Механические колебания

Колебания – это общий вид движения динамических систем около положения равновесия. Если отклонения от равновесия малы, то колебания чаще всего являются гармоническими.

Независимо от природы колебательной системы, процессы колебаний описываются одинаковыми по виду дифференциальными уравнениями изменения переменных, которые характеризуют состояния системы.

Самыми простыми являются свободные гармонические колебания. При гармонических колебаниях переменный параметр описывается с помощью законов:

• синуса;
• косинуса.

Гармонические колебания

Большое количество процессов в физике можно рассматривать как поведение системы при небольших отклонениях от состояния равновесия.

Допустим, что маленький шарик находится на дне чаши в виде шара (рис.1). Для описания движения этого шарика при отклонении его от положения равновесия, нам необходимо знать составляющие силы, которые действуют на шарик, когда он находится в точке с координатой $x$, то есть $F (z)$ и решить уравнение движения этой материальной точки: $m\dot x=F(x).$

Отметим, что решение подобного уравнения может быть весьма затруднительно, поскольку сила может быть сложной функцией, связанной с расстоянием.

Рисунок 1. Шарик в чаше. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Часто в реальных физических системах уравнение движения для малых отклонений $x$ от положения равновесия имеет вид:

$m\frac {d^2 x}{dt^2}=xF’(0)=-kx (1),$

где $k=-F’(0)>0$.

Уравнение (1) получают при исследовании большого числа явлений в физике. В механических колебаниях $x$ - расстояние от положения равновесия по оси $X$. Однако, это может быть и другой физический параметр, например, заряд конденсатора, при рассмотрении электрических колебаний.

Уравнение вида (1) называют уравнением гармонических колебаний. Система, в которой происходят данные малые колебания, носит название линейного или гармонического осциллятора.

Примером осциллятора могут быть:

• малое тело на упругой пружине (пружинный маятник);
• малое тело на нерастяжимой нити (математический маятник);
• физический маятник.

Уравнение гармонических колебаний

Уравнение движение линейного осциллятора можно записать в виде:

$\ddot{x}+\omega^2 x=0 (2),$

где $\omega^2=\frac{k}{m}>0$

Решением уравнения (2) являются гармонические функции:

$sin (\omega t)$ и $cos (\omega t)$.

Уравнение (2) является линейным, поэтому общее решение уравнения (2) можно представить как:

$x(t)=C_1 sin (\omega t)+C_2 cos (\omega t) (3),$

где $C_1$ и $C_2$ - постоянные величины. Функция вида (3) называется гармонической.

Амплитуда, частота, фаза колебаний

Гармоническую функцию (3) чаще записывают иначе:

$x(t)=C_1 sin (\omega t)+C_2 cos (\omega t)= C sin (\omega t+\varphi) (4),$

где $C=\sqrt {C_1^2+C_2^2}$; $\cos \varphi = \frac {C_1}{\sqrt {C_1^2+C_2^2}};$ $\sin \varphi =\frac {C_2}{ \sqrt {C_1^2+C_2^2}}$.

В формуле (4):

• параметр $C$ называют амплитудой колебаний;
• величина $\omega$ - это частота гармонических колебаний;
• $\omega t+\varphi$ - фаза колебаний;
• величина фазы момент времени, принятый за начальный ($t=0$) называют начальной фазой (просто фазой);
• значение $x$ повторяется спустя промежутки времени, равные: $T=\frac{2\pi}{\omega}$, именуемые периодом.

Гармонические колебания являются периодическими

Запись уравнений гармонических колебаний в комплексной форме

Запись колебаний в виде (4) можно заменить комплексной ее формой:

$\tilde{x}=Ce^{i(\omega t+\varphi})(5).$

Параметр $\tilde{x}$ является комплексным и не дает реального физического отклонения, в отличие от вещественного $x$. Но мнимую часть $\tilde{x}$ следует рассматривать как реальное гармоническое колебание, записываемое при помощи синуса. Действительную часть $\tilde{x}$ рассматривают как колебание, которое записано в виде косинуса. В этой связи гармонические колебания записывают в комплексной форме (5) и проводят все необходимые расчеты. Получив результат в вычислениях, переходя к физическим параметрам берут действительную или мнимую части от выражения, которое получили.

Суммирование гармонических колебаний

Рассмотрим два колебания, которые обладают одинаковыми частотами, разными начальными фазами и амплитудами:

$x_1(t)=C_1 sin (\omega t+\varphi_1) (6),$

$x_2(t)=C_2 sin (\omega t+\varphi_2) (7).$

Нам следует найти:

$x=x_1+x_2 (8).$

Представим заданные колебания в комплексном виде, тогда результатом суммирования станет действительная часть суммы:

$\tilde{x}=\tilde{x_1}+\tilde{x_2}=C_1 e^{i(\omega t+\varphi_1)}+ C_2 e^{i(\omega t+\varphi_2)}=e^{i\omega t}(C_1 e^{i\varphi_1}+ C_2 e^{i\varphi_2})(9).$

Рисунок 2. Суммирование гармонических колебаний. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сложение рассматриваемых величин просто выполнять в виде векторов из рис.2 видно, что:

$C_1 e^{i\varphi_1}+ C_2 e^{i\varphi_2}=C e^{i\varphi}(10),$

$C^2=C_1^2+C_2^2+2C_1C_2 cos (\varphi_1 - \varphi_2) (11),$

$tg \varphi=\frac{C_1 sin \varphi_1+C_2 sin \varphi_2}{ C_1 cos \varphi_1+C_2 cos \varphi_2}(12).$

Окончательно получаем:

$\tilde{x}=C e^{i(\omega t+\varphi)}(13)$,

где коэффициенты $C$ и $\varphi$ определены выражениями (11) и (12).

Можно сделать вывод о том, что суммой гармонических колебаний является выражение:

$x=x_1+x_2=C cos (\omega t+\varphi)(14).$

Векторы, изображённые на рис.2 совершают вращения около начала координат по часовой стрелке (на это указывает множитель $ e^{i \omega t} $. Скорость вращения равна $\omega$.

Амплитуда колебаний максимальна при $\varphi_1=\varphi_2$ и составляет величину, равную $C_1+C_2$.

Минимума амплитуда суммарных колебаний достигает при $\varphi_2-\varphi_1=\pm \pi$. Комплексные векторы направлены в противоположные стороны, амплитуда их суммы равна:

$|C_2-C_1|$.

Итак, результатом суммы гармонических колебаний одинаковой частоты является гармоническое колебание той же частоты, амплитуду и фазу которых находят в соответствии с формулами (11). (12).