Квантовая статистика, представляя в физике один из разделов статистической механики, занимается описанием методов статистических операторов комплекса частиц (для редуцированных матриц плотности). Число частиц $n$ может быть конечным или бесконечным.
Квантовая статистика также может (в более узком формате) характеризоваться статистиками Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна.
В более редких случаях под квантовой статистикой подразумевают обобщающую модель математической статистики. Такая модель построена на теории некоммутативной вероятности.
Квантовая статистическая теория полей
Статистическая теория поля, представляя раздел статистической физики, занимается изучением пространственных случайных систем, а также вариаций их взаимодействия. Объектами изучения в данной теории выступают системы или поля.
При описании критических явлений (аномалий в фазовых переходах второго рода) методы квантовой статистической теории поля имеют большое значение. В нелинейных системах могут появляться сильные флуктуации. Они имеют бесконечный радиус корреляции. Для описания таких систем можно применять:
- аппарат функциональных преобразований Лежандра;
- нелинейные уравнения Швингера;
- метод теоретико-полевой ренормализационной группы;
- квантовая-полевая теория возмущений.
Квантово-статистические полевые теории широко задействованы в описании систем, например, в биофизике и физике полимеров. Для равновесных состояний микросостояния системы выражены полевыми конфигурациями. Квантовая статистика своей основной задачей ставит изучение статистических систем случайных полей.
Квантовая статистика Ферми-Дирака
Характеризует квантовую статистику в статистической физике статистика Ферми-Дирака. Она применяется в отношении систем тождественных фермионов (это частицы с полуцелым спином). Они подчиняются принципу Паули (принцип запрета, когда при одном и том же квантовом состоянии будет задействовано не более одной частицы).
Создателем квантовой статистики Ферми - Дирака выступил в 1926 г. итальянский физик Э. Ферми совместно с английским ученым П. Дираком. Она позволяет определять вероятность энергетического уровня для фермиона.
В статистике Ферми - Дирака широко используется такое понятие, как квантовая концентрация. Она считается такой концентрацией, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля. При этом соприкасаются волновые функции частиц. Квантовая концентрация характеризуется зависимостью от температуры. Статистика Ферми-Дирака может быть применима к фермионам, подчиняющимся принципу Паули.
Если мы имеем дело с учетом квантовых эффектов, то здесь будут применяться принципы статистики Ферми - Дирака. В этом случае возникает такая ситуация, когда частицы не различимы между собой. Проявление квантовых эффектов наблюдается тогда, когда концентрация частиц $\frac{n}{V}\geqslant n_q$ будет квантовой.
Квантовая статистика Бозе - Эйнштейна
В статистической механике квантовая статистика Бозе - Эйнштейна определяет ситуацию с распределением тождественных частиц с целочисленным (или нулевым) спином. Такими частицами могут считаться, например, фотоны. Распределение осуществляется при термодинамическом равновесии. Оно производится по энергетическим уровням.
Важное значение в квантовой статистике Бозе имеют бозоны. Они не будут подчиняться принципу запрета Паули (в отличие от фермионов). Произвольное число частиц может одновременно пребывать в одном состоянии. Все частицы (в ситуации, когда понижена температура) будут собираться в одном состоянии с минимальной энергией. Возникает конденсат Бозе - Эйнштейна.
Статистика Бозе-Эйнштейна была в 1924 г. предложена Ш. Бозе для описания фотонов. Поддержал эту идею А. Эйнштейн, предложив ее обобщение на системы атомов с целым спином.
Статистика Бозе - Эйнштейна взаимосвязана с квантово-механическим принципом неразличимости тождественных частиц. Ей подчиняются системы тождественных частиц, где основной акцент делается на квантовых эффектах, проявляемых при значениях концентрации частиц:
$\frac{N}{V}\geqslant nq$
Здесь $nq$ - это квантовая концентрация, при которой среднее расстояние между частицами равняется средней волне де Бройля (если задана температуре для идеального газа).
Соприкосновение волновых функций частиц мы наблюдаем при концентрации $nq$ при условии, что они не будут перекрывать друг друга. Поскольку с повышением температур квантовая концентрация увеличивается, большинство физических систем при таких условиях подчиняются классической статистике Максвелла - Больцмана. Исключением будут системы с достаточно высокой плотностью.
Гамильтониан системы, не взаимодействующих друг с другом частиц, будут состоять из суммы гамильтонианов. Если на таком энергетическом уровне $e_i$ находится $n_i$ частиц, то энергия системы выражена формулой:
$E=\sum \limits{i=0}^{\infty }{n_ie_i}$
