Механической энергией называют энергию, которая связана с движением тел, их возможностью совершать механическую работу, взаимодействовать.
Подчеркнем, что наличие энергии у тела объясняют две причины:
- Перемещение тела с некоторой скоростью.
- Пребывание тела в потенциальном поле сил.
Энергия, связанная с движением тела называется кинетической энергией.
Потенциальную энергию называют энергией положения, она связывается с нахождением тела в поле сил.
Находят механическую энергию как сумму:
- кинетической энергии тела (системы тел) (Ek) и
- потенциальной энергии тела (системы) Ep.
Кинетическая энергия
Допустим, что материальная точка, имеющая массу m, перемещается. Ее скорость равна →v. Это тело воздействует на второе тело (рис.1), которое соприкасается с первым, с силой →F.
Рисунок 1. Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
За промежуток времени dt точка, к которой приложена сила (точка A рис.1) совершит перемещение, равное:
d→s=→vdt(1).
Это означает, что сила (материальная точка 1) совершает над телом 2 работу, равную:
dA=→Fd→s=→F→vdt(2).
Материальная точка 1 выполняет работу, поскольку имеет запас энергии, мы знаем, что она перемещается, и, значит, у нее есть кинетическая энергия. При отсутствии движения мы имели бы ds=0, следовательно, была бы равна нулю работа dA=0.
На этом основании работу, которую совершает тело 1, будем считать равной уменьшению его кинетической энергии:
dA=−dEk1(3).
Учитывая формулу (2) получим:
dEk1=−→F→vdt(4).
Из третьего закона Ньютона имеем (рис.1):
→F′=−→F(5),
в результате скорость материальной точки 1 изменяется на величину d→v за отрезок времени dt:
d→v=1m→F′dt=−1m→Fdt(6).
Запишем скалярное произведение обеих частей уравнения (6) на величину m→v:
m→vd→v=−→F⋅→vdt(7).
Выполним сравнение выражений (2) и (7), имеем:
dEk=d(mv22)(8).
Формула (8) показывает, что кинетическая энергия материальной точки определяется как:
Ek=mv22=p22m(9),
где p - модуль импульса тела.
Закон изменения кинетической энергии
Работа, которую совершают над телом (A′), равна увеличению его кинетической энергии:
ΔEk=Ek2−Ek1=A′(10).
Для доказательства данного утверждения следует воспользоваться выражением для элемента работы, которое мы запишем в виде:
dA′=→F′→vdt(11),
где →F′ - сила, которая совершает работу над телом; →v - скорость тела. Используем второй закон Ньютона в виде:
d→pdt=→F′(12),
следовательно, md→v=→F′dt(13).
Учитывая полученное в (13), имеем:
dA′=m→vd→v=mvdv=d(mv22)=dEk(14).
Интегрирования выражения (14) приводит к результату:
A′=ΔEk(15).
Потенциальная энергия
Потенциальным полем называют силовое поле, которое выражается при помощи скалярной потенциальной функции (U(x,y,z,t)), зависящей от пространственных координат и времени. Данную функцию называют потенциальной. При этом сила, оказывающая воздействие на частицу, и потенциальная функция связаны соотношением:
→F(x,y,z,t)=−(∂U(x,y,z,t)∂x→i+∂U(x,y,z,t)∂y→j+∂U(x,y,z,t)∂y→k)=−gradU(16).
Градиент скалярной функции – это вектор, который направлен в сторону наиболее быстрого увеличения данной функции, равный по величине скорости ее увеличения в этом направлении. Знак минус в формуле (16) показывает то, что сила имеет направление в сторону наиболее быстрого уменьшения функции U.
Частным случаем потенциальных полей являются поля, которые не зависят в явном виде от времени. Такие поля именуют консервативными. Для консервативных полей U=U(x,y,z).
Иначе говорят, что тело (частица) находится состоянии стационарных внешних условий, например, в постоянном поле гравитации. В этом случае потенциальную функцию U называют потенциальной энергией частицы во внешнем консервативном поле.
Обозначим потенциальную энергию как Ep, в таком случае выполняется равенство:
→F=−gradEp(x,y,z)(17).
Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля, в котором находится тело.
Потенциальную энергию имеют:
- система тел, находящихся во взаимодействии;
- тело в состоянии упругой деформации.
Закон изменения потенциальной энергии
Работа в потенциальном поле сил не зависит от пути.
Рассмотрим материальную точку, находящуюся в потенциальном поле сил. Каждую точку поля будем характеризовать значением Ep(→r), где →r - радиус – вектор точки поля.
Допустим, что величина функции Ep(→r) в начальной точке равна:
Ep(0)=Ep0.
Для получения величины Ep1(→r1) в некоторой точке 1 выполним следующее действие:
Ep1(→r1)=Ep0+A10(18),
где A10 - работа, которую совершают над материальной точкой силы поля, когда перемещают ее из начальной точки в точку 1.
Так как работа в поле потенциальных сил не зависима от пути, то величина E_{p1} является однозначной. Для второй точки по аналогии запишем:
Ep2(→r2)=Ep0+A20(19).
Найдем разность Ep1−Ep2, используя формулы (18) и (19), принимая во внимание, что A20=−A02
Ep1−Ep2=A10−A20=A10+A02(20),
где A10+A02 - работа, которую выполняют силы поля, если совершают перемещения тела из точки 1 в точку 2 через начальную точку. Но мы помним, что работа консервативных сил не будет зависеть от траектории движения тела, то есть работа при непосредственном перемещении из 1 в 2 будет такой же как из1 в 0, а потом в 2. Поэтому:
A10+A02=A21(21).
В результате мы имеем:
Ep1−Ep2=A12(22).
Выражение (22) показывает нам, что при помощи потенциальной энергии имеется возможность найти работу, которую силы потенциального поля совершают над телом при любом пути из точки 1 в точку 2. Данная работа будет равна уменьшению потенциальной энергии.