Магнитное поле в полостях в однородном магнетике

Задание: Шар из магнетика с магнитной проницаемостью ${\mu }_1$ радиусом R помещен в однородное магнитное поле с напряженностью $H_0$, которое создано в бесконечной среде с магнитной проницаемостью ${\mu }_2$. Считать, что токи проводимости отсутствуют. Найдите поле внутри шара. Исходя из полученной формулы, объясните, почему возможна магнитная экранировка.

Решение:

Магнитное поле, в котором отсутствуют токи проводимости, является потенциальным, то есть выполняется равенство:

$$rot\ \overrightarrow{H}=0\ \left(1.1\right).$$

Токи проводимости отсутствуют как внутри шара, так и вне его, следовательно, поле потенциально во всем пространстве. Обозначим ${\varphi }_m$- потенциал этого поля. Тогда:

$$\overrightarrow{H}=-grad \varphi_m\left(1.2\right).$$

Если среда однородна ($\mu =const$) уравнения $div\overrightarrow{B}=0$ и $div\overrightarrow{H}=0$ эквивалентны. Подставим (1.2) в (1.1), для всех точек вне шара (${\mu }_2=const$) и для всех точек внутри шара (${\mu }_1$) получим:

$${{\nabla }^2\varphi }_m=0\ \left(1.3\right).$$

Мы получили, что потенциал магнитного поля удовлетворяет уравнению Лапласа.

Поместим начало координат в центр шара, направим координатную ось сферической системы координат в направлении вектора $\overrightarrow{H_0.}$ В результате аксиальной симметрии уравнение Лапласа можно записать в сферической системе координат как:

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial {\varphi }_m}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(sin\theta \frac{\partial {\varphi }_m}{\partial \theta }\right)=0\ (1.4)$$

К уравнению (1.3) добавим граничные условия:

$$B_{1n}=B_{2n}\ и$$ $$H_{2\tau }-H_{1\tau }=j_{p\ \ }\left(1.5\right),$$

где $j_{p\ \ }=0$ -- поверхностные токи проводимости. В математике известно общее решение такого уравнения. При желании подстановкой можно проверить, что функции ${\varphi }_{1m},\ {\varphi }_{2m}$ являются решениями уравнения Лапласа (1.4):

$${\varphi }_{1m}=A_1rcos\theta +A_2r^{-2}cos\theta ,\ {\varphi }_{2m}={-H}_0rcos\theta +B_2r^{-2}cos\theta \left(1.6\right),$$

где $A_1$, $A_2$,$\ B_2$ -- постоянные, которые удовлетворяют уравнению (1.4), $H_0$ -- модуль напряжённости магнитного поля на бесконечности.$\ {\varphi }_{1m}$ -- магнитный потенциал внутренней области шара, ${\varphi }_{2m}$ -- магнитный потенциал внешней области шара. Из (1.6) очевидно, что при $r\to 0,\ {\varphi}_{1m}\to \infty$. Значит $A_2=0.$ Потенциал должен быть непрерывен и это условие на границе имеет вид:

$$A_1Rcos\theta ={-H}_0Rcos\theta +B_2R^{-2}cos\theta (1.7)$$

Из (1.7) получим:

$$A_1=B_2R^{-2}{-H}_0\left(1.8\right).$$

Тангенциальная компонента ($H_{\tau }$) вектора $\overrightarrow{H}$ на поверхности шара равна:

$$H_{\tau }=H_{\theta }=-{\left\{\frac{1}{r}\frac{\partial {\varphi }_m}{\partial \theta }\right\}}_{r=R}(1.9)$$

Условие $H_{1\theta }=H_{2\theta }$ выполняется, если выполняется (1.8). Нормальные составляющие вектора напряженности равны:

$$H_{1n}=H_{1r}=-{\left(\frac{\partial {\varphi }_{1m}}{\partial r}\right)}_{r=R}=-A_1cos\theta \ (1.10)$$ $$H_{2n}=H_{2r}=-{\left(\frac{\partial {\varphi }_{2m}}{\partial r}\right)}_{r=R}=H_0cos\theta +2B_2R^{-3}cos\theta \left(1.11\right)$$

Из условия:

$${\mu }_1H_{1r}={\mu }_2H_{2r}\left(1.12\right)$$

получим, что

$$A_1=-\frac{{\mu }_2}{{\mu }_1}\left({2B}_2R^{-3}{+H}_0\right)\left(1.13\right).$$

Решая систему уравнений (1.8) и (1.13), получим:

$$A_1=-\frac{3{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0,B_2=\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}R^3H_0\ \left(1.14\right).$$

Тогда потенциалы на границе шара равны:

$${\varphi }_{1m}=-\frac{3{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0rcos\theta \left(1.15\right).$$ $${\varphi }_{2m}={-H}_0rcos\theta +\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}R^3H_0r^{-2}cos\theta ={-H}_0rcos\theta \left(1-\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}R^3H_0r^{-3}\right)\left(1.16\right).$$

Получаем, что внутри шара напряжённость магнитного поля постоянна и параллельна оси Z:

$$H_{1Z}=-\frac{\partial \varphi }{\partial z}=-\frac{\partial {\varphi }_{1m}}{\partial \left(rcos\theta \right)}=\frac{3{\mu }_2}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0\left(1.17\right).$$

$H_{1Z}$- напряженность магнитного поля, которое составлено из внешнего поля ($H_0$) и поля, которое создается в результате намагничивания. Поле, которое создается внутри шара, называют размагничивающим полем $(H_{razm})$. Название условно. Тогда:

$$H_{razm}=H_{1Z}-H_0=\frac{м_2-м_1}{м_1+2м_2}H_0\left(1.18\right).$$

Очевидно, что при ${\mu }_2

Ответ: $H_{razm}=\frac{{\mu }_2-{\mu }_1}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0.$

Задание: Используя результаты Примера 1. запишите выражение для вектора $H_{razm}$, при тех же условиях, что в примере 1, используя понятие вектора намагниченности. Чему будет равна напряженность поля в шаре (${H'}_{razm}$), если он находится в вакууме, а намагниченность шара равна $J_1$?

Решение:

На основании формул:

$$\overrightarrow{J}=\varkappa \overrightarrow{H}\left(2.1\right)\ и$$ $$\mu =\varkappa +1\ \left(2.2\right).$$

Получим:

$$J_1=\left({\mu }_1-1\right)H_{1z},J_2=\left({\mu }_2-1\right)H_0\left(2.3\right).$$

Найдем разность:

$$J_2-J_1=\left({\mu }_2-1\right)H_0-\left({\mu }_1-1\right)\frac{3}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0=\frac{\left(2{\mu }_2+1\right)\left({\mu }_2-{\mu }_1\right)}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0\left(2.4\right).$$

Следовательно, поле внутри шара может быть представлено как:

$$H_{razm}=\frac{{\mu }_2-{\mu }_1}{{\mu }_1+2{\mu }_2}H_0=\frac{J_2-J_1}{2{\mu }_2+1}\left(2.5\right).$$

Если шар находится в вакууме, то ${\mu }_2=1\ и\ J_2=0$, получим, что:

$${H'}_{razm}=-\frac{J_1}{3}.$$

Ответ: $H_{razm}=\frac{J_2-J_1}{2{\mu }_2+1}.$ ${H'}_{razm}=-\frac{J_1}{3}.$