Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля и плотность энергии

Магнитное поле, создаваемое токами, распределено в пространстве. Рассмотрим, какова плотность энергии поля изолированного контура с током. Используем выражение для энергии магнитного поля, которое создано контуром с током:

Em=LI22(1).

где I - сила тока в контуре; L – индуктивность контура.

Примем во внимание, что магнитный поток индукции через фиксированную неподвижную площадку пропорционален силе тока, а именно:

Ф=LI(2).

Из формулы (2) получим, что индуктивность контура равна:

L=ФI(3).

тогда энергия магнитного поля может быть представлена как:

Em=ФI22I=ФI2(4).

Магнитный поток из своего определения равен:

Ф=SBdS(5),

где S – площадь поверхности контура с током. Вектор индукции магнитного поля запишем через векторный потенциал магнитного поля (A), который создается током I:

B=rotA(6)

Тогда выражение (5) приведем к виду:

Ф=SrotAdS=LAdl(7).

где L - контур тока.

В выражении (7) векторный потенциал поля A создан током, который течет в этом контуре, получается, что замкнутый ток взаимодействует с собственным магнитным полем.

Физическая сущность данного взаимодействия заключается в том, что всякий элемент тока Idl порождает в пространстве магнитное поле. С этим полем входят во взаимодействие все остальные элементы контура.

Подставим выражение для магнитного потока (7) в формулу для энергии (2), найдем:

Em=I2LAdl=12VAjdV(8),

где сделан переход к объемным токам при помощи соотношения:

«Плотность энергии магнитного поля» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

jdVIdl(9),

j – вектор плотности тока.

Замечание 1

Стрелка в выражении (9) показывает, что данная замена дает возможность перейти от формул для объемных токов к формулам линейных токов и в обратную сторону.

Преобразуем выражение под интегралом так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенциал. Используем формулы (6) и

j=rotH(10).

Вспомним известное соотношение для дивергенции векторного произведения:

div(A×H)=HrotAArotH(11).

Получим в результате:

Aj=HBdiv(A×H)(12).

тогда выражение для энергии примет вид:

Em=12HBdVdiv(A×H)dV(13)

Интеграл div(A×H)dV в соответствии с теоремой Гаусса – Остроградского преобразуем в интеграл по поверхности, которая ограничивает объем интегрирования:

Vdiv(A×H)dV=S(A×H)dS(14).

Будем считать, что все токи находятся в конечной области пространства. Тогда на больших расстояниях (r) от области локализации токов мы будем иметь:

  1. A1r;
  2. H1r2.

В результате мы получаем, что подынтегральное выражение убывает пропорционально 1r3 . При этом поверхность интегрирования увеличивается пропорционально квадрату расстояния (1r2). Вывод: с ростом расстояния от места расположения токов интеграл (14) убывает пропорционально расстоянию (1r). Следовательно, для всего пространства, когда r интеграл (4) стремится к нулю. Полную энергию магнитного поля представим в виде:

Em=12HBdV(15).

Из выражения (15) следует, что объемная плотность распределения энергии магнитного поля равна:

w=12HB(16).

Определение 1

Плотностью энергии магнитного поля называют его энергию, сосредоточенную в единице объема этого поля.

w=EmV

Представленное выражение справедливо для равномерного распределения энергии поля по объему.

Формула (16) говорит нам о том, что объемная плотность энергии магнитного поля в каждой его точке определяют значения векторов поля в этой точке, и не имеет значение каковы источники поля.

Для однородного изотропного магнетика мы имеем следующую связь между векторами поля:

B=μμ0H(17).

Используя формулу (17) выражения для нахождения плотности магнитного поля представим как:

w=μμ0H22(18).

Или

w=B22μ0(19)..

В Международной системе единиц (СИ) плотность энергии магнитного поля измеряется в джоулях, деленных на кубометр (Дж/м3 ).

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Допустим, что все пространство заполняет однородный магнетик. В этом случае создаваемая токами индукция будет изменяться в μμ0 раз в сравнении с индукцией в вакууме. (μ – магнитная проницаемость вещества; μ0 – магнитная постоянная). Это означает, что во столько же раз изменятся потоки Ф и dФ. Из формулы (2) заключим, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличатся в μμ0 раз. Формула (1) для энергии магнитного поля не изменится, но в ней индуктивность изменится в μμ0 раз.

Можно сделать вывод о том, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменится в μμ0 раз в сравнении с энергией поля этих же самых токов в вакууме. Аналогичный вывод можно сделать относительно плотности энергии.

Ограниченность формул для вычисления плотности энергии

Допущения, сделанные нами, которые заставляют говорить об ограничениях применения формул, полученных нами для плотности энергии магнитного поля:

  • Мы предполагали, что вещество, в котором токи создают магнитные поля, является магнитоизотропным. Магнитная проницаемость среды постоянная величина.
  • Мы не учитывали, что поле осуществляет намагничивание вещества.

Вопрос о локализации энергии магнитного поля

Для постоянных магнитных полей, которые создаются неподвижными постоянными токами, непонятно, где локализуется энергия. Возьмем выражение для магнитной энергии соленоида:

Em=IѰ2(20)),

где Ѱ=BSN – потокосцепление, то есть магнитный поток через витки соленоида. В этом энергия поля кажется энергией тока, так как он является носителем.

Однако энергию соленоида можно представить и так:

Em=B22μμ0lS(21).

где присутствуют параметры самого соленоида и характеристика магнитного поля (B), что говорит о том, что энергия поля распределена по объему поля.

Для постоянных магнитных полей эта непонятность вызвана тем, что токи и поля существуют неразрывно, образуя систему.

При переходе к переменным магнитным полям приемлемой становится только полевая концепция магнитной энергии, так как переменные магнитные поля входят как компоненты электромагнитных полей и могут существовать самостоятельно от токов. Электромагнитные волны переносят энергию, значит, сделаем вывод о том, что энергия магнитного поля распределена в объеме поля.

Дата последнего обновления статьи: 29.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Плотность энергии магнитного поля"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant