Закон сохранения механической энергии с формулами

Законы сохранения имеют чрезвычайно большое значение для понимания хода процессов в физике. Даже, если неизвестен закон, по которому действуют силы, на основании законов сохранения можно сделать множество важных выводов о движении тела.

Законы сохранения и свойства пространства и времени

Существование законов сохранения энергии, импульса и момента импульса вызвано не свойствами конкретных сил и уравнений движения, а основными свойствами пространства и времени, так:

1. Однородность пространства является основой законов сохранения импульса.
2. Изотропность пространства – база закона сохранения момента импульса.
3. Следствием однородности времени является закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии должен всегда выполняться, несоблюдение закона связано с конкретными изменениями свойств времени и пространства.

Симметрия пространства и времени - основа однородности пространства и времени и изотропности пространства. Следовательно, законы сохранения вызваны симметрией пространства и времени.

Механическая энергия и ее сохранение

Допустим, что в некоторой системе имеются только консервативные силы.

Рассматриваемую консервативную систему будем считать замкнутой.

Изменение кинетической энергии равно работе внутренних сил ($A$):

$A=E_{k2}- E_{k1}(2).$

Эта же работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

$A=U_1-U_2 (3).$

Сравнивая выражения (2) и (3) сделаем вывод:

$ E_{k2}- E_{k1}= U_1-U_2 (4)$ или $ E_{k2}+ U_2 = U_1+ E_{k1} (4)$.

Формула (4) показывает, что механическая энергия системы не изменяется:

$E=\frac {m_0v^2}{2}+E_p=const (5),$

где $E_k=\frac {m_0v^2}{2}$ - кинетическая энергия.

Выражение (5) – это закон сохранения энергии в классической механике.

Закон сохранения энергии можно формулировать следующим образом:

В замкнутой консервативной системе механическая энергия не изменяется.

Выражение (5) отражает закон сохранения и превращения энергии, так как отражает взаимные переходы кинетической и потенциальной энергий.

Использование закона сохранения энергии

Закон сохранения энергии дает возможность проведения достаточно простого анализа общих закономерностей движения без досконального исследования уравнений, описывающих движение, при известной функции потенциальной энергии.

Изучим данный метод в случае одномерного перемещения тела. Учтем, что сила, которая зависит только от координат, по определению, это потенциальная сила. Поиск потенциальной энергии заключается в интегрировании известной силы. Следовательно, будем считать, что закон изменения потенциальной энергии нам известен и задан функцией на рис.1.

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Полная энергия материальной точки равна $E$. Наша точка может находиться между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ или правее координаты $x_3$ (рис.1).

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия равна:

$E_k=E-E_p (6),$

где $E_k>0.$

Из этого сделаем вывод о том, что области движения могут быть только те, в которых механическая энергия больше потенциальной. Так, перемещение в области между точками $x_2$ и $x_3$ не реализуемо, так как здесь кинетическая энергия точки была бы отрицательной.

Проведем анализ движения точки на участке между координатами $x_1$ и $x_2$. Допустим, что частица имеется в точке $x$. Кинетическая энергия равна $E-E_p$, перемещаться материальная точка могла бы и вправо, и влево. При движении влево потенциальная энергия частицы увеличивается, значит, кинетическая энергия уменьшается (мы помним, что механическая энергия не изменяется). Из сказанного сделаем вывод о том, что скорость будет уменьшаться. Значит, на материальную точку в $x$ оказывает воздействие сила, которая направлена направо. Это следует из выражения:

$F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x}(7).$

В точке $x$ потенциальная энергия уменьшается при увеличении $x$, значит $\frac{\partial E_p}{\partial x}

Материальная точка станет перемещаться до тех пор, пока ее скорость не станет равна нулю, при этом ее механическая энергия перейдет в потенциальную. На рис.1 это точка $x_1$.

При попадании в точку $x_1$ частица не попадет в состояние покоя, так как она испытает воздействие силы, направленной вправо. Данная сила заставит перемещаться вправо с увеличивающейся скоростью. Скорость станет максимальной по величине в точке $x’$, при наименьшей потенциальной энергии.

На отрезке от $x’$ до $x_2$ на частицу будет оказывать действие сила, которая направлена влево. Эта сила уменьшает скорость нашей точки до нуля в точке $x_2$. После этого частица начинает перемещаться влево и так далее. На отрезке от $x_1$ до $x_2$ имеется одна точка в которой частица может находиться в состоянии покоя, это точка $x’$. В ней потенциальная энергия наименьшая, то есть выполняется условие устойчивого равновесия.

Материальная точка, находясь левее $x_3$ способна перемещаться от $x_3$ и до бесконечности, если энергия потенциальная энергия не увеличивается больше, чем $E$.

Между точками $x_1$ и $x_2$ частица оказывается запертой (эта область потенциальной ямы). Область, которую материальная точка не может преодолеть (от $x_2$ до $x_3$) – потенциальный барьер.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае

Считаем, что частица перемещается в поле потенциальной силы и принимая во внимание релятивистское уравнение движения:

$\frac {d}{dt}(\frac {m_0 \vec v}{\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}})=\vec F (8),$

имеем закон сохранения в виде:

$\frac {m_0c^2}{\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}}+E_p=const (9).$

Выражение (9) отображает закон сохранения при движении частицы со скоростью близкой к скорости света. Потенциальная энергия обладает тем же смыслом, что и в классической теории, а величина, равная:

$E=\frac {m_0c^2}{\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}}(10)$-

это полная энергия тела.

Если тело находится в покое, то его энергия равна:

$E_0= m_0c^2$

и называется энергией покоя.

Слова «полная энергия тела» в классической механике означают сумму кинетической и потенциальной энергий. В теории относительности полная энергия – это не только величина, указанная в формуле (10), но и ее сумма с потенциальной энергией.