Энергия магнитного поля и плотность энергии
Магнитное поле, создаваемое токами, распределено в пространстве. Рассмотрим, какова плотность энергии поля изолированного контура с током. Используем выражение для энергии магнитного поля, которое создано контуром с током:
Em=LI22(1).
где I - сила тока в контуре; L – индуктивность контура.
Примем во внимание, что магнитный поток индукции через фиксированную неподвижную площадку пропорционален силе тока, а именно:
Ф=LI(2).
Из формулы (2) получим, что индуктивность контура равна:
L=ФI(3).
тогда энергия магнитного поля может быть представлена как:
Em=ФI22I=ФI2(4).
Магнитный поток из своего определения равен:
Ф=∫S→B∙d→S(5),
где S – площадь поверхности контура с током. Вектор индукции магнитного поля запишем через векторный потенциал магнитного поля (→A), который создается током I:
→B=rot→A(6)
Тогда выражение (5) приведем к виду:
Ф=∫Srot→Ad→S=∫L→A∙d→l(7).
где L - контур тока.
В выражении (7) векторный потенциал поля →A создан током, который течет в этом контуре, получается, что замкнутый ток взаимодействует с собственным магнитным полем.
Физическая сущность данного взаимодействия заключается в том, что всякий элемент тока I→dl порождает в пространстве магнитное поле. С этим полем входят во взаимодействие все остальные элементы контура.
Подставим выражение для магнитного потока (7) в формулу для энергии (2), найдем:
Em=I2∫L→A∙d→l=12∫V→A→jdV(8),
где сделан переход к объемным токам при помощи соотношения:
→jdV↔Id→l(9),
→j – вектор плотности тока.
Стрелка в выражении (9) показывает, что данная замена дает возможность перейти от формул для объемных токов к формулам линейных токов и в обратную сторону.
Преобразуем выражение под интегралом так, чтобы в него входили только векторы поля и векторный потенциал. Используем формулы (6) и
→j=rot→H(10).
Вспомним известное соотношение для дивергенции векторного произведения:
div(→A×→H)=→Hrot→A−→Arot→H(11).
Получим в результате:
→A→j=→H→B−div(→A×→H)(12).
тогда выражение для энергии примет вид:
Em=12∫→H→BdV−∫div(→A×→H)dV(13)
Интеграл ∫div(→A×→H)dV в соответствии с теоремой Гаусса – Остроградского преобразуем в интеграл по поверхности, которая ограничивает объем интегрирования:
∫Vdiv(→A×→H)dV=∫S(→A×→H)dS(14).
Будем считать, что все токи находятся в конечной области пространства. Тогда на больших расстояниях (r) от области локализации токов мы будем иметь:
- A∼1r;
- H∼1r2.
В результате мы получаем, что подынтегральное выражение убывает пропорционально ∼1r3 . При этом поверхность интегрирования увеличивается пропорционально квадрату расстояния (∼1r2). Вывод: с ростом расстояния от места расположения токов интеграл (14) убывает пропорционально расстоянию (∼1r). Следовательно, для всего пространства, когда r→∞ интеграл (4) стремится к нулю. Полную энергию магнитного поля представим в виде:
Em=12∫→H→BdV(15).
Из выражения (15) следует, что объемная плотность распределения энергии магнитного поля равна:
w=12→H→B(16).
Плотностью энергии магнитного поля называют его энергию, сосредоточенную в единице объема этого поля.
w=EmV
Представленное выражение справедливо для равномерного распределения энергии поля по объему.
Формула (16) говорит нам о том, что объемная плотность энергии магнитного поля в каждой его точке определяют значения векторов поля в этой точке, и не имеет значение каковы источники поля.
Для однородного изотропного магнетика мы имеем следующую связь между векторами поля:
→B=μμ0→H(17).
Используя формулу (17) выражения для нахождения плотности магнитного поля представим как:
w=μμ0H22(18).
Или
w=B22μ0(19)..
В Международной системе единиц (СИ) плотность энергии магнитного поля измеряется в джоулях, деленных на кубометр (Дж/м3 ).
Энергия магнитного поля при наличии магнетиков
Допустим, что все пространство заполняет однородный магнетик. В этом случае создаваемая токами индукция будет изменяться в μμ0 раз в сравнении с индукцией в вакууме. (μ – магнитная проницаемость вещества; μ0 – магнитная постоянная). Это означает, что во столько же раз изменятся потоки Ф и dФ. Из формулы (2) заключим, что индуктивность контура и взаимные индуктивности увеличатся в μμ0 раз. Формула (1) для энергии магнитного поля не изменится, но в ней индуктивность изменится в μμ0 раз.
Можно сделать вывод о том, что энергия магнитного поля токов, которые текут в неограниченном однородном магнетике, изменится в μμ0 раз в сравнении с энергией поля этих же самых токов в вакууме. Аналогичный вывод можно сделать относительно плотности энергии.
Ограниченность формул для вычисления плотности энергии
Допущения, сделанные нами, которые заставляют говорить об ограничениях применения формул, полученных нами для плотности энергии магнитного поля:
- Мы предполагали, что вещество, в котором токи создают магнитные поля, является магнитоизотропным. Магнитная проницаемость среды постоянная величина.
- Мы не учитывали, что поле осуществляет намагничивание вещества.
Вопрос о локализации энергии магнитного поля
Для постоянных магнитных полей, которые создаются неподвижными постоянными токами, непонятно, где локализуется энергия. Возьмем выражение для магнитной энергии соленоида:
Em=IѰ2(20)),
где Ѱ=BSN – потокосцепление, то есть магнитный поток через витки соленоида. В этом энергия поля кажется энергией тока, так как он является носителем.
Однако энергию соленоида можно представить и так:
Em=B22μμ0lS(21).
где присутствуют параметры самого соленоида и характеристика магнитного поля (B), что говорит о том, что энергия поля распределена по объему поля.
Для постоянных магнитных полей эта непонятность вызвана тем, что токи и поля существуют неразрывно, образуя систему.
При переходе к переменным магнитным полям приемлемой становится только полевая концепция магнитной энергии, так как переменные магнитные поля входят как компоненты электромагнитных полей и могут существовать самостоятельно от токов. Электромагнитные волны переносят энергию, значит, сделаем вывод о том, что энергия магнитного поля распределена в объеме поля.