Магнитное поле имеет энергию. Это можно показать экспериментальным путем. Например, рассмотрим процесс убывания силы тока в катушке, если от нее отключить источник тока.
Эмпирическое доказательство наличия энергии магнитного поля
Пусть до размыкания ключа (рис.1(a)) в катушке имеется ток $I$. Данный ток порождает магнитное поле. Если ключ разомкнут, то мы получаем последовательное соединение катушки и сопротивления (рис. 1(b)). Ток в катушке из-за процесса самоиндукции уменьшается постепенно. На сопротивлении при этом выделяется теплота. Но мы помним, что источник отключен, появляется вопрос об источнике энергии, которая тратится на тепло. Поскольку убывает ток и, соответственно, создаваемое им магнитное поле, то можно говорить об энергии тока или энергии магнитного поля, которое он создает.
Рисунок 1. Энергия магнитного поля тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если магнитное поле создается постоянным током, то понять, где сосредоточена энергия невозможно, поскольку ток создает магнитное поле, а магнитные поля всегда сопровождаются токами.
Рассмотрим переменное магнитное поле в электромагнитной волне. В такой волне магнитные поля могут существовать при отсутствии токов. Известно, что электромагнитные волны переносят энергию, на этом основании сделаем вывод о том, что энергия заключена в магнитном поле.
И так, энергия электрического тока локализована в магнитном поле, то есть в среде, которая окружает этот ток.
Вычисление энергии магнитного поля
По закону сохранения энергии имеем, что в эксперименте рис.1 (a-b), вся энергия магнитного поля в результате выделяется в виде Джоулева тепла на сопротивлении $R$.
Уменьшение энергии магнитного поля можно найти как работу индукционного тока:
$-\Delta E_{m}=A_{i}\left( 1 \right)$.
Конечные величины силы тока, индукции магнитного поля и энергии равны нулю, обозначим начальное значение энергии магнитного поля как $E_m$, соответственно:
${-E}_{m}=A_{i}\left( 2 \right)$.
Элементарную работу, совершаемую током, найдем как:
$dA_{i}=Ɛ_{i}Idt=-L\, I\frac{dI}{dt}dt=-L\, IdI\left( 3 \right),$
где $dt$ – время совершения работы током индукции; $Ɛ_{i}=-L\, \frac{dI}{dt}$ – ЭДС самоиндукции.
Возьмем интеграл от (3) учитывая, что ток изменяется от I до 0:
$E_{m}=-\int {dA_{i}=L\int\limits_I^0 {IdI=\frac{LI^{2}}{2}\left( 4 \right).}} $
Выражение (4) является справедливым для всякого контура, она указывает на связь энергии магнитного поля, создаваемого током от силы тока и индуктивности контура.
Сопоставим выражение (4) с выражением для кинетической энергии поступательного движения:
$E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\left( 5 \right)$.
Это сравнение показывает, что индуктивность контура связана с инерционностью контура. Нельзя остановить перемещающееся тело, без превращений энергии, так нет возможности остановить электрический ток без трансформации энергии.
Связь энергии магнитного поля и его основных характеристик
Рассмотрим энергию магнитного поля длинного соленоида. Пусть рассматриваемое нами поле можно считать однородным, и находится оно внутри соленоида. Тогда сила тока, текущая по соленоиду может быть выражена как:
$I=\frac{Hl}{N}\left( 6 \right)$,
где $H$ – напряженность магнитного поля соленоида; $l$ – длина соленоида; $N$ – число витков соленоида. Для соленоида:
$L=\mu \mu_{0}n^{2}Sl\, \left( 7 \right)$.
где $μ$ – магнитная проницаемость сердечника соленоида; $S$ – площадь сечения соленоида; $n=\frac{N}{l}$.
Принимая во внимание формулы (6) и (7) выражение (4) приведем к виду:
$E_{m}=\frac{\mu \mu_{0}N^{2}Sl}{2l^{2}}\frac{H^{2}l^{2}}{N^{2}}=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}Sl=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}V\, \left( 8 \right)$.
Часто в качестве энергетической характеристики магнитного поля используют такой параметр, как плотность энергии магнитного поля:
$w=\frac{E_{m}}{V}=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}\left( 9 \right)$.
Формула (9) применима для любого магнитного поля независимо от его происхождения, она показывает энергию магнитного поля в единице его объема.
Для магнитоизотропной среды мы можем записать:
$\vec{B}=\mu \mu_{0}\vec{H}\left( 10 \right)$.
Тогда уравнение (9) представим как:
$w=\frac{BH}{2}\left( 11 \right)$.
Если магнитное поле является неоднородным, то его разбивают на элементарные объемы ($dV$) (малые объемы в которых магнитное поле можно считать однородным). Энергию магнитного поля, которая заключена в этих объемах, считают равной:
$dE_{m}=wdV\left( 12 \right)$.
В таком случае суммарная энергия магнитного поля может быть найдена как:
$E_{m}=\int\limits_V {wdV\left( 13 \right),}$
где интегрирование проводят по всему объему, который занимает магнитное поле.
Ограничения в применении формулы для вычисления плотности энергии магнитного поля
При получении формулы (9) считалось, что:
- индуктивность контура, следовательно, магнитная проницаемость вещества не изменяются,
- вся энергия источника тока переходит в энергию магнитного поля.
Эти условия справедливы точно, только для вакуума (при $\mu$=1). При помещении контура с током в вещество, следует учитывать:
- Намагничивание вещества, что ведет к увеличению ее температуры.
- Объем и плотность вещества в магнитном поле способны меняться даже при неизменной температуре.
Данные нюансы указывают на то, что магнитная проницаемость вещества ($\mu$), которая изменяется при изменении температуры и плотности среды не может быть неизменной при намагничивании.
Кроме того, работа источника ЭДС не целиком переходит в энергию магнитного поля.
Выше сказанное дает основание полагать, что в общем случае формула (2) не выражает в точности работу при намагничивании и выражение (9) не дает объемную плотность энергии магнитного поля в веществе.
Допустим, что изменение объема вещества мало. Температура среды постоянна. Внешняя работа расходуется на рост энергии магнитного поля $E_m$ и на теплоотдачу $(Q)$, для поддержания постоянной температуры. Работа внешних сил, в нашем случае источника тока, которая совершается над телом при квазистатическом изотермическом процессе, будет равна приращению свободной энергии тела. Получается, что формула (9) отражает часть свободной энергии намагниченного вещества, которая связана с магнитным полем.
Если количества теплоты ($Q$) в сравнении с энергией поля $E_m$ мало, тогда выполняется равенство (2).
Условие неизменности магнитной проницаемости вещества, означает, что справедлива линейная зависимость (10). Даная зависимость выполняется для вакуума. Ее можно применять для парамагнетиков и диамагнетиков. Но для ферромагнетиков связь между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля является сильно нелинейной даже при $T=const$, поэтому выражение (9) для этих веществ не применяется.
