Плотность энергии магнитного поля и напряженность магнитного поля, формулы расчета

Любой электрический ток окружает магнитное поле. Нетривиальным является вопрос о локализации собственной энергии тока, – находится она в проводнике, где перемещаются заряды, или в магнитом поле (веществе, которое окружает ток)?

Ответ на заданный вопрос получают при исследовании переменных магнитных полей или электромагнитных волн. В электромагнитной волне магнитные поля, переменные в пространстве и времени, могут существовать при отсутствии токов. Мы знаем, что электромагнитные волны переносят энергию, следовательно, можно сделать вывод о том, что энергия локализуется в магнитном поле.

Объемная плотность энергии магнитного поля

Допустим, что у нас имеется замкнутая тороидальная катушка. Индуктивность этой катушки:

$L=\mu \mu_{0}\frac{N^{2}S}{l}\left( 1 \right)$, где:

• $\mu $ – магнитная проницаемость вещества;
• $\mu_{0}$ – магнитная постоянная;
• $N$ -количество витков;
• $l$ – длина катушки;
• $S$ – площадь поперечного сечения.

Собственную энергию тока, текущего в катушке найдем как:

$W=\frac{LI^{2}}{2}=\mu \mu_{0}\frac{N^{2}S}{l}\frac{I^{2}}{2}\left( 2 \right)$

где величина $\frac{NI}{l}=H$ – напряженность магнитного поля внутри тороида, значит формулу (2) представим в виде:

$W=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}V}{2}\left( 3 \right)$.

где $V=Sl$ - объем катушки.

Выражение (3) говорит нам о том, что если магнитное поле можно считать однородным, то его энергия прямо пропорциональна объему, который это поле занимает.

Следовательно, объемную плотность энергии магнитного поля определим как:

$w=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}\left( 4 \right)$

В случае неоднородности магнитного поля для вычисления его энергии, проводят его разбиение на малые элементы с объемом $dV$ (элементы такого размера, что в нем поле можно считать однородным). Энергия, которую несет каждый элемент поля, будет равна: $wdV$. Полную энергию произвольного магнитного поля можно найти как:

$W=\int\limits_V {wdV\left( 5 \right),} $

где интегрирование проводят по всему объему, который занимает поле.

Ограничения применения формулы для вычисления плотности энергии магнитного поля

Все сказанное выше предполагало, что магнитная проницаемость вещества, в котором находится поле, остается неизменной. Вся работа источника тока переходит в энергию магнитного поля. Это абсолютно точно только для вакуума. Формула для объемной плотности энергии магнитного поля в виде (4) является приближенной, так как она не учитывает точно, что поле выполняет работу при намагничивании.

Предположение о неизменности магнитной проницаемости означает, что:

$\vec{B}=\mu \mu_{0}\vec{H}\left( 6 \right)$.

Применяя формулу (6) плотность энергии магнитного поля представим как:

$w=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}=\frac{BH}{2}\left( 7 \right)$.

Единицей измерения плотности энергии магнитного поля служит джоуль, деленный на кубический метр ( $\frac{Дж}{м^{3}}$).

Напряженность магнитного поля

Напряженность магнитного поля является вспомогательной величиной, помогающей в математическом описании магнитного поля.

Вектор напряженности магнитного поля (H ⃗) можно рассматривать как комбинацию принципиально разных физических величин, часть из них относится к полю (слагаемое, содержащее вектор магнитной индукции), часть к веществу, и, следовательно, напряженность магнитного поля физическим смыслом не обладает:

$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_{0}}-\vec{P}_{m}\left( 8 \right)$,

где $\vec{P}_{m}$ – вектор намагниченности (вектор интенсивности намагничения вещества). Однако вектор напряженности является количественной характеристикой магнитного поля, которая не зависит от магнитных свойств вещества, в котором его рассматривают. Применение $\vec{H}$ упрощает количественные описания магнитного поля в веществе.

В однородном магнитном веществе напряженность магнитного поля определим как:

$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu \mu_{0}}\left( 9 \right)$.

Важность данной физической величины заключается в том, что она не зависит от магнитных свойств вещества, в котором локализовано магнитное поле (в отличии от $\vec{B}$).

Напряженность магнитного поля определяют:

• сила тока, создающая магнитное поле;
• геометрия объекта, по которому следует электрический ток (форма тела);
• расположение точки, в которой рассматривается поле относительно источник поля.

Для однородной магнитной среды направления векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля совпадают.

Напряжённость магнитного поля для постоянных токов разной конфигурации можно рассчитать, применяя закон Био-Савара-Лапласа:

$dH=\frac{Idl\sin \propto }{4\pi r^{2}}\left( 10 \right)$, где:

• $Idl$ – элемент тока на проводнике, который создает магнитное поле;
• $\vec{r}$ – радиус – вектор, который провели от элемента тока в точку, в которой исследуем поле;
• $\propto =\hat{d\vec{l}\vec{r}}$ - угол между соответсвующим вектором и направлением течения тока;
• $dH$ – величина элементарного магнитного поля, которое в рассматриваемой точке создает элемент тока.

Уравнение (10) можно записать в векторной форме:

$d\vec{H}=\frac{I}{4\pi r^{3}}\left[ d\vec{l}\vec{r} \right]\left(11\right)$.

В соответствии с правилами векторных произведений мы получаем, что $d\vec{H}$ нормален плоскости, в которой находятся векторы $d\vec{l}$ и $\vec{r}$.

Вектор напряженности магнитного поля подчиняется принципу суперпозиции, поэтому напряженность магнитного поля, которое создает весь проводник с постоянным током, в рассматриваемой точке равна:

$\vec{H}=\frac{I}{4\pi }\int \frac{\left[ d\vec{l}\vec{r} \right]}{r^{3}}\left( 12 \right)$.

Закон (11) бы эмпирически получен учеными Ж.Б. Био и Ф. Саваром при исследованиях действия электрических токов на магнитную стрелку. П.С. Лаплас провел анализ результатов экспериментов Био и Савара понял, что напряженность магнитного поля тока является суммой напряженностей полей, которые создают отдельные токи.

Закон полного тока

В некоторых случаях для нахождения напряженности магнитного поля вместо закона Био-Савара-Лапласа применяют закон полного тока, который формулируется в следующем виде:

$\oint {H_{l}dl=\sum {I_{m}\left( 13 \right),} }$

где $\oint {H_{l}dl} $ - циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру $l$, $\sum I_{m}$ - сумма токов (с учетом знака), которые охватывает контур $l$.

Рисунок 1. Контур. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Так, если контур $l$ на рис.1 охватывает четыре тока, при этом токи $I_1$, $I_2,$ $I_3$ , больше нуля, $I_4$

$\oint {H_{l}dl} =I_{1}+I_{2}+I_{3}-I_{4}(14).$