Механической энергией называют энергию, которая связана с движением тел, их возможностью совершать механическую работу, взаимодействовать.
Подчеркнем, что наличие энергии у тела объясняют две причины:
- Перемещение тела с некоторой скоростью.
- Пребывание тела в потенциальном поле сил.
Энергия, связанная с движением тела называется кинетической энергией.
Потенциальную энергию называют энергией положения, она связывается с нахождением тела в поле сил.
Находят механическую энергию как сумму:
- кинетической энергии тела (системы тел) ($E_k$) и
- потенциальной энергии тела (системы) $E_p$.
Кинетическая энергия
Допустим, что материальная точка, имеющая массу $m$, перемещается. Ее скорость равна $\vec v$. Это тело воздействует на второе тело (рис.1), которое соприкасается с первым, с силой $\vec F$.
Рисунок 1. Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
За промежуток времени $dt$ точка, к которой приложена сила (точка $A$ рис.1) совершит перемещение, равное:
$d\vec s=\vec v dt (1)$.
Это означает, что сила (материальная точка 1) совершает над телом 2 работу, равную:
$dA=\vec F d\vec s =\vec F \vec v dt(2).$
Материальная точка 1 выполняет работу, поскольку имеет запас энергии, мы знаем, что она перемещается, и, значит, у нее есть кинетическая энергия. При отсутствии движения мы имели бы $ds=0$, следовательно, была бы равна нулю работа $dA=0$.
На этом основании работу, которую совершает тело 1, будем считать равной уменьшению его кинетической энергии:
$dA=-dE_{k1}(3).$
Учитывая формулу (2) получим:
$ dE_{k1}=-\vec F \vec v dt (4)$.
Из третьего закона Ньютона имеем (рис.1):
$\vec F’ =- \vec F (5),$
в результате скорость материальной точки 1 изменяется на величину $d\vec v$ за отрезок времени $dt$:
$ d\vec v = \frac {1}{m}\vec F’ dt=-\frac {1}{m}\vec F dt (6).$
Запишем скалярное произведение обеих частей уравнения (6) на величину $m\vec v$:
$m\vec v d\vec v=-\vec F \cdot \vec v dt (7).$
Выполним сравнение выражений (2) и (7), имеем:
$d E_k=d(\frac{m v^2}{2}) (8).$
Формула (8) показывает, что кинетическая энергия материальной точки определяется как:
$E_k=\frac{m v^2}{2} = \frac {p^2}{2m}(9),$
где $p$ - модуль импульса тела.
Закон изменения кинетической энергии
Работа, которую совершают над телом ($A’$), равна увеличению его кинетической энергии:
$\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1}=A’(10).$
Для доказательства данного утверждения следует воспользоваться выражением для элемента работы, которое мы запишем в виде:
$dA’=\vec F’\vec v dt (11),$
где $\vec F’$ - сила, которая совершает работу над телом; $\vec v$ - скорость тела. Используем второй закон Ньютона в виде:
$\frac {d\vec p}{dt}=\vec F’ (12),$
следовательно, $m d\vec v=\vec F’ dt (13).$
Учитывая полученное в (13), имеем:
$dA’=m\vec v d\vec v=mvdv=d(\frac {mv^2}{2})=d E_k (14)$.
Интегрирования выражения (14) приводит к результату:
$A’=\Delta E_k (15).$
Потенциальная энергия
Потенциальным полем называют силовое поле, которое выражается при помощи скалярной потенциальной функции ($U(x,y,z,t)$), зависящей от пространственных координат и времени. Данную функцию называют потенциальной. При этом сила, оказывающая воздействие на частицу, и потенциальная функция связаны соотношением:
$\vec F(x,y,z,t)=-(\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial x}\vec i+\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial y}\vec j+\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial y}\vec k)=-grad U (16)$.
Градиент скалярной функции – это вектор, который направлен в сторону наиболее быстрого увеличения данной функции, равный по величине скорости ее увеличения в этом направлении. Знак минус в формуле (16) показывает то, что сила имеет направление в сторону наиболее быстрого уменьшения функции $U$.
Частным случаем потенциальных полей являются поля, которые не зависят в явном виде от времени. Такие поля именуют консервативными. Для консервативных полей $U=U(x,y,z)$.
Иначе говорят, что тело (частица) находится состоянии стационарных внешних условий, например, в постоянном поле гравитации. В этом случае потенциальную функцию $U$ называют потенциальной энергией частицы во внешнем консервативном поле.
Обозначим потенциальную энергию как $E_p$, в таком случае выполняется равенство:
$\vec F=- grad E_p (x,y,z)(17).$
Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля, в котором находится тело.
Потенциальную энергию имеют:
- система тел, находящихся во взаимодействии;
- тело в состоянии упругой деформации.
Закон изменения потенциальной энергии
Работа в потенциальном поле сил не зависит от пути.
Рассмотрим материальную точку, находящуюся в потенциальном поле сил. Каждую точку поля будем характеризовать значением $E_p(\vec r)$, где $\vec r$ - радиус – вектор точки поля.
Допустим, что величина функции $E_p(\vec r)$ в начальной точке равна:
$E_p(0)=E_{p0}.$
Для получения величины $ E_{p1} (\vec r_1)$ в некоторой точке 1 выполним следующее действие:
$E_{p1}(\vec r_1)= E_{p0}+A_{10}(18),$
где $ A_{10}$ - работа, которую совершают над материальной точкой силы поля, когда перемещают ее из начальной точки в точку 1.
Так как работа в поле потенциальных сил не зависима от пути, то величина E_{p1} является однозначной. Для второй точки по аналогии запишем:
$E_{p2}(\vec r_2)= E_{p0}+A_{20}(19).$
Найдем разность $ E_{p1}- E_{p2}$, используя формулы (18) и (19), принимая во внимание, что $A_{20}=-A_{02}$
$ E_{p1}- E_{p2}= A_{10}- A_{20}= A_{10}+A_{02}(20), $
где $ A_{10}+A_{02}$ - работа, которую выполняют силы поля, если совершают перемещения тела из точки 1 в точку 2 через начальную точку. Но мы помним, что работа консервативных сил не будет зависеть от траектории движения тела, то есть работа при непосредственном перемещении из 1 в 2 будет такой же как из1 в 0, а потом в 2. Поэтому:
$ A_{10}+A_{02}=A_{21} (21)$.
В результате мы имеем:
$ E_{p1}- E_{p2}=A_{12} (22)$.
Выражение (22) показывает нам, что при помощи потенциальной энергии имеется возможность найти работу, которую силы потенциального поля совершают над телом при любом пути из точки 1 в точку 2. Данная работа будет равна уменьшению потенциальной энергии.
