Механические гармонические колебания

Большое число физических процессов можно представить как малое отклонение от положения равновесия.

Рассмотрим систему, которая состоит из шарика, укрепленного на упругой пластине (рис.1). В положении равновесия пластина немного изогнута, при этом шарик находится в покое в некоторой точке $A$. Отклоним этот шарик вертикально и отпустим. Вопрос: как будет происходить перемещение данного шарика?

Рисунок 1. Колебательная система. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сила ($F(x)$), которая действует на шарик (рис.1) является сложной функцией параметра ($x$), характеризующего отклонение от равновесного положения в направлении вертикали. При этом решение дифференциального уравнения вида:

$m\dot{x}=F(x)(1)$

будет весьма сложным. Даже если его можно будет решить, то будут сложности с его анализом.

Уравнение гармонических колебаний

В большом числе случаев на практике представляет интерес поведение системы, совершающей колебания не при всех возможных отклонениях, а только при очень небольших отклонениях.

В этом случае решение уравнения движения (1) существенно упрощается. Какой бы сложной не была функция силы, ее можно разложить в ряд Тейлора. При этом в реальных задачах физики отличным от нуля бывает $xF’(0)$, уравнение движения при очень небольших отклонениях от равновесия принимает вид:

$m\frac{d^2x}{dt^2}=xF’(0)=-kx (2),$

где введено обозначение: $F’(0)=-k>0$.

Уравнение вида (2) получается при исследовании многих явлений физики. В рассмотренном выше примере параметр $x$ - это расстояние от положения равновесия. Но $x$ можно понимать как заряд конденсатора, в колебательном контуре что-то иное.

Уравнение вида (2) называют уравнением гармонических колебаний, при этом систему, совершающую данные малые колебания, считают линейным (гармоническим) осциллятором.

Часто рассматриваемыми примерами гармонических осцилляторов в механике являются:

• тело на упругой пружине (пружинный маятник);
• тело на нерастяжимом и невесомом подвесе (нити) (математический маятник);
• физический маятник.

Уравнение гармонических колебаний обычно представляют в виде:

$\ddot {x}+\omega^2 x=0 (3),$

где $\omega^2=\frac{k}{m}>0$.

Гармонические функции

Прямой подстановкой несложно убедиться в том, что решением уравнения гармонических колебаний (3) являются тригонометрические функции (и их комбинации):

• $\sin (\omega t)$;
• $\cos (\omega t)$.

Поскольку дифференциальное уравнение (3) является линейным, то сумма решений этого уравнения и произведение их на постоянную величину, так же является решением этого же уравнения.

Следовательно, можно записать, что общее решение уравнения (3) представляется в виде:

$x(t)=C_1\sin (\omega t)+C_2 \cos (\omega t)(4),$

где $C_1$ и $C_2$ - постоянные коэффициенты. Функцию вида (4) называют гармонической.

Параметры, характеризующие гармонические колебания.

Равенство (4) часто записывают в ином виде:

$x(t)= C_1\sin (\omega t)+C_2 \cos (\omega t)=\sqrt {C_1^2+C_2^2}(\frac{C_1}{\sqrt {C_1^2+C_2^2}}\sin (\omega t)+ \frac{C_2}{\sqrt {C_1^2+C_2^2}}\cos (\omega t))=C\sin(\omega t+\varphi) ,$

где $\cos \varphi = \frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$; $\sin \varphi = \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}$; $C=\sqrt{C_1^2+C_2^2}(5)$.

И так, уравнение гармонических колебаний запишем в виде:

$x(t)=C \sin (\omega t+\varphi)$ или $x(t)=C \cos (\omega t+\varphi_1)$.

При этом параметр $C$ является амплитудой колебаний; $\omega$ - циклическая (круговая частота колебаний); $\omega t+\varphi $ - фаза колебаний; величина фазы колебаний (\varphi) в момент времени, принятый за начальный называется начальной фазой (часто просто фазой).

Из вида уравнений колебаний (5) можно сделать вывод о том, что параметр $x$ приобретает одинаковые значения спустя время, равное:

$T=\frac{2\pi}{\omega}(6).$

Функции (5) называют периодическими. Физическая величина $T$ называется периодом колебаний.

Гармонические колебания являются периодическими. Обратное не всегда справедливо. Не каждая периодическая функция является гармонической. Функция считается гармонической только в том случае, если ее можно представить в виде (5), и она имеет определенные:

• частоту;
• фазу;
• амплитуду.

Комплексная запись гармонических колебаний

Исследуя гармонические колебания, необходимо производить разные математические операции с описывающими их уравнениями. Эти процедуры существенно упрощаются, если применять теорию комплексных чисел и представлять гармонические колебания в комплексной форме.

Форма записи гармонического колебания в виде тригонометрических функций (5) называется действительной. Комплексная их запись:

$\tilde{x}=Ce^{i(\omega t+\varphi)}(7).$

Параметр $\tilde{x}$ - это комплексное число и не может дать реального физического отклонения, которое определяется вещественной величиной $x$ вида (5). Но мнимая компонента $\tilde{x}$ может быть рассмотрена как действительное гармоническое колебание (5), которое определено синусом. При этом действительная часть $\tilde{x}$ равна $C \cos (\omega t +\varphi)$, она представляет вещественное гармоническое колебание.

Используя комплексную запись гармонических колебаний, после выполнения всех математических операций, в полученном результате для того, чтобы перейти к реальным физическим параметрам берут действительную или мнимую часть выражения, которое получили.

График гармонического колебания, которое представлено в комплексном виде, показан на рис.2. При колебаниях комплексный вектор $\vec C$ совершает вращательные движения около начала координат против часовой стрелки. Скорость вращения его составляет:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$,

где $T$ - период колебаний. Проекции $\vec C$ на оси – это действительные физические колебания.

Рисунок 2. График гармонического колебания. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ