Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Закон изменения механической энергии с формулами

Механической энергией называют энергию, которая связана с движением тел, их возможностью совершать механическую работу, взаимодействовать.

Подчеркнем, что наличие энергии у тела объясняют две причины:

  1. Перемещение тела с некоторой скоростью.
  2. Пребывание тела в потенциальном поле сил.

Энергия, связанная с движением тела называется кинетической энергией.

Потенциальную энергию называют энергией положения, она связывается с нахождением тела в поле сил.

Находят механическую энергию как сумму:

  • кинетической энергии тела (системы тел) (Ek) и
  • потенциальной энергии тела (системы) Ep.

Кинетическая энергия

Допустим, что материальная точка, имеющая массу m, перемещается. Ее скорость равна v. Это тело воздействует на второе тело (рис.1), которое соприкасается с первым, с силой F.

Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

За промежуток времени dt точка, к которой приложена сила (точка A рис.1) совершит перемещение, равное:

ds=vdt(1).

Это означает, что сила (материальная точка 1) совершает над телом 2 работу, равную:

dA=Fds=Fvdt(2).

Материальная точка 1 выполняет работу, поскольку имеет запас энергии, мы знаем, что она перемещается, и, значит, у нее есть кинетическая энергия. При отсутствии движения мы имели бы ds=0, следовательно, была бы равна нулю работа dA=0.

На этом основании работу, которую совершает тело 1, будем считать равной уменьшению его кинетической энергии:

dA=dEk1(3).

Учитывая формулу (2) получим:

dEk1=Fvdt(4).

Из третьего закона Ньютона имеем (рис.1):

F=F(5),

в результате скорость материальной точки 1 изменяется на величину dv за отрезок времени dt:

dv=1mFdt=1mFdt(6).

Запишем скалярное произведение обеих частей уравнения (6) на величину mv:

mvdv=Fvdt(7).

«Закон изменения механической энергии с формулами» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Выполним сравнение выражений (2) и (7), имеем:

dEk=d(mv22)(8).

Формула (8) показывает, что кинетическая энергия материальной точки определяется как:

Ek=mv22=p22m(9),

где p - модуль импульса тела.

Закон изменения кинетической энергии

Работа, которую совершают над телом (A), равна увеличению его кинетической энергии:

ΔEk=Ek2Ek1=A(10).

Для доказательства данного утверждения следует воспользоваться выражением для элемента работы, которое мы запишем в виде:

dA=Fvdt(11),

где F - сила, которая совершает работу над телом; v - скорость тела. Используем второй закон Ньютона в виде:

dpdt=F(12),

следовательно, mdv=Fdt(13).

Учитывая полученное в (13), имеем:

dA=mvdv=mvdv=d(mv22)=dEk(14).

Интегрирования выражения (14) приводит к результату:

A=ΔEk(15).

Потенциальная энергия

Определение 1

Потенциальным полем называют силовое поле, которое выражается при помощи скалярной потенциальной функции (U(x,y,z,t)), зависящей от пространственных координат и времени. Данную функцию называют потенциальной. При этом сила, оказывающая воздействие на частицу, и потенциальная функция связаны соотношением:

F(x,y,z,t)=(U(x,y,z,t)xi+U(x,y,z,t)yj+U(x,y,z,t)yk)=gradU(16).

Градиент скалярной функции – это вектор, который направлен в сторону наиболее быстрого увеличения данной функции, равный по величине скорости ее увеличения в этом направлении. Знак минус в формуле (16) показывает то, что сила имеет направление в сторону наиболее быстрого уменьшения функции U.

Частным случаем потенциальных полей являются поля, которые не зависят в явном виде от времени. Такие поля именуют консервативными. Для консервативных полей U=U(x,y,z).

Иначе говорят, что тело (частица) находится состоянии стационарных внешних условий, например, в постоянном поле гравитации. В этом случае потенциальную функцию U называют потенциальной энергией частицы во внешнем консервативном поле.

Обозначим потенциальную энергию как Ep, в таком случае выполняется равенство:

F=gradEp(x,y,z)(17).

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля, в котором находится тело.

Потенциальную энергию имеют:

  • система тел, находящихся во взаимодействии;
  • тело в состоянии упругой деформации.

Закон изменения потенциальной энергии

Работа в потенциальном поле сил не зависит от пути.

Рассмотрим материальную точку, находящуюся в потенциальном поле сил. Каждую точку поля будем характеризовать значением Ep(r), где r - радиус – вектор точки поля.

Допустим, что величина функции Ep(r) в начальной точке равна:

Ep(0)=Ep0.

Для получения величины Ep1(r1) в некоторой точке 1 выполним следующее действие:

Ep1(r1)=Ep0+A10(18),

где A10 - работа, которую совершают над материальной точкой силы поля, когда перемещают ее из начальной точки в точку 1.

Так как работа в поле потенциальных сил не зависима от пути, то величина E_{p1} является однозначной. Для второй точки по аналогии запишем:

Ep2(r2)=Ep0+A20(19).

Найдем разность Ep1Ep2, используя формулы (18) и (19), принимая во внимание, что A20=A02

Ep1Ep2=A10A20=A10+A02(20),

где A10+A02 - работа, которую выполняют силы поля, если совершают перемещения тела из точки 1 в точку 2 через начальную точку. Но мы помним, что работа консервативных сил не будет зависеть от траектории движения тела, то есть работа при непосредственном перемещении из 1 в 2 будет такой же как из1 в 0, а потом в 2. Поэтому:

A10+A02=A21(21).

В результате мы имеем:

Ep1Ep2=A12(22).

Выражение (22) показывает нам, что при помощи потенциальной энергии имеется возможность найти работу, которую силы потенциального поля совершают над телом при любом пути из точки 1 в точку 2. Данная работа будет равна уменьшению потенциальной энергии.

Дата последнего обновления статьи: 08.05.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Закон изменения механической энергии с формулами"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant