Энергия механических колебаний

Иногда также выделяют квантовые колебания.

Механическими колебаниями, например, являются:

• колебания маятников (пружинного, математического, физического);
• колебания струн;
• колебания частей механизмов;
• колебания сооружений и т.д.

Любое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний, имеющих кратные частоты ($\omega, 2\omega, 3\omega ... $). При этом частота $\omega$ называется основной, остальные частоты – это гармоники. Для нахождения амплитуд и частот сложного периодического процесса используют Фурье анализ.

Периодические колебания физической величины $s$ называют гармоническими тогда, когда они описываются законом:

$s(t)= C\sin (\omega t+\varphi_0)(1),$

где $\omega=\frac{2\pi}{T}=const$ - круговая (циклическая) частота гармонических колебаний; $C$ - наибольшее значение величины $s (t)$, именуемое амплитудой колебаний; $\omega t+\varphi_0$ - фаза колебаний; $\varphi_0$ - начальная фаза колебаний (неизменный параметр).

Выражение (1) можно записать как:

$s(t)= C\cos (\omega t+\varphi_1)(2),$

где $\varphi_1=\varphi_0-\frac{\pi}{2}$.

Гармонические колебания

Рассмотрим прямолинейные колебательные движения материальной точки вдоль оси $Y$ около положения равновесия, которое разместим в начале координат. Пусть заданные колебания описываются гармоническими законами. В таком случае закон, описывающий колебания нашей точки имеет вид:

$y=A\sin (\omega t+\varphi_0)(3).$

Проекция $\vec v$ на ось $Y$ равна:

$v_y=\dot{y}=v_m\cos(\omega t+\varphi_0)(4),$

где $v_m=A\omega$ - амплитуда скорости.

$a_x=\ddot {y}=-a_m\sin (\omega t \varphi_0)(5),$

где $a_m=v_m\omega$ - амплитуда ускорения.

Силу, которая действует на материальную точку, определим как:

$\vec F=m\vec a$; $F_y=-m\omega^2y (6),$

где $m$ - масса материальной точки. Мы видим в (6), что сила прямо пропорциональна смещению нашей точки от положения равновесия и имеет направление в сторону, противоположную направлению смещения.

Данная зависимость характерна для сил упругости.

Энергия движения материальной точки в гармоническом колебательном процессе

Учитывая, что кинетическая энергия по определению равна:

$E_k=\frac{mv^2}{2}(7)$,

принимая во внимание выражение для скорости движения точки (4), получим:

$E_k=\frac{1}{2}mv_m^2\cos^2(\omega t+\varphi_0) = \frac{1}{4}m\omega^2 A^2 (1+\cos (2\omega t+2 \varphi_0))(8).$

Из выражения (8) следует, что кинетическая энергия нашей системы изменяется от нуля до величины $\frac{m\omega^2A^2}{2}$. При этом данная энергия гармонически колеблется, колебания происходят с циклической частотой равной $2\omega$. Амплитуда колебаний кинетической энергии равна $\frac{1}{4}m\omega^2 A^2$. Средняя величина кинетической энергии за период равна: $\frac{1}{4}m\omega^2 A^2$.

Потенциальная энергия

Мы полагаем, что колебания материальная точка выполняет под воздействием квазиупругой силы. В этом случае потенциальную энергию можно записать как:

$E_p=-\int_0^y {F_ydy}(9).$

Учитывая формулу (6), подставляя выражение для $F_y$, проводя интегрирование, имеем:

$E_p=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin (\omega t+\varphi_0) (10).$

Или иначе, используя известные тригонометрические соотношения:

$E_p=\frac{1}{4}m\omega^2 A^2(1-\cos (2\omega t+2\varphi))= \frac{1}{4}m\omega^2 A^2(1+\cos(2\omega t+2\varphi_0+\pi))$(11).

Формула (11) указывает нам на то, что потенциальная энергия материальной точки совершает изменения от нуля до величины $\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$. Круговая частота ее колебаний будет $2\omega$, амплитуда ее колебаний: - $\frac{1}{4}m\omega^2 A^2$. Средним значением потенциальной энергии за период колебаний станет величина, равная $\frac{1}{4}m\omega^2 A^2$.

Колебания кинетической и потенциальной энергии совершаются со сдвигом. Сдвиг фаз составляет $\pi$. Получается, что суммарная механическая энергия при гармонических колебаниях сохраняется:

$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2=const.$

Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора

Представление о потенциальной энергии обладает смыслом только, если силы потенциальны. При одномерных перемещениях между парой точек имеется единственный путь. Это означает, что условие потенциальности обеспечено автоматически и любую силу можно воспринимать как потенциальную, если она зависит исключительно от координат.

Если рассматривать линейный осциллятор, то обычно считают, что в положении равновесия $E_p(x=0)=0$. Начало координат разместим в точке равновесия колебательной системы.

Пусть колебания происходят вдоль $OX$, под действием силы упругости $\vec F_u=-kx\vec i$ ($k$- коэффициент упругости). Подобной колебательной системой является пружинный маятник.

Применим второй закон Ньютона:

$m\vec a =\vec F_u (12),$

где $\vec a=\ddot {x}\vec i$ - ускорение материальной точки; $\vec i$ - единичный вектор, направленный по оси $X$, запишем уравнение движения осциллятора:

$m\ddot {x}=-kx$ или $\ddot {x}+\frac{k}{m}x=0 (13).$

Поскольку коэффициент $\frac{k}{m}>0$, то уравнение (13) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Функция:

$x=A\sin (\omega t +\varphi_0) (14)$

служит решением уравнения (13).

При этом круговая частота колебаний нашего маятника равна:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$,

период колебаний составляет:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$

Потенциальную энергию несложно получить из уравнения движения (13). Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора получается равной:

$E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{m\omega^2x^2}{2}(15).$

Закон сохранения механической энергии позволяет сделать нам выводы:

1. Наибольшая кинетическая энергия осциллятора равна его наибольшей потенциальной энергии.
2. Средняя кинетическая энергия нашей колебательной системы равна ее средней потенциальной энергии.