Математические основы квантовой механики

Математические основы механики квантов созданы:

• Л. де Бройлем, открывшим волны материи;
• В. Гейзенбергом (автором принципа неопределенности и матричной механики);
• Э. Шредингером (уравнение Шредингера);
• Н. Бором (им сформулирован принцип дополнительности).

Завершил создание математических основ механики квантов, придав им современную форму, П. Дирак. Отличительным признаком математических уравнений для квантовой механики считается наличие в них символа постоянной Планка.

Векторы состояний и наблюдаемые величины

С целью описания физических систем, в квантовой механике в качестве основных характеристик применяются наблюдаемые величины и состояния.

Радиусу-вектору частицы $x$, например, будет соответствовать оператор умножения $x$. Соответствием для импульса частицы выступает оператор:

$\hat {p}=-i \bar{h} \nabla$

Соответствием для момента импульса является оператор:

$\bar{h} \hat {L}=\hat {x}\hat {p}$

Волновые функции соответствуют квантовому принципу суперпозиции. Он заключается в следующем: в случае, если два возможных состояния изображают волновые функции $\psi_1$ и $\psi_2$, может существовать третье состояние:

$\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2$

Здесь $c_1$ и $c_2$ - произвольные амплитуды.

В качестве результата точного измерения физической величины $A$ могут выступатьтолько собственные значения указанного оператора: $\widehat {A}$.

Для вычисления математического ожидания $\bar{A}$ значений величины $A$ в состоянии $\psi$ применима формула:

$bar{A}=(\psi,\widehat {A},\psi)$

В вышеприведенной формуле круглые скобки будут означать скалярное произведение векторов (диагональный матричный элемент). Векторы состояний $\psi_1$ и $\psi_2$ могут описывать одно и то же состояние только если $\psi_2=c\psi_1$

Где $c$ будет произвольным комплексным числом.

Каждая наблюдаемая величина однозначно сопоставляется с линейным самосопряженным оператором. Распределение вероятности для возможных значений наблюдаемой величины $A$ в состоянии $\psi$ определяется формулой:

$dm_\widehat {A}, \psi (a)=d(E_a \psi, \psi)$,

Где $\widehat {A}$ будет самосопряженным оператором, отвечающим наблюдаемой величине $a$, $\psi$ - это вектор состояния, $E_a$ - спектральная функция оператора $\widehat {A}$, круглые скобки здесь означают скалярное произведение векторов.

Уравнения Гамильтона в квантовой механике

Математические основы в квантовой механике представляет уравнение Гамильтона. Матричные элементы операторов существуют для:

• декартовых координат $\widehat {x_i}$;
• операторов импульсов $\widehat {p_i}$.

Они аналогичны уравнениям Гамильтона в классической механике:

$\frac{d}{dt}(f,\widehat {p_i},g)=-(f,\frac{\partial\widehat {H}}{\partial\widehat {x_i}},g)$

$\frac{d}{dt}(f,\widehat {x_i},g)= (f,\frac{\partial\widehat {H}}{\partial\widehat {p_i}},g)$

Где $\widehat {H} представляет оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.\widehat {H} представляет оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.

Уравнение Шредингера

В математических основах квантовой механики эволюцию чистого состояния системы Гамильтона во времени определяет нестационарное уравнение Шредингера:

$i\bar{h}\frac {\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi$

здесь $\hat {H}$ это гамильтониан:

$\hat {H}=- \frac {\bar{h}^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2}+\frac {\partial^2}{\partial z^2}\right)+\hat {E_pot}$

Стационарные (не изменяющиеся со временем состояния) будут определяться стационарным уравнением Шредингера:

$\hat {H} \psi=E \psi$

При этом, существует предположение, что эволюция квантовой системы представляет марковский процесс, а число частиц является постоянным. Такие положения способствуют созданию математического аппарата с целью описания разнообразного спектра задач в квантовой механике для гамильтоновых систем в чистых состояниях. Дальнейшему развитию этого аппарата способствует квантовая теория поля. Она описывает квантовые процессы с переменным числом частиц.