k\right\rangle \ne \frac{3}{2}$ kT-- не равно средней кинетической энергии равновесного электронного газа, что объяснимо тем, что в случае вырожденного газа не все электроны могут ускоряться электрическим полем.
Рассмотрим проводники 1 и 2 при одинаковой температуре. К каждой единице поверхности контакта в проводнике 1 подводится в единицу времени энергия $P_1$, а отводится в проводнике 2 энергия равная $P_2$. Значения потенциалов с обеих сторон контактной плоскости равны ${\varphi }_1$ и ${\varphi }_2$. Причем ${\varphi }_1$ $\ne $ ${\varphi }_2$. Кроме того в общем случае, имеем, что:
\[\left\langle E_{k1}\right\rangle \ne \left\langle E_{k2}\right\rangle \left(1.3\right).\]Для поддержания температуры контакта без изменений с каждой единицы поверхности в единицу времени нужно отводить (или подводить) энергию, равную $P_1-P_2.\ $Из выражения (1.3) следует, что:
\[P_1-P_2\ne 0\ \left(1.4\right).\]Это означает, что выделяется (или поглощается) тепло Пельтье ($Q_p$). В том случае, если $S$ -- площадь контактирующих поверхностей, то тепло Пельтье равно:
\[Q_p=\left(P_1-P_2\right)St=\frac{1}{q_e}\left[\left(\left\langle E_{k2}\right\rangle -\left\langle E_{k1}\right\rangle \right)-q_e\left({\varphi }_1-\ {\varphi }_2\right)\right]It\left(1.5\right),\]где $I=jS$ -- сила тока. Мы знаем, что теплоту Пельтье выражают как:
\[Q_p=Пq\left(1.6\right).\]Или для нашего случая из выражения (1.7) можно записать:
\[Q_p=Пq_e=ПIt\left(1.7\right).\]Сравним выражение (1.7) и формулу (1.5), получим для коэффициента Пельтье выражение:
\[П_{12}=\frac{1}{q_e}\left[\left(\left\langle E_{k2}\right\rangle -\left\langle E_{k1}\right\rangle \right)-q_e\left({\varphi }_1-\ {\varphi }_2\right)\right]\left(1.8\right).\]Так как нас интересует тепло в контакте, и мы не рассматриваем тепло Джоуля -- Ленца в объеме, то в формуле (1.5) следует под $P_1\ и\ P_2$ понимать их значения у самой плоскости контактов. Значит выражение ${\varphi }_1-\ {\varphi }_2=U_{i12}$ - контактный скачок потенциала.
Если электронный газ в проводниках является невырожденным, то ускоряются полем все электроны. Распределение импульсов описывается законом Максвелла, и оно зависит только от температуры, тогда $\left\langle E_{k2}\right\rangle =\left\langle E_{k1}\right\rangle $, следовательно:
\[П_{12}=ц_1-\ ц_2=U_{i12}.\ \]В таком случае, коэффициент Пельтье равен контактному скачку потенциала, при этом тепло Пельтье равно работе, которую совершает ток из-за перепада напряжений.
Что и требовалось показать.
Задание: Чему равен коэффициент Пельтье при температуре T=0 K (случай сильно вырожденного электронного газа)?
Решение:
В состоянии сильного вырождения (T=0 K) все квантовые состояния в зоне проводимости с энергией, которая меньше уровня Ферми полностью заняты электронами. При этом ускоряться полем могут только электроны, которые имею энергии равную энергии Ферми (в первом приближении энергию Ферми примем равной химическому потенциалу $\mu $). Поэтому в формуле для коэффициента Пельтье, которую мы получили в предыдущем примере:
\[П_{12}=\frac{1}{q_e}\left[\left(\left\langle E_{k2}\right\rangle -\left\langle E_{k1}\right\rangle \right)-q_e\left({\varphi }_1-\ {\varphi }_2\right)\right]\left(2.1\right)\]под $\left\langle E_{k2}\right\rangle \ и\ \left\langle E_{k1}\right\rangle $ надо понимать максимальные кинетические энергии электронов и принять, что:
\[\left\langle E_{k2}\right\rangle ={\mu }_2,\ \left\langle E_{k1}\right\rangle {=\mu }_1\left(2.2\right).\]С другой стороны мы знаем, что:
\[q_e\left({\varphi }_1-\ {\varphi }_2\right){=\mu }_1-{\mu }_2\left(2.3\right).\]Подставим выражения (2.3) и (2.2)
в формулу (2.1), получим:
\[П_{12}=\frac{1}{q_e}\left[\left(м_2-м_1\right)-\left(м_1-м_2\right)\right]=0.\]Ответ: При $T$=0 $K$, $П_{12}=0\ В.$
