Квантовая статистика и теория поля

В более узком формате квантовая статистика выражена:

• статистикой Бозе - Эйнштейна;
• Ферми - Дирака.

В редких случаях под квантовой статистикой подразумевается обобщающая модель математической статистики, которая базируется на теории некоммутативной вероятности.

Статистика Бозе - Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна была в 1924 г. предложена физиком Ш. Бозе с целью возможности описания фотонов. А. Эйнштейн распространил ее на системы атомов с целым спином.

Статистика Бозе - Эйнштейна связана с квантово-механическим принципом неразличимости тождественных частиц. Ей подчиняются системы тождественных частиц, в которых важную роль играют квантовые эффекты, проявляемые при значениях концентрации частиц:

$\frac{N}{V}\geqslant nq$

Где $nq$ - это квантовая концентрация, среднее расстояние между частицами при которой равнозначно средней волне де Бройля (при заданной температуре для идеального газа).

При концентрации $nq$ произойдет соприкосновение волновых функций частиц, без перекрывания друг друга. Поскольку квантовая концентрация повышается при увеличении температуры, большинство физических систем в этом случае подчиняются классической статистике Максвелла - Больцмана. Исключения составляют системы с очень высокой плотностью.

В квантовой статистике Бозе важная роль принадлежит бозонам. Они (в отличие от фермионов) не будут подчиняться принципу запрета Паули (произвольное число частиц может одновременно пребывать в одном состоянии). Если речь идет о бозонах, то все частицы при понижении температуры будут собираться в одном состоянии с минимальной энергией (конденсат Бозе - Эйнштейна).

Гамильтониан системы частиц, которые не взаимодействуют друг с другом, будет состоять из суммы гамильтонианов. Если на данном энергетическом уровне $e_i$ находится $n_i$ частиц, то энергия системы представляет взвешенную сумму:

$E=\sum \limits{i=0}^{\infty }{n_ie_i}$

Статистика Ферми - Дирака

Статистика Ферми - Дирака была в 1926 г. предложена итальянским ученым-физиком Э. Ферми и английским физиком П. Дираком. Она позволяет находить вероятность, с которой фермион будет занимать данный энергетический уровень.

Статистика Ферми - Дирака используется только в случае, если нужно учитывать квантовые эффекты, когда частицы не различимы между собой. Квантовые эффекты проявляются, когда концентрация частиц $\frac{n}{V}\geqslant n_q$ будет квантовой.

Квантовая концентрация представляет такую концентрацию, при которой расстояние между частицами будет соразмерным с длиной волны де Бройля (при соприкосновении волновых функций частиц). Квантовая концентрация зависима от температуры. Статистику Ферми - Дирака применяют к фермионам (подчиняются принципу Паули).

Статистическая теория поля

Статистическая теория поля представляет раздел статистической физики, созданный для изучения пространственных случайных систем и их взаимодействий. Объектами изучения здесь выступают системы или поля. Их число степеней свободы сравнимо с полем.

Микросостояния системы для равновесных состояний выражаются через полевые конфигурации. Этот раздел изучает статистические системы случайных полей. Данная область тесно переплетается с квантовой теорией поля, описывающей квантовую динамику полей.

Методы квантовой теории поля важную роль играют для описания критических явлений, таких как аномалии в фазовых переходах второго рода. В таких системах возникают сильные флуктуации с бесконечным радиусом корреляции (нелинейная система). Для описания можно использовать:

• нелинейные уравнения Швингера и метод теоретико-полевой ренормализационной группы;
• квантовая-полевая теория возмущений;
• аппарат функциональных преобразований Лежандра.

Статистические полевые теории широко применяют при описании систем в биофизике и физике полимеров.