Плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля и плотность энергии

Магнитное поле, создаваемое токами, распределено в пространстве. Рассмотрим, какова плотность энергии поля изолированного контура с током. Используем выражение для энергии магнитного поля, которое создано контуром с током:

$E_{m}=\frac{LI^{2}}{2}\left( 1 \right)$.

где $I$ - сила тока в контуре; L – индуктивность контура.

Примем во внимание, что магнитный поток индукции через фиксированную неподвижную площадку пропорционален силе тока, а именно:

$Ф=LI\left( 2 \right)$.

Из формулы (2) получим, что индуктивность контура равна:

$L=\frac{Ф}{I}\left( 3 \right)$.

тогда энергия магнитного поля может быть представлена как:

$E_{m}=\frac{ФI^{2}}{2I}=\frac{ФI}{2}\left( 4 \right)$.

Магнитный поток из своего определения равен:

$Ф=\int\limits_S {\vec{B}\bullet d\vec{S}\left( 5 \right),}$

где $S$ – площадь поверхности контура с током. Вектор индукции магнитного поля запишем через векторный потенциал магнитного поля ($\vec A$), который создается током $I$:

$\vec{B}=rot\, \vec{A}\left( 6 \right)$

Тогда выражение (5) приведем к виду:

$Ф=\int\limits_S {rot\, \vec{A}} d\vec{S}=\int\limits_L \vec{A} \bullet d\vec{l}\left( 7 \right)$.

где $L$ - контур тока.

В выражении (7) векторный потенциал поля $\vec{A}$ создан током, который течет в этом контуре, получается, что замкнутый ток взаимодействует с собственным магнитным полем.

Физическая сущность данного взаимодействия заключается в том, что всякий элемент тока $I\vec dl$ порождает в пространстве магнитное поле. С этим полем входят во взаимодействие все остальные элементы контура.

Подставим выражение для магнитного потока (7) в формулу для энергии (2), найдем:

$E_{m}=\frac{I}{2}\int\limits_L \vec{A} \bullet d\vec{l}=\frac{1}{2}\int\limits_V \vec{A} \vec{j}dV\left( 8 \right)$,

где сделан переход к объемным токам при помощи соотношения:

$\vec{j}dV\leftrightarrow Id\vec{l}\left( 9 \right)$,

$\vec j$ – вектор плотности тока.

Преобразуем выражение под интегралом так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенциал. Используем формулы (6) и

$\vec{j}=rot\, \vec{H\, }\left( 10 \right).$

Вспомним известное соотношение для дивергенции векторного произведения:

$div(\vec{A}\times \, \vec{H})=\vec{H}rot\, \vec{A}-\vec{A}rot\vec{H\,}\left( 11 \right)$.

Получим в результате:

$\vec{A}\vec{j}=\vec{H}\vec{B}-div(\vec{A}\times \vec{H})\left( 12 \right)$.

тогда выражение для энергии примет вид:

$E_{m}=\frac{1}{2}\int {\vec{H}\vec{B}dV} -\int {div(\vec{A}\times \vec{H})}dV\left( 13 \right)$

Интеграл $\int {div(\vec{A}\times \vec{H})} dV$ в соответствии с теоремой Гаусса – Остроградского преобразуем в интеграл по поверхности, которая ограничивает объем интегрирования:

$\int\limits_V {div(\vec{A}\times \vec{H})dV} =\int\limits_S {(\vec{A}\times\vec{H})dS\, \left( 14 \right).} $

Будем считать, что все токи находятся в конечной области пространства. Тогда на больших расстояниях ($r$) от области локализации токов мы будем иметь:

1. $A\sim \frac{1}{r};$
2. $H\sim \frac{1}{r^{2}}$.

В результате мы получаем, что подынтегральное выражение убывает пропорционально $\sim \frac{1}{r^{3}}$ . При этом поверхность интегрирования увеличивается пропорционально квадрату расстояния ($\sim \frac{1}{r^{2}}$). Вывод: с ростом расстояния от места расположения токов интеграл (14) убывает пропорционально расстоянию ($\sim \frac{1}{r}$). Следовательно, для всего пространства, когда $r\to \infty$ интеграл (4) стремится к нулю. Полную энергию магнитного поля представим в виде:

$E_{m}=\frac{1}{2}\int {\vec{H}\vec{B}dV} \left( 15 \right)$.

Из выражения (15) следует, что объемная плотность распределения энергии магнитного поля равна:

$w=\frac{1}{2}\vec{H}\vec{B}\left( 16 \right)$.

Представленное выражение справедливо для равномерного распределения энергии поля по объему.

Формула (16) говорит нам о том, что объемная плотность энергии магнитного поля в каждой его точке определяют значения векторов поля в этой точке, и не имеет значение каковы источники поля.

Для однородного изотропного магнетика мы имеем следующую связь между векторами поля:

$\vec{B}=\mu \mu_{0}\vec{H}\left( 17 \right)$.

Используя формулу (17) выражения для нахождения плотности магнитного поля представим как:

$w=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}\left( 18 \right)$.

Или

$w=\frac{B^{2}}{2\mu_{0}}\left( 19 \right)$..

В Международной системе единиц (СИ) плотность энергии магнитного поля измеряется в джоулях, деленных на кубометр ($Дж/м^3$ ).

Энергия магнитного поля при наличии магнетиков

Допустим, что все пространство заполняет однородный магнетик. В этом случае создаваемая токами индукция будет изменяться в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз в сравнении с индукцией в вакууме. ($\mu$ – магнитная проницаемость вещества; $\mu_{0}$ – магнитная постоянная). Это означает, что во столько же раз изменятся потоки $Ф$ и $dФ$. Из формулы (2) заключим, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличатся в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз. Формула (1) для энергии магнитного поля не изменится, но в ней индуктивность изменится в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз.

Можно сделать вывод о том, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменится в $\frac{\mu }{\mu_{0}}$ раз в сравнении с энергией поля этих же самых токов в вакууме. Аналогичный вывод можно сделать относительно плотности энергии.

Ограниченность формул для вычисления плотности энергии

Допущения, сделанные нами, которые заставляют говорить об ограничениях применения формул, полученных нами для плотности энергии магнитного поля:

• Мы предполагали, что вещество, в котором токи создают магнитные поля, является магнитоизотропным. Магнитная проницаемость среды постоянная величина.
• Мы не учитывали, что поле осуществляет намагничивание вещества.

Вопрос о локализации энергии магнитного поля

Для постоянных магнитных полей, которые создаются неподвижными постоянными токами, непонятно, где локализуется энергия. Возьмем выражение для магнитной энергии соленоида:

$E_{m}=\frac{IѰ}{2}\left( 20 \right)$),

где $Ѱ=BSN$ – потокосцепление, то есть магнитный поток через витки соленоида. В этом энергия поля кажется энергией тока, так как он является носителем.

Однако энергию соленоида можно представить и так:

$E_{m}=\frac{B^{2}}{2\mu \mu_{0}}lS\, \left( 21 \right)$.

где присутствуют параметры самого соленоида и характеристика магнитного поля ($B$), что говорит о том, что энергия поля распределена по объему поля.

Для постоянных магнитных полей эта непонятность вызвана тем, что токи и поля существуют неразрывно, образуя систему.

При переходе к переменным магнитным полям приемлемой становится только полевая концепция магнитной энергии, так как переменные магнитные поля входят как компоненты электромагнитных полей и могут существовать самостоятельно от токов. Электромагнитные волны переносят энергию, значит, сделаем вывод о том, что энергия магнитного поля распределена в объеме поля.