Свободные и вынужденные механические колебания

Движения или процессы, которые имеют определенную повторяемость, называют колебаниями.

Физическая природа колебаний может быть различной, в этой связи различают:

• механические колебания;
• электромагнитные колебания;
• квантовые;
• смешанные (электромеханические).

Разные по природе колебания описываю при помощи одинаковых параметров и одинаковых уравнений. Общим подходом исследования механических и электромагнитных колебаний пользовались разные ученые –физики, например, Д.У. Рэлеей и А.Г. Столетов, П.Н. Лебедев.

Свободные гармонические колебания

Самым простым для математического описания видом колебательных процессов стали гармонические колебания.

Гармонические колебания рассматриваются подробно поскольку:

1. колебания, которые происходят в реальной действительности часто близки к гармоническим;
2. разные периодические процессы можно представлять как сумму гармонических колебаний.

Состояния колебательной системы, выполняющей гармонические колебания, повторяются спустя промежуток времени, который именуют периодом колебаний ($T$). За время, равное периоду, фаза колебаний изменяется на величину, равную $2\pi$:

$(\omega_0 (t+T)+\varphi)=(\omega_0 t+\varphi)+2\pi (2)$,

в результате можем записать:

$T=\frac {2\pi}{\omega_0}(3).$

Величину, обратную периоду, называют частотой колебаний:

$\nu=\frac{1}{T}(4).$

Дифференциальные уравнения свободных гармонических колебаний

Поведем дифференцирование по времени выражения (1), тогда первая производная равна:

$\frac {ds}{dt}=s_m \omega_0 cos (\omega_0 t +\varphi + \frac{\pi}{2})$(6).

Вторая производная по времени от (1):

$\frac {d^2s}{dt^2}=-s_m \omega_0^2 cos (\omega_0 t +\varphi + \pi)$(7).

В выражении (6) мы получили скорость колебаний, в (7) ускорение. Данные параметры движения колеблются с той же циклической частотой и амплитудами равными:

$v_m=s_m \omega_0$; $a_m= s_m \omega_0^2$.

Из формулы (6) мы видим, что фаза скорости отлична от фазы смещения $s$ на $\frac{\pi}{2}$, тогда как фаза ускорения смещена на $\pi$. Это означает то, что в тот момент времени, когда смещение равно нулю ($s=0$), скорость наибольшая. Если $s$ максимально и отрицательно, то ускорение имеет наибольшую положительную величину.

Из выражений (1) и (7) легко сделать вывод о том, что дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний записывается в виде:

$\frac {d^2s}{dt^2}+\omega_0^2 s=0(8).$

Решением данного уравнения служит $s(t)$ вида (1).

Затухающие колебания

В реальной действительности любые свободные колебания являются затухающими.

Самым простым механизмом уменьшения энергии в колебательной системе является ее трансформация в тепловую энергию, в результате наличия сил трения.

Формула, которая описывает затухание колебаний, определена свойствами системы, выполняющей движения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы можно представить в виде:

$\frac{d^2 s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+\omega_0^2 s =0 (9)$,

где $\delta$ - коэффициент затухания; $\omega_0$ - круговая частота свободных незатухающих колебаний этой же колебательной системы (если $\delta =0$) называется собственной частотой.

Если затухание колебаний мало ($\delta^2 \ll \omega_0^2$), то решением дифференциального уравнения (9) является функция вида:

$s=s_0 e^{-\delta t} \cos (\omega t +\varphi) (10),$

где $\omega = \omega_0^2-\delta^2$; $s_0=s_m e^{-\delta t}$ - амплитуда колебаний при их затухании ($s_m $- начальная амплитуда).

Иногда при очень малом затухании понятие период используют для обозначения отрезка времени между парой соседних максимумов (минимумов) параметра колебания. В этом случае период затухающих колебаний вычисляют как:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt {\omega_0^2-\delta^2}}(11).$

Конечным результатом эволюции колебательной системы с затухающими колебаниями является стремление ее к состоянию равновесия. Данное поведение понятно, поскольку связано с потерей энергетического запаса на совершение работы против сил трения в механической системе.

Вынужденные колебания

Вынужденными механическими колебаниями можно назвать звуковую волну, которая распространяется в веществе при наличии источника звука.

Для получения в реальной системе незатухающих колебаний, следует компенсировать потери энергии. Данная компенсация возможна при действии, например, периодического фактора $X(t)$, который изменяется в соответствии с законом:

$X(t)=X_0 \cos (\omega t)(12).$

При механических колебаниях вместо $X(t)$ можно записать внешнюю вынуждающую силу:

$F=F_0 \cos (\omega t) (13).$

Рассмотрим колебания тела на упругой пружине. Уравнением его колебаний будет:

$m \ddot{ x} =-kx-r\dot{x} (14),$

где $r$ - коэффициент сопротивления; $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$; $k$ - коэффициент упругости пружины; $m$ - масса тела на пружине. Коэффициент затухания при этом равен:

$\delta = \frac{r}{2m}(15).$

Уравнения вынужденных колебаний с учетом (13) запишем в виде:

$m \ddot{ x} =-kx-r\dot{x}+F_0 \cos (\omega t) (16).$

Или в виде:

$\ddot {x}+2\delta \dot {x}+\omega_0^2x=\frac {F_0}{m}\cos (\omega t) (17).$

Уравнение (17) - это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.